四川省成都外国语学校2015—2016学年高一下学期期中考试试卷 数学(文)
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成都外国语学校高2015-2016学年第二学期半期考试
文科数学试题
一、选择题:(每小题5分共60分,每个题共有4个选项,其中只有一个选项是正确的,请把正确选项的填在答题卷上,否则不得分)
1.由a1 1,d 3确定的等差数列{an},当an 298时序号n ( ) A.99
B.100
C.96
D.101
2.已知向量a (x 5, 3), b (2, x), 且a b,则x ( )
A.2或3 B.-1或6 3.sin15 cos15 的值是( ) A.
C.6
D.2
12
B.
32
C.
62
D .
3 2
)
4.在 ABC中,已知A,B,C成等差数列,且b ,则
sinA sinB sinC
(
a b c
D.
A.2 B.
1 2
C.
3
5.设平面向量m 1,2 ,n 2,b ,若m//n,则m n等于( )
A
B
C
D
.
6.在 ABC中,tanA是以 4为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tanB是以2为公差, 9为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
7
.已知向量a (
cosx sinx,b (cosx sinx,x R),则函数f(x) a b是( )
A.周期为 的偶函数 B.周期为 的奇函数 C.周期为8.在 ABC中,sinA A.
的偶函数 D.周期为的奇函数 22
B
53
,cosB ,则cosC ( ) 135
C.
3316
B. 656556
65
D.
1656或 6565
9.如右图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),为了测量A,B两点间的距离,选取一条基线CD,测得:CD 200m, ADB ACB 30, CBD 60,则AB ( A.
)
C
2003
m 3
B.200 C.1002m
cb
D.数据不够,无法计算
10.设a,b,c为三角形ABC三边长,若ogla 1,b c,
oagl
cb
2ogla oglcb
acb
a,则三角形ABC
的形状为( ) A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定 )
11.已知 ABC的三边a,b,c满足:a3 b3 c3,则此三角形是( A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
12.有以下命题:①对任意的 R都有sin3 3sin 4sin3 成立;②对任意的 ABC都有等式
a bcosA ccosB成立;③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一;
④若A,B是钝角 ABC的二锐角,则sinA sinB cosA cosB。其中正确的命题的个数是( ) A.4
B.3
C.2
D.1
二、填空题:(每小题4分,共16分,请把结果填在答卷上,否则不给分) 13.已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则
b2
的值为_____________.
a1 a2
14.已知
3123
,cos ,sin ,则sin cos 的值_________. 24135
sin2a8 sin2a4
1
sin(a a)15.设等差数列 an 的公差d (0,,当n 8时, an 的前n项和Sn取得最小值,1),且48
则a1的取值范围是__________.
16.如图,定圆C的半径为4,A为圆C上的一个定点,B为圆C上的动点,若点A,B,C不共线,且
| t| ||对任意的t (0, )恒成立,则AB AC
三、解答题:
17.(文)(10分)化简:tan700sin800(tan200 1);
18.(12分)已知a (cos ,sin ),b (cos ,sin ),其中0 .(Ⅰ) 求证:a b 与a b
互相垂直;(Ⅱ)若ka b与a kb的模相等,求 的值 (k为非零常数) .
n2 n
19.(12分)已知数列{an}中的前n项和为Sn ,又an log2bn。(1)求数列{an}的通项公式;(2)求
2
数列{bn}的前n项和Tn。
20.(12分)如图,一架飞机以600km/h的速度,沿方位角600的航向从A地出发向B地飞行,飞行了36min后到达E地,飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD 3km,CD 1200km,BC 500km,且
ADC 300, BCD 1130。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多少?(参
3
考数据:tan370 )
4
B北
500 600km
C 1200km
a c2
a2 c2 ()222 a c b32cosB 2ac2ac8
113
21.(12分)
已知函数f(x) 邻对称中心的距离为
x
2
cos
x
2
sin2
x
2
( 0,0
2
).其图象的两个相
,且过点(,1).(I) 函数f(x)的解析式;(Ⅱ) 在△ABC中,角A,B,C所对的边23
2221 sinCb a cf(A) 分别为a,b,c.已知.且,求角C的大小. 2
c a2 b22
,半径为R 200m,房产商欲在此3
地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大,准备了两种设计方案如图,方案一:矩形ABCD的一边AB在半径OP上,C在圆弧上,D在半径OQ;方案二:矩形EFGH的顶点在圆弧上,顶点G,H分别在两条半径上。请你通过计算,为房产商提供决策建议。
方案一
22.(12分)一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮,其圆心角 POQ
文科数学试题答案
一、选择题:(每小题5分共60分,每个题共有4个选项,其中只有一个选项是正确的,请把正确选项的填在答题卷上,否则不得分)
1.由a1 1,d 3确定的等差数列{an},当an 298时序号n ( )B A.99
B.100
C.96
D.101
2.已知向量a (x 5, 3), b (2, x), 且a b,则x ( ) D
A.2或3 B.-1或6 3.sin15 cos15 的值是( )C
C.6
D.2
63
D .
2 2
sinA sinB sinC
4.在 ABC中,已知A,B,C成等差数列,且b ,则 (
a b c
13
A.2 B. C.3 D.
23
A.
B.
1
2 2
C.
)B
5.设平面向量m 1,2 ,n 2,b ,若m//n,则m n等于( )D
A
B
C
D
.6.在 ABC中,tanA是以 4为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tanB是以2为公差, 9为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( )A
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
7
.已知向量a (
cosx sinx,b (cosx sinxx R),则函数f(x) a b是( )
A
A.周期为 的偶函数 C.周期为
B.周期为 的奇函数 D.周期为
的偶函数 2
的奇函数 2
8.在 ABC中,sinA
A.
331656 D. 或 656565
9.如右图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),为了测量A,B两点间的距离,选取一条基线CD,测得:CD 200m, ADB ACB 300, CBD 600,则AB ( )A
2003B m A.B.2003 3
C.1002m D.数据不够,无法计算
10.设a,b,c为三角形ABC三边长,a 1,b c,
若logc ba logc ba 2logc balogc ba,则三角形ABC的形状为( )B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 11.已知 ABC的三边a,b,c满足:a3 b3 c3,则此三角形是( )B
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
12.有以下命题:①对任意的 R都有sin3 3sin 4sin3 成立;②对任意的 ABC都有等式
53
,cosB ,则cosC ( )B 135
1656B. C.
6565
C
a bcosA ccosB成立;③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一;④若A,B是钝角 ABC的二锐角,则sinA sinB cosA cosB。其中正确的命题的个数是( )B
A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题:(每小题4分,共16分,请把结果填在答卷上,否则不给分)
13.已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则
b2
的值为_____________.
a1 a2
【答案】
3 10
14.已知
3123
,cos ,sin ,则sin cos 的值_________.
24135
sin2a8 sina24
15.设等差数列 an 的公差d (0, 1,当n 8时, an 的前n项和Sn取1),且
sin(a4 a8)
得最小值,则a1的取值范围是__________.
【答案】 ,
7 8
16.如图,定圆C的半径为4,A为圆C上的一个定点,B为圆C上的动点,若点A,B,C不共线,且
|AB tAC| |BC|对任意的t (0, )恒成立,则AB AC= .
【答案】16
三、解答题:
17.(文)(10分)化简:tan700sin800(3tan200 1);
00000
解:①原式 sin70 cos100 (3sin20 1) sin70 cos100 sin20 cos20
cos700cos200cos700cos200
00
cos200 2cos100sin10002sin(20 30) cos10 1 sin200cos200sin200
18.(12分)已知a (cos ,sin ),b (cos ,sin ),其中0 .
(Ⅰ) 求证:a b 与a b互相垂直;
(Ⅱ)若ka b与a kb的模相等,求 的值 (k为非零常数) .
解:(Ⅰ)因为
a (cos ,sin )
,
b (cos ,sin )
,所以,
2 2
22
a cos sin 1,b cos2 sin2 1.
所以,( ) ( ) 0,所以,(a b) (a b).
2
2
2 2
(Ⅱ)由|ka b| |a kb|得(ka b) (a kb)
2 2
2222
即(k 1)a 4ka b (1 k)b 0,又a cos sin 1,b cos sin 1
2
2
2
2
cos cos sin sin cos( ) cos( )
所以(k2 1) 4kcos( ) (1 k2) 0,化简得4kcos( ) 0, 因为,k 0,cos( ) 0,又0 ,得0 , 所以,
2
.
n2 n
19.(12分)已知数列{an}中的前n项和为Sn ,又an log2bn。(1)求数列{an}的通项公式;(2)
2
求数列{bn}的前n项和Tn。
n2 n(n 1)2 (n 1)
n 3分 解:(1)当n 2时,an Sn Sn 1 22
12 1
当n 1时,a1 S1 1,也适合上式 5分
2
数列{an}的通项公式为an n。 6分
(2)由 an log2bn,得bn 2n 9分
2(1 2n)
2n 1 2 12分 则数列{bn}的前n项和为: Tn
1 2
20.(12分)如图,一架飞机以600km/h的速度,沿方位角600的航向从A地出发向B地飞行,飞行了36min后到达E地,飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD 600km,CD 1200km,BC 500km,且
ADC 300, BCD 1130。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多少?(参
3
考数据:tan370 )
4
解:如图,连接AC,CE,在 ACD中由余弦定理,得: AC2 (600)2 12002 2 6003 1200
3600002
,
则
6003kmAC 600, 1分 则CD2 AD2 AC2,即 ACD是直角三角形,且
ACD 60, 2分 又 BCD 1130,则 ACB 530, 3分 在 ABC中,由余弦定理,则有:
B
113
3
AB2 6002 5002 2 600 500 5002
5
,则
D
0km
AB 500 4分
a c
a2 c2 (2分 22又BC 500则 ABC是等腰三角形,且 BAC 530, 6a c b2cosB
2ac2ac
由已知有AE 600
36
360, 7分 60
在 ACE中,由余弦定理,有CE
2
2
2
3602 6002 2 360 600
3
480 8分 5
又AC AE CE,则 AEC 90。 9分
由飞机出发时的方位角为60,则飞机由E地改飞C地的方位角为:
1800 (900 600) 1500 11分
答:收到命令时飞机应该沿方位角150的航向飞行,E地离C地480km。 12分
x x x
21.(12分)
已知函数f(x) cos sin2( 0,0 ).其图象
2222
的两个相邻对称中心的距离为,且过点(,1).
23
(I) 函数f(x)的解析式;
(Ⅱ) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
222
sinC b2 a2 c2. c a b
且f(A)
1 ,求角C的大小. 2
1
wx+j)+[1-cos(wx+j)] 2
【答案】
【解析】(Ⅰ)f(x)=
=sin(wx+j-
π1
)+. 62
π
Q两个相邻对称中心的距离为,则T=π,
2
\
2ππ
=π,Qw>0,\w=2,又f(x)过点(,1),
3|w|
骣骣12ππ1π1鼢,, \cosj=\sin-+j+=1,即sin+j=鼢鼢桫桫236222Q0<j<
πππ1
,\j=,\f(x)=sin(2x+)+. 2362
222
sinC b2 a2 c2 2accosB ccosB sinCcosB, c a b(Ⅱ)在△ABC中,
因为sinC 0,所以sinBcosC 2sinAcosB sinCcosB,
所以2sinAcosB sinBcosC sinCcosB sin(B C) sinA, 因为sinA 0,所以cosB ,因为0 B π,所以B .
32而由f(A)
51 得A ,所以C
4122
,半径为R 200m,房产商欲3
在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大,准备了两种设计方案如图,方案
22.(12分)一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮,其圆心角 POQ
一:矩形ABCD的一边AB在半径OP上,C在圆弧上,D在半径OQ;方案二:矩形EFGH的顶点在圆弧上,顶点G,H分别在两条半径上。请你通过计算,为房产商提供决策建议。
方案一
Q
解:按方案一:如图,连OC,设 POC x,x (0,,
D 4C
在Rt OBC中,BC Rsinx,OB Rcosx,则DA Rsinx
3DA
DA Rsinx, tan,得OA 33OA3
sinx),设矩形ABCD的面积为y,则 则AB OB OA R(cosx 33
y AB BC R2(cosx sin2x)]x)sinx R2(sinxcosx sin2x)
33
132 2 R2[sin2x (1 cos2x)] Rsin(2x ) R23366
5
由x (0,得 2x 。
3666
33232
R R。 所以当2x ,即x 时ymax (366662
按方案二:如图作 POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N,连OE。
设 MOE , (0,),在Rt MOE中,ME Rsin ,OM Rcos
6NH
在Rt ONH中, tan,得ON 3NH 3Rsin ,则
ON6
MN OM ON R(cos 3sin ),设矩形EFGH的面积为S,则
在Rt OAD中,
O
P A
方案一
S 2ME MN 2R2sin (cos sin )
2
2
2
R(2sin cos 23sin ) R(sin2 3cos2 )
2R2sin(2 ) R2
3
2
由 (0,,则 2 ,所以当2 ,即 时Smax (2 )R2
12632333
373 12 2 3
0,即ymax Smax 66
答:给房产商提出决策建议:选用方案一更好。
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