专题训练：全等三角形问题中常见的辅助线的作法

专题训练：全等三角形问题中常见的辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种： 姓名 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式

是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变

换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻

转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，

是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3， 则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，

ABDCAE试比较BE+CF与EF的大小.

- 1 -

FBDC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点， 求证：AD平分∠BAE.

中考题应用：

以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，?BAD??CAE?90?,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． （1）如图① 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0

?

二、截长补短

1、如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

A

- 2 -

BDC2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

0ADEBC3、如图，已知在?ABC内，?BAC?60，?C?40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ

0分别是?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC， 求证： ?A??C?180

- 3 -

B0ABQPCADC5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

中考题应用：

BPC12AD

三、平移变换

例1 、AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

- 4 -

例2、如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

AB

四、借助角平分线造全等

DEC

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

BDCEOAAEBGCFD- 5 -

中考题应用：

如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请

你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分

线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所

得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

M

E O

图①

B F E D C

图②

P N

A

F D

A 图③

C 五、旋转

例1 、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

AD

F

BC E

例2、 D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1） 当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。 B

A E

CMA F N

- 6 -

例3、 如图，?ABC是边长为3的等边三角形，?BDC是等腰三角形，且?BDC?120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则?AMN的周长为 ；

A00MNBC

中考题应用：

D

??1、已知四边形ABCD中，AB?AD，BC?CD，AB?BC，∠ABC?120，∠MBN?60，

∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． 当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时（如图1），易证AE?CF?EF．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证

明．

- 7 -

A

B E

M

B A

E M

D

A

B F C D

C F D

C N

F N

N

（图3）

E M

（图1） （图2）

2、已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

3、在等边?ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为?ABC外一点，且

?MDN?60?,?BDC?120?,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、

MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系．

图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

Q? ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

- 8 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5b46.html