四川省成都外国语学校2015—2016学年高一下学期期中考试试卷 数学(文)

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成都外国语学校高2015-2016学年第二学期半期考试

文科数学试题

一、选择题:(每小题5分共60分,每个题共有4个选项,其中只有一个选项是正确的,请把正确选项的填在答题卷上,否则不得分)

1.由a1 1,d 3确定的等差数列{an},当an 298时序号n ( ) A.99

B.100

C.96

D.101

2.已知向量a (x 5, 3), b (2, x), 且a b,则x ( )

A.2或3 B.-1或6 3.sin15 cos15 的值是( ) A.

C.6

D.2

12

B.

32

C.

62

D .

3 2

)

4.在 ABC中,已知A,B,C成等差数列,且b ,则

sinA sinB sinC

(

a b c

D.

A.2 B.

1 2

C.

3

5.设平面向量m 1,2 ,n 2,b ,若m//n,则m n等于( )

A

B

C

D

6.在 ABC中,tanA是以 4为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tanB是以2为公差, 9为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

7

.已知向量a (

cosx sinx,b (cosx sinx,x R),则函数f(x) a b是( )

A.周期为 的偶函数 B.周期为 的奇函数 C.周期为8.在 ABC中,sinA A.

的偶函数 D.周期为的奇函数 22

B

53

,cosB ,则cosC ( ) 135

C.

3316

B. 656556

65

D.

1656或 6565

9.如右图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),为了测量A,B两点间的距离,选取一条基线CD,测得:CD 200m, ADB ACB 30, CBD 60,则AB ( A.

)

C

2003

m 3

B.200 C.1002m

cb

D.数据不够,无法计算

10.设a,b,c为三角形ABC三边长,若ogla 1,b c,

oagl

cb

2ogla oglcb

acb

a,则三角形ABC

的形状为( ) A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.无法确定 )

11.已知 ABC的三边a,b,c满足:a3 b3 c3,则此三角形是( A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

12.有以下命题:①对任意的 R都有sin3 3sin 4sin3 成立;②对任意的 ABC都有等式

a bcosA ccosB成立;③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一;

④若A,B是钝角 ABC的二锐角,则sinA sinB cosA cosB。其中正确的命题的个数是( ) A.4

B.3

C.2

D.1

二、填空题:(每小题4分,共16分,请把结果填在答卷上,否则不给分) 13.已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则

b2

的值为_____________.

a1 a2

14.已知

3123

,cos ,sin ,则sin cos 的值_________. 24135

sin2a8 sin2a4

1

sin(a a)15.设等差数列 an 的公差d (0,,当n 8时, an 的前n项和Sn取得最小值,1),且48

则a1的取值范围是__________.

16.如图,定圆C的半径为4,A为圆C上的一个定点,B为圆C上的动点,若点A,B,C不共线,且

| t| ||对任意的t (0, )恒成立,则AB AC

三、解答题:

17.(文)(10分)化简:tan700sin800(tan200 1);

18.(12分)已知a (cos ,sin ),b (cos ,sin ),其中0 .(Ⅰ) 求证:a b 与a b

互相垂直;(Ⅱ)若ka b与a kb的模相等,求 的值 (k为非零常数) .

n2 n

19.(12分)已知数列{an}中的前n项和为Sn ,又an log2bn。(1)求数列{an}的通项公式;(2)求

2

数列{bn}的前n项和Tn。

20.(12分)如图,一架飞机以600km/h的速度,沿方位角600的航向从A地出发向B地飞行,飞行了36min后到达E地,飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD 3km,CD 1200km,BC 500km,且

ADC 300, BCD 1130。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多少?(参

3

考数据:tan370 )

4

B北

500 600km

C 1200km

a c2

a2 c2 ()222 a c b32cosB 2ac2ac8

113

21.(12分)

已知函数f(x) 邻对称中心的距离为

x

2

cos

x

2

sin2

x

2

( 0,0

2

).其图象的两个相

,且过点(,1).(I) 函数f(x)的解析式;(Ⅱ) 在△ABC中,角A,B,C所对的边23

2221 sinCb a cf(A) 分别为a,b,c.已知.且,求角C的大小. 2

c a2 b22

,半径为R 200m,房产商欲在此3

地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大,准备了两种设计方案如图,方案一:矩形ABCD的一边AB在半径OP上,C在圆弧上,D在半径OQ;方案二:矩形EFGH的顶点在圆弧上,顶点G,H分别在两条半径上。请你通过计算,为房产商提供决策建议。

方案一

22.(12分)一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮,其圆心角 POQ

文科数学试题答案

一、选择题:(每小题5分共60分,每个题共有4个选项,其中只有一个选项是正确的,请把正确选项的填在答题卷上,否则不得分)

1.由a1 1,d 3确定的等差数列{an},当an 298时序号n ( )B A.99

B.100

C.96

D.101

2.已知向量a (x 5, 3), b (2, x), 且a b,则x ( ) D

A.2或3 B.-1或6 3.sin15 cos15 的值是( )C

C.6

D.2

63

D .

2 2

sinA sinB sinC

4.在 ABC中,已知A,B,C成等差数列,且b ,则 (

a b c

13

A.2 B. C.3 D.

23

A.

B.

1

2 2

C.

)B

5.设平面向量m 1,2 ,n 2,b ,若m//n,则m n等于( )D

A

B

C

D

.6.在 ABC中,tanA是以 4为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tanB是以2为公差, 9为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( )A

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

7

.已知向量a (

cosx sinx,b (cosx sinxx R),则函数f(x) a b是( )

A

A.周期为 的偶函数 C.周期为

B.周期为 的奇函数 D.周期为

的偶函数 2

的奇函数 2

8.在 ABC中,sinA

A.

331656 D. 或 656565

9.如右图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),为了测量A,B两点间的距离,选取一条基线CD,测得:CD 200m, ADB ACB 300, CBD 600,则AB ( )A

2003B m A.B.2003 3

C.1002m D.数据不够,无法计算

10.设a,b,c为三角形ABC三边长,a 1,b c,

若logc ba logc ba 2logc balogc ba,则三角形ABC的形状为( )B

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 11.已知 ABC的三边a,b,c满足:a3 b3 c3,则此三角形是( )B

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

12.有以下命题:①对任意的 R都有sin3 3sin 4sin3 成立;②对任意的 ABC都有等式

53

,cosB ,则cosC ( )B 135

1656B. C.

6565

C

a bcosA ccosB成立;③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一;④若A,B是钝角 ABC的二锐角,则sinA sinB cosA cosB。其中正确的命题的个数是( )B

A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题:(每小题4分,共16分,请把结果填在答卷上,否则不给分)

13.已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则

b2

的值为_____________.

a1 a2

【答案】

3 10

14.已知

3123

,cos ,sin ,则sin cos 的值_________.

24135

sin2a8 sina24

15.设等差数列 an 的公差d (0, 1,当n 8时, an 的前n项和Sn取1),且

sin(a4 a8)

得最小值,则a1的取值范围是__________.

【答案】 ,

7 8

16.如图,定圆C的半径为4,A为圆C上的一个定点,B为圆C上的动点,若点A,B,C不共线,且

|AB tAC| |BC|对任意的t (0, )恒成立,则AB AC= .

【答案】16

三、解答题:

17.(文)(10分)化简:tan700sin800(3tan200 1);

00000

解:①原式 sin70 cos100 (3sin20 1) sin70 cos100 sin20 cos20

cos700cos200cos700cos200

00

cos200 2cos100sin10002sin(20 30) cos10 1 sin200cos200sin200

18.(12分)已知a (cos ,sin ),b (cos ,sin ),其中0 .

(Ⅰ) 求证:a b 与a b互相垂直;

(Ⅱ)若ka b与a kb的模相等,求 的值 (k为非零常数) .

解:(Ⅰ)因为

a (cos ,sin )

b (cos ,sin )

,所以,

2 2

22

a cos sin 1,b cos2 sin2 1.

所以,( ) ( ) 0,所以,(a b) (a b).

2

2

2 2

(Ⅱ)由|ka b| |a kb|得(ka b) (a kb)

2 2

2222

即(k 1)a 4ka b (1 k)b 0,又a cos sin 1,b cos sin 1

2

2

2

2

cos cos sin sin cos( ) cos( )

所以(k2 1) 4kcos( ) (1 k2) 0,化简得4kcos( ) 0, 因为,k 0,cos( ) 0,又0 ,得0 , 所以,

2

n2 n

19.(12分)已知数列{an}中的前n项和为Sn ,又an log2bn。(1)求数列{an}的通项公式;(2)

2

求数列{bn}的前n项和Tn。

n2 n(n 1)2 (n 1)

n 3分 解:(1)当n 2时,an Sn Sn 1 22

12 1

当n 1时,a1 S1 1,也适合上式 5分

2

数列{an}的通项公式为an n。 6分

(2)由 an log2bn,得bn 2n 9分

2(1 2n)

2n 1 2 12分 则数列{bn}的前n项和为: Tn

1 2

20.(12分)如图,一架飞机以600km/h的速度,沿方位角600的航向从A地出发向B地飞行,飞行了36min后到达E地,飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD 600km,CD 1200km,BC 500km,且

ADC 300, BCD 1130。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多少?(参

3

考数据:tan370 )

4

解:如图,连接AC,CE,在 ACD中由余弦定理,得: AC2 (600)2 12002 2 6003 1200

3600002

6003kmAC 600, 1分 则CD2 AD2 AC2,即 ACD是直角三角形,且

ACD 60, 2分 又 BCD 1130,则 ACB 530, 3分 在 ABC中,由余弦定理,则有:

B

113

3

AB2 6002 5002 2 600 500 5002

5

,则

D

0km

AB 500 4分

a c

a2 c2 (2分 22又BC 500则 ABC是等腰三角形,且 BAC 530, 6a c b2cosB

2ac2ac

由已知有AE 600

36

360, 7分 60

在 ACE中,由余弦定理,有CE

2

2

2

3602 6002 2 360 600

3

480 8分 5

又AC AE CE,则 AEC 90。 9分

由飞机出发时的方位角为60,则飞机由E地改飞C地的方位角为:

1800 (900 600) 1500 11分

答:收到命令时飞机应该沿方位角150的航向飞行,E地离C地480km。 12分

x x x

21.(12分)

已知函数f(x) cos sin2( 0,0 ).其图象

2222

的两个相邻对称中心的距离为,且过点(,1).

23

(I) 函数f(x)的解析式;

(Ⅱ) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

222

sinC b2 a2 c2. c a b

且f(A)

1 ,求角C的大小. 2

1

wx+j)+[1-cos(wx+j)] 2

【答案】

【解析】(Ⅰ)f(x)=

=sin(wx+j-

π1

)+. 62

π

Q两个相邻对称中心的距离为,则T=π,

2

\

2ππ

=π,Qw>0,\w=2,又f(x)过点(,1),

3|w|

骣骣12ππ1π1鼢,, \cosj=\sin-+j+=1,即sin+j=鼢鼢桫桫236222Q0<j<

πππ1

,\j=,\f(x)=sin(2x+)+. 2362

222

sinC b2 a2 c2 2accosB ccosB sinCcosB, c a b(Ⅱ)在△ABC中,

因为sinC 0,所以sinBcosC 2sinAcosB sinCcosB,

所以2sinAcosB sinBcosC sinCcosB sin(B C) sinA, 因为sinA 0,所以cosB ,因为0 B π,所以B .

32而由f(A)

51 得A ,所以C

4122

,半径为R 200m,房产商欲3

在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大,准备了两种设计方案如图,方案

22.(12分)一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮,其圆心角 POQ

一:矩形ABCD的一边AB在半径OP上,C在圆弧上,D在半径OQ;方案二:矩形EFGH的顶点在圆弧上,顶点G,H分别在两条半径上。请你通过计算,为房产商提供决策建议。

方案一

Q

解:按方案一:如图,连OC,设 POC x,x (0,,

D 4C

在Rt OBC中,BC Rsinx,OB Rcosx,则DA Rsinx

3DA

DA Rsinx, tan,得OA 33OA3

sinx),设矩形ABCD的面积为y,则 则AB OB OA R(cosx 33

y AB BC R2(cosx sin2x)]x)sinx R2(sinxcosx sin2x)

33

132 2 R2[sin2x (1 cos2x)] Rsin(2x ) R23366

5

由x (0,得 2x 。

3666

33232

R R。 所以当2x ,即x 时ymax (366662

按方案二:如图作 POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N,连OE。

设 MOE , (0,),在Rt MOE中,ME Rsin ,OM Rcos

6NH

在Rt ONH中, tan,得ON 3NH 3Rsin ,则

ON6

MN OM ON R(cos 3sin ),设矩形EFGH的面积为S,则

在Rt OAD中,

O

P A

方案一

S 2ME MN 2R2sin (cos sin )

2

2

2

R(2sin cos 23sin ) R(sin2 3cos2 )

2R2sin(2 ) R2

3

2

由 (0,,则 2 ,所以当2 ,即 时Smax (2 )R2

12632333

373 12 2 3

0,即ymax Smax 66

答:给房产商提出决策建议:选用方案一更好。

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/5ba4.html

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