中考试题分类汇编--二元一次方程

初中数学试题及答案分类汇编：圆

一、选择题

1. （天津3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3 cm和4 cm，若O1O2=7 cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是

(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 【答案】D。

【考点】圆与圆位置关系的判定。

【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距O1O2=7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。

2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是

A、相交

B、外切 C、外离

D、内含

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。 ∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。故选B。

3,（内蒙古包头3分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于

A、30° B、60° C、45° D、50°

【答案】

【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。 【分析】连接OC，

∵OC=OA，，PD平分∠APC， ∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO。 ∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。

∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即

∠CDP=45°。故选C。

4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为

A. 14 B. 15 C. 32 D. 23

【答案】B。

【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。

【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF。 根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°； 根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形。

∴DF=CB=1，BF=2+2=4。∴BD=BF2?DF2?42?12?15。故选B。 5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O1的半径是2cm，⊙2的半径是5cm，圆心距是4cm，则两圆的位置关系为

A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切

【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。由于5－2＜4＜5＋2，所以两圆相交。故选A。

6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的

动点,则线段OM长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 【答案】C。

【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。

【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA。 根据弦径定理，得AM＝BM＝4，在Rt△AOM中，由AM＝4， OA＝5，根据勾股定理得OM＝3，即线段OM长的最小值为3。故选C。

7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上 ，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，平行的性质。

【分析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA＝OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠AOC＝1800－2∠OAC。

由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC＝∠AOD。

由AB是⊙O的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，得∠AOD＝1800－∠BOD=70°。

∴∠AOC＝1800－2×70°＝400。故选D。

8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 【答案】B。

【考点】弦径定理，圆周角定理。

【分析】如图，连接OD，AC。由∠BOC = 700，

根据弦径定理，得∠DOC = 1400；

根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC = 700。

从而再根据弦径定理，得∠A的度数为350。故选B。

17．填空题

1.（天津3分）如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 ▲ 。 【答案】5。

【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。 【分析】∵在Rt△ABO中，

AO?OB5OB5??53,AB???10，

tan?CADCtan300sin?CADsin300 ∴AD=2AO=103。

连接CD，则∠ACD=90°。

0 ∵在Rt△ADC中，AC?ADcos?CAD?103cos30?15，

∴BC=AC－AB=15－10=5。

2.（河北省3分）如图，点0为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D= ▲ ． 【答案】27°。

【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。

1【分析】∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°。∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°。

23.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲ ． 【答案】4。

【考点】切线的性质，勾股定理。

【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC。设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP2=OC2＋PC2，即（1＋x）2= x 2＋32，解得x=4。即该半圆的半径为4。

【学过切割线定理的可由PC2=PA?PB求得PA=9，再由AB=PA－PB求出直径，从而求得半径】

4.（内蒙古呼伦贝尔3分）已知扇形的面积为12?，半径是6，则它的圆心角是 ▲ 。 【答案】1200。 【考点】扇形面积公式。

n???62=12?，解得n＝1200。 【分析】设圆心角为n，根据扇形面积公式，得036018．解答题

1.（天津8分）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E. (I) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)； (Ⅱ)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形．求

OD的值． OA

【答案】解：(I) 如图①，连接OC，则OC=4。 ∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB。

1 ∴在△OAB中，由OA=OB，AB=10得AC?AB?5。

2 ∴ 在△RtOAB中，

OA?OC2?AC2?42?52?41。

(Ⅱ)如图②，连接OC，则OC=OD。 ∵四边形ODCE为菱形，∴OD=DC。

∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=600。

1OC1OD1 ∴∠A=300。∴OC?OA， ?， 即?。

2OA2OA2【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，300角直角三角形的性质。

【分析】(I) 要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。 (Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。

2.（河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考

如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．

当α= ▲ 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 ▲ ． 探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度，此时点N到CD的距离是 ▲ ．

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．

（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．

333（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）

444

【答案】解：思考：90，2。

探究一：30，2。

探究二（1）当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是

MP=OM=4，

从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。

当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP

与AB相切，

此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。 （2）如图4，由探究一可知，

点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD， 此时延长PO交AB于点H，

α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，

如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小， 连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3。 在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=

MH3。 ?。∴∠MOH=49°

OM4∵α=2∠MOH，∴α最小为98°。 ∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。

【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。

【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，

∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2。 探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，

∵MN=8，MO=4，NQ=4，∴最大旋转角∠BMO=30度，点N到CD的距离是 2。

探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值。

（2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围。

3.（内蒙古呼和浩特8分）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，

DBDC2??． DPDO3（1）求证：直线PB是⊙O的切线； （2）求cos∠BCA的值．

【答案】（1）证明：连接OB、OP

∵

DBDC2??且∠D=∠D，∴ DPDO3△BDC∽△PDO。

∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP。 ∴∠BCO=∠POA ，∠CBO=∠BOP。

∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。 又∵OB=OA， OP=OP， ∴△BOP≌△AOP（SAS）。 ∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC， ∴∠PBO=90°。 ∴ 直线PB是⊙O的切线 。 （2）由（1）知∠BCO=∠POA。 设PB?a，则BD=2a， 又∵PA=PB?a，∴AD=22a。 又∵ BC∥OP ，∴

∴OP?6a

21DC?2。∴DC?CA??22a?2a。∴OA?2a 。 CO22∴cos∠BCA=cos∠POA=3。

3【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。 【分析】（1）连接OB、OP，由

DBDC2??，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定DPDO3得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°。

（2）设PB?a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB?a，根据勾股定理得

1到AD=22a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC?CA??22a?2a，则

2OA?2a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出2cos∠BCA=cos∠POA的值。

4.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分）如图，等圆⊙O1 和⊙O2 相交于A,B两点，⊙O2 经过⊙O1 的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=23。 （1） 求证：BM是⊙O2的切线； （2）求 AM ⌒ 的长。

【答案】解（1）证明：连结O2B，

∵MO2是⊙O1的直径，∴∠MBO2=90°。 ∴BM是⊙O2的切线。

(2)∵O1B=O2B=O1O2，∴∠O1O2B=60°。

BN=2。

sin?O1O2BAMO1NO2B∵AB=23，∴BN=3，∴O2B?⌒120π×2=4π。 ∴AM= ⌒BM=1803【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。

【分析】（1）连接O2B，由MO2是⊙O1的直径，得出∠MBO2=90°从而得出结论：BM是⊙O2的切线。

（2）根据O1B=O2B=O1O2，则∠O1O2B=60°，再由已知得出BN与O2B，从而计算出弧AM的长度。

5.（内蒙古包头12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长； （2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；

（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD，请说明你的理由．

【答案】解：（1）∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，

∴∠BCE=90°，

又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。 ∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。∴

CEEF。 ?BEEC∵BE=15，CE=9，即：

9EF27，解得：EF=。 ?1595（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，

∴∠ABF=∠FCD。

同理：∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。 ②∵△CDF∽△BAF，∴

CFCD。 ?BFBACDCECFCE。∴。 ??BABCBFBC又∵△CEF∽△BCF，∴

又∵AB=BC，∴CE=CD。

2（3）当F在⊙O的下半圆上，且BF?BC时，相应的点

3D位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD。理由如下：

∵CE=CD，∴BC=3CD=3CE。

CE1?， BC3在Rt△BCE中，tan∠CBE=

∴∠CBE=30°，∴CF所对圆心角为60°。

2∴F在⊙O的下半圆上，且BF?BC。

3

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。

（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可

得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF。

②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，

易证得

CDCE，又由AB=BC，即可证得CD=CE。 ?BABC（3）由CE=CD，可得BC=3CD=3CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE

2的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且BF?BC。

36.（内蒙古乌兰察布10分）如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝900D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;

( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长． 【答案】解：（1）证明：连结OE，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。 ∵⊙O与边 AC 相切于点E， ∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。

∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。 ∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。

（2）过D作DG⊥AC于G，连结BE，

∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC。 ∵BD为直径，∴∠BED=90°。 ∵BD=BF，∴DE=EF。 在△DEG和△FEC中，

∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF，∴△DEG≌△FEC（AAS）。

∴DG=CF。

∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC。∴

ADDG?。 ABBC∴

（舍去）。

8CF?，∴CF2?20CF?96?0，∴CF?4或CF??248?12?CF12∴BF=BC+CF=12+4=16。

【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。

【分析】（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求证。

（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半

径，即可求解。

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