欧几里德空间(定稿)

欧几里德的数学情怀

――译者导言

一，欧几里德生事

欧几里德大约生活在约公元前330－前275年之间。除“几何学原本”外，还有不少著作，如“已知数”、“图形的分割”、“纠错集”、“园锥典线”、“曲面轨迹”、“观测天文学”等，遗憾的是除了《几何学原本》以外，这些都没有保成下来，消失在时空的黑暗之中了。从某个意义上说，这增加了人类的黑暗。仅留世的《几何学原本》，已让我们震撼了２千余年。

欧几里德的生平也已失传，稀少的记载表明，早年在雅典受教育，熟知柏拉图的学说。公元前３００年左右，受托勒密王（前３６４-前２８３）之邀，到埃及统治下的亚历山大城工作，长期从事教学、研究和著述。涉猎数学、天文、光学和音乐等诸领域方面。后人知道的一部《几何学原本》，共有１３卷，希腊文原稿也已失传，现存的是公元４世纪末西翁的修订本和１８世纪在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄原本。这部西方世界现存最古老的科学著作，为２０００年来用公理法建立演绎的数学体系找到了源头。德摩根曾说，除了《圣经》，再没有任何一种书像《原本》这样拥有如此众多的读者，被译成如此多种语言。从１４８２年到１９世纪末，《原本》的各种版本竟用各种语言出了１０００版以上。明朝万历年间(１６０７)，徐光启和意大利传教士利玛窦把前6卷译成中文出版，定名为“几何学原本”。“几何”这个数学名词就是这样来的。《几何学原本》同时也是中国近代翻译的第一部西方数学著作。康熙皇帝将这个仅有前６卷的版本书当成智力玩具，把玩了一生，但估计其理解也十分有限。

古籍中记记载了两则故事：托勒密国王问欧几里德，有没有学习几何学的捷径，欧几里德答道：“几何无王者之道。”意思是，在几何学里没有专门为国王铺设的大路。这句话成为千古传诵的箴言。另一个故事说：一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何之后将得到些什么。欧几里德对身边的奴隶说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”这两则故事的，与他的光辉著作一样，别有高深的含义。

二，《几何学原本》的贡献

《几何学原本》从少数“自明的”定义、公理出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系，选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。成为人类文明的一块极至瑰宝，开造了人类认识宇宙空间，认识数量关系的源头，为人类历史上的科学杰作。这位希腊古典文化哺育起来的学者，运用惊人的才智，完成了演绎知识体系。逻辑并不是欧几里德开创的，而是另一个希腊天才亚里斯多德，他得著名的水段论，开创了逻辑的基本面貌，提出了逻辑的基本建构。欧几里德是第一个将三段论应用于实际的知识体系构建的人，他铸造了一部完整的逻辑演绎体系。使逻辑得以具体的形状。他构成了希腊理性最完美的纪念碑。他的贡献就像太阳一样光辉灿烂。

两千余年来，所有初等几何教科书以及19世纪以前一切有关初等几何的论著都以《几何学原本》作为根据。“欧几里德”成为几何学的代名词，人们并且把这种体系的几何学叫做欧几里德几何学。

《几何学原本》对世界数学的贡献主要是：确立了数学的基本方法学。1. 建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义的推证方法。2.将逻辑证明系统地引入数学中，确立了逻辑学的基本方法。３，创造了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。

相对《原本》中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。事实上，欧几里德本人对它的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性。《原本》的丰碑性还在于，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。从此，人类的知识建构，找到了一个有效的方法。整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想。斯宾诺莎的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿的《自然哲学的数学原理》同样如此。

三，《几何学原本》介绍

在《几何学原本》中，欧几里德首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何和关于量的十条公理，如“凡直角都相等”、“整体大于部分”以及后来引起许多纷争的“平行线公理”等等。公理后面是一个一个的命题及其证明，内容丰富夺彩。比如有平面作图，勾股定理，余弦定理，园的各种性质， 空间中平面和直线的垂直、平行和相交等关系，平行六面体，棱锥、棱柱、园锥、园柱，球等问题，此外还有比例的理论，正整数的性质与分类，无理量等等。公理化结构是近代数学的主要特征，而“几何学原本”则是公理化结构的最早典范。欧几里德创造性地总结了他以前的古希腊前人的数学，将零散的、不连贯的数学知识整理起来，加上自己的大量创造，构建出彼此内在联系的有机的宏伟大厦。

书共分 13 卷，有 5 条公设、5 条公理、119 个定义和 465 个命题，构成历史上第一个数学公理体系。各卷的内容大致可分类如下： 第一卷 几何基础篇 23 个定义、48 个命题；另外提出了 5 条公设和 5 条公理，但之后就再没有加入新的公设或公理。 几何代数 以几何方式研究代数公式。例如：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。 圆形及正多边形 讨论圆形的性质和正多边形的绘画方法。 比例论 相似图形 数论 探讨偶数、奇数、质数、完全数等性质。 不可公度量 共有命题 115 个，是最冗长、最富争议性但最精密的一卷。 第二卷 第三及第四卷 第五卷 第六卷 第七、八、九卷 第十卷 第十一至第十三卷 立体几何 探讨立体几何中的定理，并证明祇有五种正多面体的现象。 关于重要命题。《几何学原本》中涉及到诸多重要命题。比如命题 I.47陈述：“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形面积等于夹于直角两边上正方形面积之和。”这就是著名的“勾股定理”。传说这一定理最早是由毕达哥拉斯证明出的，但他的证明方法却没有流传下来。而《几何学原本》中的证明，则可以算是现存西方最早证明勾股定理的记载。 命题 II.12陈述：“在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方形比夹钝角的二边上的正方形的和大一个矩形的二倍。即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另

一边所构成的矩形。”命题 II.13陈述：“在锐角三角形中，锐角对边上的正方形比夹锐角的二边上的正方形的和小一个矩形的二倍。即由另一锐角向对边作垂直线，垂足到原锐角之间一段与该边所构成的矩形。”此二命题（ II.12 及 II.13 就是现） 就是“余弦定律”。 命题 VII.1：“设有不相等的二数，从大数中连续减去小数直到余数小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于余数，这样一直作下去，若余数总是量不尽其前一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互质。”命题 VII.1：提供了一个求最大公因子的方法。被后人称为“欧几里德算法”即“辗转相除法”。命题 IX.1：如果一个数是被一些质数能量尽的最小者，那么，除原来量尽它的质数外任何另外的质数量不尽这数。这表示一个数仅能以一种方法分解为质因子之积。现代数学称这命题为“唯一分解定理”或“术基本定理”。 命题 IX.20：预先任意给定几个质数，则有比它们更多的质数。这一命题极重要。它指出质数有无穷多个。

关于命题的逻辑关系。《几何学原本》中命题间的逻辑关系，甚至乎比现代教科书还高。为了清晰这一关系，千年来的各种语文版本，多附有数学家们对逻辑关系的注解。

关于公理和公设。演绎法，它的基本精神是由简单现象去证明较复杂的现象，在数学中同样也遵循这一原理。这一理论里，逻辑推理虽然至关重要，但更重要的，是我们必须接受一些简单的现象作为我们的“起点”，是明显的“自明”的道理，而欧几里德将这些“起点”命名为“公设”和“公理”。以下就是《几何学原本》中的 5 条公设和 5 条公理：

公 设

1. 由任意一点到任意一点可以作直线。 2. 一条有限直线可以继续延长。

3. 以任意的点为圆心及任意的线段为距离可以画圆。 4. 凡直角皆相等。

5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线某一侧的两个内角之和小于二直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。

公 理

1. 等于同量的量彼此相等。 2. 等量加等量，其和仍相等。 3. 等量减等量，其差仍相等。 4. 彼此能够重合的物体是全等的。 5. 整体大于部分。

虽然以公理为起点演绎几何的方法，并非为欧几里德首创，首创的应该是他之前的泰勒斯，但是《几何学原本》中的公设和公理，却全部都由欧几里德所创造和筛选。这一天才智力令任观止！

关于第５公设及非欧几何学。欧几里德的不完美，诞生了新的几何学，这是从第５公设开始的。这条公设不同于其他９条，简洁、明白，而是有言语迟钝，仿佛些力不从心的样子。形式上也不像公设，倒像一个命题。因此，自《几何学原本》诞生后，就有无数的数学家研究这条公设，并试图找出证明这公设的方法。可惜，一直以来，他们的尝试都失败！到了十九世纪，匈牙利数学家波尔约和俄国数学家罗巴切夫斯基分别地发表了一套与第 5 公设相反的几何体系，从而证明了第 5 公设确实是一条“公设”，不能被证明或否定。与此同时，这两位数学家亦为我们带来一个全新的数学世界 —— 非欧几何学。

关于圆面积及球体体积公式 。《几何学原本》中并没有圆面积或球体体积的计算

公式，但从十二卷中，可以找到一些相关命题：命题XII.2：圆与圆之比如同直径上正方形之比。命题XII.18：球的比如同它们直径的三次比。在欧几里德之后，另一个希腊天才阿基米德提出球体体积公式。阿基米德应用了一种近乎于现代微积分的计算手法，推算出有关的算式，并成功地计算出圆周率小数后两个位的数值。

四，希腊数学背景

希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术。在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。

古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛以外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前五六世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上滋生了光辉灿烂的希腊文化。

希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约当公元前7世纪中叶到公元前3世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里德起到公元前146年希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。

伊奥尼亚学派从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，

有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教中分离开来。

米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡。泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。

当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测到一次日食，促使米太（在今黑海、里海之南）、吕底亚（今土耳其西部）两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯（今希腊东部小岛）。为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪（约公元前500～前300）之久。这个学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关。他们还发现五种正多面体。在天文方面，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空中。毕达哥拉斯还是音乐理论的始祖。

伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。

智人学派诞生于公元前5世纪，此值雅典的黄金时代，文人荟萃，辩论会遍地，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，

使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。

希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。

这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、?边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法。和中国的刘徽（约263年前后）的割圆术思想不谋而合。

柏拉图（约公元前427～前347）在雅典建立学派，创办学园。非常重视数学。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里德的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

这个时期的希腊数学中心还有以芝诺（约公元前496～前430）为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给思想界以极大的震动。这四个悖论是：①二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步。②阿基琉斯（善跑英雄）追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上。③飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的。④运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。

以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。

公元前4世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段──初等数学时期。这个时期的特点，是数学（主要是几何学）已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题（公理）出发，通过逻辑推理得到一系列的定理。这是希腊数学的基本精神。在这一时期里，初等几何、算术、初等代数大体已成为独立的科目。和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比，这一个时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，因此叫做初等数学时期。

埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的枢纽，又经过托勒密王（约公元前367～前285）的加意经营，逐渐成为新的希腊文化中心，希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及，以后移植于伊奥尼亚，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地。经过这一番培植，已达到丰茂成林的境地。 亚历山大前期从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里德、阿基米德和阿波罗尼奥斯。阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。

除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼（约公元前276～前195）的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯（公元前2世纪）制作“弦表”，是三角学的先导。

亚历山大后期公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。海伦（约公元62）、门纳劳斯（约公元100）、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家C．托勒密（约85～165）将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。

晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯（约公元100）和丢番图（约250）。前者是杰拉什（今约旦北部）地方的人。著有《算术入门》，后者的《算术》是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于《几何学原本》。

325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁。公元415年，女数学家，新柏拉图学派的领袖希帕提娅（Hypatia）遭到基督徒的野蛮杀害。她的死标志着希腊文明的衰弱，亚历山大里亚大学有创造力的日子也随之一去不复返了。希腊数学至此告一段落。

四，欧几里德得宗教情怀

对于欧几里德来说，几何是非实用的，而是近神的，这与我们通常的理解刚好相反。所以把《几何学原本》当数学阅读，不如将其视之为诗歌或哲学，更接近欧几里德的动机。

欧几里德生活的时代之前的几百年间，是希腊思想鼎盛的时代，人们研究人自身的问题，人所面对的宇宙的问题，成为整个希腊的精神气质，构成了人类古远时代的知识份子的日常生活和基本话语，苏格拉底年轻的时，站在大街上，拉着过路的行人就要求辩论一番，以企图寻找人、人群、物质、精神等等存在的本来意义。众哲学家在思考人所居寄的宇宙到底是什么？人到底是什么要干什么？

为阐示宇宙的本质，灿若群星的哲学思想各自繁衍，要寻找世界的始基，构成宇宙的基本元素，万千复杂世界所依的根本，他们将整体的复杂还原为要素，要素的变化、过程、次序、排列、关系成为寻找对象。

巴门尼德则把元素抽象为“唯一的、不动的、永恒的”东西，按照他的描述，“存在着一条最后的边界，它在各方面都是完全的，好像一个滚圆的球体，从中心到每一个方面距离都相等”。黑格尔就讽刺说，巴门尼德弄出来的是“一片简单的阴影”。但也有后人讽刺黑格尔说，他弄出来的“不过是个上帝的身体”；德谟克利特也不相信，提出了自己的原子论，他坚信宇宙的本质是原子与虚空的结合，作为最小的存在，构成万物，找到原子的面貌，世界的本质就昭然若著了。他提出人的灵魂也是另一类原子的运动；赫拉克利特则不同意这一观点，他认为本质是火，万物皆流，无物常住，那变动不居的火就是世界的本质，流变就是世界的本质，那团不生不灭、永恒存在的“活火”啊主宰了我们的世界；阿那克西米尼却不同意，他认为本质是“气”；阿那克西曼德又不同意，他认为那基本元素虽然存在，但却不

具有任何定性，永远不能定名，也不能描述，他是不可知的一个元素。集哲学家、预言者、科学家和江湖术士为一身的恩培多克勒，则发现了“气”。他是观察倒着放瓶子入水中时水不能进入瓶子时，发现空气是一种存在的物质。于是认为土、气、火、水是世界的基本元素。的时发现的混合体这是早期的自然哲学。

苏格拉底却不同意这样的解释，他在方法上另辟蹊径，用苏格拉底法，即通过辩论问题中的矛盾清晰事物的结论获得真理，真理的累加最后通达整体的宇宙，苏格拉底的进步在于他已不把那“元素”或“始基”视为一种经验中的物质，而是抽象出他称为“真理”、“规律”、“理性法则”的东西。另一个类似的哲学家巴门尼德则把元素抽象为“唯一的、不动的、永恒的”东西。

他的思想直接影响了他的学生柏拉图；学生柏拉图更上层楼，在他的《理想国》里发明出“理念世界”一词，直接宣布，现实世界是个假象，是个影子，是理念世界的投影，攀登上理念世界的人必须借着理性的绳索，他对几何学抱着虔诚的敬神式的热情，因为他看到既能满足于一切物质和空间，又不受到时间腐蚀的点、线、面、角的规律之舞，“其品性接近于理念世界之物”，他几近相信，几何学可以修建通往理念世界的天梯。也就是说，柏拉图的元素或始基，是他描述的“理念世界”。柏拉图在他创办的雅典学院传播他的这些理论的时候，出现了一个杰出学生，亚里斯多德，这位跟了老师20年的学生，再上层楼，集古希腊哲学之大成，他把宇宙的实质定义为“本体”，放弃了自然哲学中的那种宇宙本原的寻求。并由此发明出范畴、分类、逻辑、属性、一般与个别、本质与现象、思维与存在、理性与感性、可能性与现实、不变与变等等的矛盾关系。

另一条线对欧几里德来说有些特别，这条线得从泰勒斯开始。泰勒斯生活在公元前600年左右，首先，他认为世界的本质元素是“水”，水开万物，水是万物的原质。当希腊神话成为大众的思想生活和精神生活的主流的时代，他却反希腊神话，他不能忍受杜撰故事来阐示造化天工，于是他转而观察自然界的各种法则，希望从自然界内部找到他的神，于是他首创了在自然元素中找宇宙答案的方法。人类最早的“证明命题”的方法，应归功于他。

毕达哥拉斯这位数学天才，由于他超常的数学智力，受到希腊公民的尊重，创建类宗教的哲学派别毕达哥拉斯学派，他认为万物皆数，数是宇宙的根本，找到数就找到了宇宙的本源。这显然意味着，认识世界从数开始；只要运用定量方法来识世界，就可以解开宇宙的终极秘密。但实际上当他发现无理数的存在时，自己已经发现他的思想基础已经被崩溃，只是由于恐惧于群众的力量而不敢于宣布。毕达格拉斯学派把数学从那些显然的具体应用中抽象出来，企图解释解释这个宇宙。他们发现勾股定理时的那种惊喜，无意于基督徒找到上帝存在的一个证据时的惊喜，他们还发现了不可公约量，五种正多面体的存在，并把算数和几何图形结合起来，这些都成了欧几里德《原本》奠基的重要榜样。

的确，在空间面前我们嗦嗦发抖。无论是在遥远的古希腊欧几里德时代，还是今天，我们对空间的认识，对宇宙的理解，最多也就迈出了蚂蚁般的一小步。我引用科学家数学家物理学家出生却反科学理性的法国思想家帕斯卡尔的一句话“在这永恒沉默的空间面前，我嗦嗦发抖。

这弥漫物质的空间，它的紧迫，它的压制，物质的盲目流动，它的到来和去向?? 苏格拉底、柏拉图师徒两怀着的深厚的几何学情节，是因为他们想借这一工具找到上帝，苏格拉底看到，物质的速朽性无常性使他自然联想到身体，再进一步联想到人的精神的属性，这时他看到了几何学的特别属性，不受时空的腐蚀，永恒的绝对的，这吻合了柏它图的绝对理念，只有上帝是绝对的，于是，几何学可以修筑通往上帝的天梯。数世纪以后，有人修建巴别塔，企图通往天国。毕达格拉斯学派同样抱着借数字之梯通向神的理想的情怀。

欧几里德本人，同样把几何学视为近神器物，这就产生了一个青年追问他几何学的用处时他叫身边的奴隶倒给他三个硬币的著名故事。“几何学”一词汉语的定式翻译是不够好的，

不是圆满的译法，它失去了神性，“几何”一词，汉语指意为事物数字意义上的多少，用于反问句中。而希腊语的 是指“元素”、“原理”，意即我们这个世界的基本元素，宇宙的基本元素，构建这个宇宙的基础之因。这就是哲学中用的那个字“元素”、“始基”。点、线、面、距离、长度、角度出发描述的刚性空间，是宇宙的本样，甚至可能是神的本样；换句话说，从空间中抽离出来的点、线、面是一切事物的元素，所以是宇宙的元素。

二千年以后，欧几里德没有想到的是，靠几何学寻找上帝依旧渺茫，世俗性的应用却大规模地建造了人类的物质文明，工业革命后兴盛的人造物质，几何学起到了支撑性作用，按照欧几里德批评他那位世俗的学生的理想主义的思路，近现代社会，成为几何学的失败。

从这个角度讲，《原本》与其说是数学，不如说是描述宇宙的诗歌之舞，是一种宗教情怀，一种哲学。

五，毕达格拉斯的狂醉

虽然欧几里德不能考证他是否属于毕达格拉斯学派，但他对数学的虔诚却与这个学派一脉相通。

毕达哥拉斯，这个宣布万物皆数的人，简直是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。混和了一堆真理与荒诞。他的数学天才是帮助他理解世界秩序的狠铁不成钢的手段。他建立的巨大宗教社团，成为最早的共产主义形式，其权力大到控制了国家。这也说明古希腊民众对天才精英们的虔诚，因为他们希望在天才的带领下找到生命的意义，宇宙的秩序。毕达哥拉斯学派的根本教义是灵魂轮回，以及吃豆子的罪恶性。“首先，灵魂是个不朽的东西，它可以转变成别种生物；其次，凡是存在的事物，都要在某种循环里再生，没有什么东西是绝对新的；一切生来具有生命的东西都应该认为是亲属。”据说，毕达哥拉斯曾向动物不停地说话。

毕达哥拉斯教派的教规如下： 1．禁食豆子。

2．东西落下了，不要拣起来。 3．不要去碰白公鸡。 4．不要擘开面包。 5．不要迈过门闩。 6．不要用铁拨火。 7．不要吃整个的面包。 8．不要招花环。 9．不要坐在斗上。 10．不要吃心。

11．不要在大路上行走。 12．房里不许有燕子。

13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。 14．不要在光亮的旁边照镜子。

15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。

毕达格拉斯把数夸张到世人难以理解的神秘境地，他甚至把数与某些意义直接联合起来，比如，规定“二”表示意见，“四”是正义，“五”是结婚，“十”是完满，如此等等，的确让今人匪夷所思。

在他建立的团体里，不分男女都可以参加；财产是公有的，过着一种共同的生活， 即使是科学和数学的发现也认为是集体的，而且，在一种神秘的意义上，都得归功于毕达哥拉斯；甚至于在他死后也还是如此。赞美沉思生活的道德，数学的秩序便受到同于神的敬仰。他把这协荒诞的秩序同数学秩序结合在一起，当成钥匙，以解开世界之门。

在这个世界上，我们都是异乡人，身体乃灵魂之坟墓，然而我们决不可以自杀以 求逃避；因为我们是上帝的所有物，上帝是我们的牧人，没有他的命令我们就没权利逃 避。在现世生活里有三种人，正象到奥林匹克运动会上来的也有三种人一样。那些来作 买卖的人都属于最低的一等，比他们高一等的是那些来竞赛的人。然而，最高的一种乃 是那些只是来观看的人们。因此，一切中最伟大的净化便是无所为而为的科学，唯有献 身于这种事业的人，亦即真正的哲学家，才真能使自己摆脱生之巨轮。

为毕达哥拉斯所鼓舞的人们，一直保存着一种狂醉式的启示的成份。这一点，对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人们来说，好象是很奇怪的；然而对于那些时时经验着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们来说，对于那些喜爱数学的人们来说，毕达哥拉斯的观点则似乎是十分自然的，纵令它是不真实的。仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶，而纯粹的数学家，正象音乐家一样，才是他那秩序井然的美丽世界的自由创造者。

欧几里德有着同样的狂醉，他不关心豆子和白公鸡，却对物质的物理数性结构迷狂，在他看来，找到这个数性结构，就找到了宇宙的基本“元素”、“始基”，万物基始于点、线、面、角以及它们的滋生繁衍、它们的相互构成很转换，宇宙的舞蹈就是它们的数字舞蹈。所以，我读中学课本，坚挺地认为数学起因于实际应用的观点，是不正确的，它更起源于人的精神困惑，起源于对浩渺宇宙的描述欲望。

希腊数学产生了数学精神。即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关 重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要的地位。所以伽利略就直接说“数学是上帝的语言”。毕达格拉斯将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。

六，埃利亚的芝诺的狂醉

一开始，就有在哲学上反欧几里德方向的。先于欧几里德百年的芝诺，发出了巨大的嘲讽之声，按罗素的说法，迄今人们也还不能真能懂得这个芝诺的哲学意义。虽然亚里斯多得批判了他，但罗素却对他的批判进行了批判。

芝诺是巴门尼德的学生兼朋友,他不满于赫拉克利特万物皆流的理论，创造出一套悖论（可惜他的著作没有流传下来）,后人知道的仅有8个,比如如下4个悖论：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说、运动场悖论，还没有一个哲学家敢轻易对此下结论。

芝诺（约公元前490年~公元前425年）生于意大利半岛南部的埃利亚城邦，据说他在母邦度过了一生，仅在成名之后到过雅典。据传说，芝诺因蓄谋反对埃利亚的君主而被处死。关于他的生平，缺乏可靠的文字记载。柏拉图在他的对话《巴门尼德篇》中，记载了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中有这样的文字：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时的芝诺约40岁，身材魁梧而美观，大家说他已经变成巴门尼德所钟爱的了。”在以后的希腊著作家看来，这次访问是柏拉图虚构的。但柏拉图有关芝诺观点的记叙，却被普遍认为是准确的。在柏拉图的巴门尼德篇中，当芝诺谈到自己的著作（论自然）时，这样说道：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将他窃去，以至我不能决断，是否应当让它问世。”芝诺不象他的老师那样企图从正面去证明是一不是多，是静不是动，他常常从反面即归

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