向量法在中学数学解题中的应用

向量法在中学数学解题中的应用

李莉莉

１向量的有关知识

1.1平面向量

向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等．

(1)向量的三种线性运算及运算的三种形式.

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言．

主要内容列表如下：

向量加法：a b b a →→→→+=+，()()a b c a b c →→→→→→

++=++；

实数与向量的积：()a b a b λλλ→→→→+=+，()a a b λμλμ→→→+=+，()()a a λμλμ→→

=； 两个向量的数量积：a b b a →→

→→

?=?，()()()a b a b a b λλλ→→→→→→

?=?=?，

()a b c a c b c →→→→→→→+?=?+?．

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言：若a →∥b →，且0a →→≠，则()a b R λλ→→=∈；

坐标语言：设1122(,),(,)a x y b x y →→==，则a →∥b →

12210x y x y ?-=．

(3)两个向量垂直的充要条件

符号语言：a →⊥b →0a b →→??=；

坐标语言：设1122(,),(,)a x y b x y →→==，则a →⊥b →12120x x y y ?+=．

(4)线段定比分点公式

如图，设→--→--=21PP P P λ,则定比分点向量式： →--→--→

--+++=21111OP OP OP λλλ； 定比分点坐标式：设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，

则 1212,11x x y y x y λλλλ

++==++． (5)平移公式： 如果点(,)P x y 按向量(,)a h k →=平移至(,)P x y '''，则?

??+=+=k y y h x x ''，分别称(,)x y ，(,)x y ''为旧、新坐标，a →

为平移法则． 1.2空间向量

(1)共线向量

共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b →→→→≠，a →∥b →?存在实数λ使a b λ→→=.

(2)共面向量

称平行于同一平面的向量为共面向量.

共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量p →与向量,a b →→共面?存在两个实数,x y 使p x a y b →→→=+．

(3)空间向量基本定理

空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c →→→不共面，那么对空间任一向量p →

，存在一个唯一的有序实数组,,x y z , 使p x a y b z c →→→→=++．

(4)两个向量的数量积

空间两个非零向量,a b →→的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同. cos ,a b a b a b →→→→→→?=??，当,2a b π

→→??=时，称向量a → 与b →互相垂直，记作a →⊥b →

． (5)空间向量的坐标运算

空间向量的各种运算的坐标表示与平面向量类似，这里不再详述．

2向量法在中学数学解题中的应用

2.1在代数解题中的应用

(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→?≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．

例1

求函数()32f x x =++

分析

：观察其结构特征，由3x +

令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=?+，且5,2p q →→==．故

()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，

即

30x =>时取等号，从而问题得到解决．

(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．

例2设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =n

b ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →

= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →

，0an bm -=，问题得证．

(3)解方程(或方程组)

有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3求实数,,x y z 使得它们同时满足方程：

2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．

分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=

，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→

?=?++? (2)118z ++?=，又因为18a b a b →→→→?≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =1

2+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题

因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．

例4已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．

分析：先求D ，为此得求OD --→．因O

D O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→

倍，因此先求AC --→

．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→

对应的复数是95(27)cos sin 4422i i ππ?-+=-?? 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．

(5)求参变数的范围

求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.

例5设,,,a b c d R ∈，且2

2222

(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．

分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则

p q a b c k d →→?=++=-

，p q →→==.由p q p q →→→→

?≤得

k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围．

2.2在三角解题中的应用

向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．

(1)求值

例6已知3cos cos cos()2

αβαβ+-+=

，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2

βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→?=-，

a b →→=．由a b a b →→→→?≤

得3cos 2

β-≤，所以1cos 2β=， 即3π

β=，代入已知等式便可求得α的值．

(2)证明恒等式

例7求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+

分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→

?=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→?=+，则问题得证．

2.3在平面几何解题中的应用

利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．

例8试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.

分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ?三边上的中线，若要证明

,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．

证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,

则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→

=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12

a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→

=+．

于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→

→→→→

+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．

2.4向量在解析几何中的应用

平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.

例9已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.

解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→?BP --→

=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．

例10求过圆22(5)(6)10

x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．

解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的

任意一点，则MN --→

(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，

所以MN --→?O M --→'=0，即(6

)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合

时，仍有MN --→?O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．

2.5在立体几何解题中的应用

直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.

例11如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，

,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求1BC 和面EFBD 所成的角．

解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),

(0,2,2)E F C ， y

(2,2,0),(1,0

D B D

E --→--→∴== 1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面

EFBD 的法向量，n →DB --→?0=，n →?DE --→

0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则1112sin cos ,6

BC n

BC n BC n θ?=<>==?θ∴= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5bal.html