科学网 曹广福 说课系列

说课—微积分

有一个牛曹大侠还是敢吹的，我听过的课比大多数教师都多，要说一百个老师有一百种不同的讲课风格并不为过，如何评价一个教师的课？尽管我们有课堂评价指标体系，但坦而言之，仅靠那指标体系打出来的分数很多不靠谱，所以有些老师对学生评课的分数不屑也是情有可原的，但课堂的确有好坏之分。

最近听了一节课，严格说来只有十分钟左右，因为课堂进行到十分钟时被我打断了，“课”结束了，再讲下去也就那样，曹大侠怎如此霸道地剥夺了人家讲课的权力？别激动，仅是试讲而已。我忽然有了一种想写出来的冲动，因为一直有人对讲课不以为然，觉得博士、教授怎会连一节课都讲不好？嘿嘿，还真不见得，哪怕你是著名研究院的博士或者名牌大学的教授，很难说你的课就一定讲得好。

试讲者讲的是极值问题，主要介绍费马定理，他是这样开场的：

今天我们要介绍费马定理，费马定理有两种，一个是费马大定理，即X^n+Y^n=Z^n在n?3时没有整数解…（主讲者简单介绍了一下费马，不过介绍不到位），不过我们今天要介绍的是费马定理，不是费马大定理。先来介绍一下概念（接着主讲者画了个函数图像，写下了极大值、极小值的概念）。费马定理是说：如果函数y=f(x)在点x_0

的邻域内有定义，且在该点可导，则当函数在该点有极值时，有f’(x_0)=0。

主讲人写了“证明“两个字并开始边讲边写证明过程，等到证明快要讲完时被我打断了。我问了几个问题：“你在一开始讲费马大定理与后面的内容有什么内在联系？其次，如果我是学生，我自然会产生这样的疑问，你为什么要定义极值？你怎么知道有费马定理的？”接着我对他说：“如果是我来讲，我可能会这样讲：现实中常常碰到求最大值与最小值的问题，例如木工要将一个圆柱形的木头锯成抗弯强度最大的矩形梁，该怎么锯？市场上，商家总是追求利润最大化，但并非价格越高利润越大，因为价格提高，销量就会减少，如何确定合适的价格使利润最大？反映到数学上来，就是求函数的最大值或最小值。那么，如何求函数的最大值与最小值呢？我会画出几种函数的图像，其中最大或最小值分别在区间的端点或内部取到，通过对这些图像的分析，我们会发现，最大值肯定在图像的‘峰点’或端点处取到，然而，从这些图像可以看出，一个函数的峰点可能有很多，在峰点处函数有什么特点？于是极值概念出现了，通过对极值的进一步分析，我们直觉上会感到，如果函数在峰点处有切线，则切线应该是水平的，于是我们猜到了费马定理”

我们为什么要强调教师需要做点科研？因为它对教学的确有帮助，数学是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程，所以我们的

课堂应该围绕着问题展开，如何通过个别现象的分析提出合适的问题？如何通过对这些问题的分析建立相关的概念以及发现解决问题的可能的途径？如何学会数学猜测？教材是不会教给我们这些东西的，它需要我们从科研实践中学习。可是我们真的去琢磨过科研与教学之间的关系了吗？

教学并不像某些老师想象的那么简单，如果我们在课堂上就着书本从概念到定理再到证明，而对于这些概念、定理的来龙去脉以及如何发现定理证明的蛛丝马迹无所交代，那么与让学生自己看书有什么本质差别？我们要求老师课前要认真备课，并且评估时还要看老师的备课笔记。嘿嘿，笔记能说明什么？课一定要备在本子上么？备在本子上就合格了？依我看，真正的备课是琢磨如何设计合适的问题以及如何通过对这些问题的分析寻找解决问题的方案进而提出恰当的概念、发现有规律性的东西并大胆作出猜测。我们有多少数学老师是这么做的？

说课（3）--微积分

目前，我们的理工科微积分教学忽略了两个问题，一是忽略了与中学阶段所学知识的衔接，二是忽略了知识的实际背景，还是让我们从函数谈起。

高中阶段学生就已经学过函数概念，也学过一点微积分基础知识，不过不客气地说，学得有点不伦不类，我甚至怀疑我们有些中学老师对微积分是否真的融会贯通。现在的中学教材把传统的数学体系弄得支离破碎。例如，平面几何基本不成系统，学生没有了基本的逻辑训练；立体几何采用向量法，侧重于计算，学

生没有了空间想像能力；三角函数中一些基本的公式也没有了，学生无力应对基本的数学运算。另一方面，却将微积分下放到中学。如果是在过去绝大多数中学生没有机会上大学的情况下，让中学生们也多少了解一点微积分思想是可以理解的，可如今的中学生大多数都要都大学，换句话说，还得重学微积分，我不知道中学开设微积分有什么意义！学生真的能理解并掌握微积分吗？

大学的微积分教学注意到这个问题没有？翻开微积分教材，你会看到和几十年前相比基本没什么变化，还是从函数开始。当然，函数是微积分的基本研究对象，要讲微积分自然少不了函数，问题是该如何处理它们？我觉得函数需要介绍，但不宜像以往那样将过多的精力放在各种函数性质的详细阐述上，因为中学阶段对各种初等函数已经有过比较详细的介绍。有些人认为函数部分可以一带而过，我不这么认为，其一，学生在中学阶段学的函数同样不成体系，很多重要概念并没有介绍，其二，学生除了知道抽象的函数概念，大概谁也说不清函数到底可以用来干嘛，大学老师无异于在帮中学教师炒夹生饭。我觉得函数理论的介绍不能是中学内容的重复，而应该是其补充与深化。

以函数的性质为例，我们讨论的函数性质通常有这样几类：1、有界性，2、单调性，3、奇偶性，4、周期性。这些性质中学阶段都已经有过介绍，完全没必要再做详细讲解，可以简单地复习一下其定义，最多再作一下简单的图示就可以了，重要的是要阐述这些性质的重要意义。有界的重要性在于，当某个变量发生变化时，与之相关的量是不是可以控制，我们甚至可以适当延伸一下，从系统论的观点阐述一下它的意义，如经济上的敏感性分析，系统的稳定性分析，本质上都是研究某个量在某个变化过程中的有界性（只不过讨论的是导数的有界性）。单调函数的重要性在于实际问题中，常常要考察当一个量增长或递减时，与之相

应的量（函数）是否随之增长或递减，这类问题的例子实在太多了，俯拾皆是。奇偶函数的重要性在于当我们清楚了函数具有奇偶性时，只需要研究自变量大于零的情形，自变量小于零的情形可以根据对称性得到。周期函数的重要性在于一旦知道了某个量的变化具有周期性，便可以预测某种现象何时出现。如天体的运动，海潮的涨落，季节的交替通常都是有周期性的。

学生对初等函数再熟悉不过了，你若再作详细讲解，学生必然会觉得乏味，但初等函数是微积分研究的最重要对象，所有的计算都是针对初等函数进行的，略过去显然是不妥的，问题在于怎么讲。我觉得可以从数学模型的角度做介绍，关于数学模型记得我已经在别的博文中做过介绍，这里不再重复。（参见博文《让数学思想的光芒照耀科学的每个角落》

http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=47212）

在介绍过数学模型后可以则重于介绍各种初等函数通常在什么样的实际问题中出现，以多项式的介绍为例，我们可以这样来进行，首先阐明什么叫多项式，最简单的多项式是一次函数（也叫线性函数，几何上代表一条直线），在通过适当的例子解释这些概念后需要进一步阐明它们的科学意义。很多实际问题中两个量之间都以线性关系变化，或近似地以线性关系变化。如匀速直线运动中，路程是时间的线性函数。根据物理定律足以建立匀速运动中路程与时间的函数关系。有时，也许没有自然定律和法则来帮助我们建立模型，此时可以利用统计数据在坐标系中描出它们的点，然后找出一条比较接近这些数据点的变化趋势的曲线来近似表达这些数据，这个过程也称为“拟合”（通过例子说明如何做拟合）。当然很多时候并没有这么幸运，事实上，绝大多数实际问题并不遵循线性模型，如弹簧的振动，电磁波的运动等等都不可能通过线性模型来描述，甚至有时不能用一

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