最新数学人教A版必修4 1.6 三角函数模型的简单应用 作业 含解析

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[A.基础达标]

1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )

A．该质点的运动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零

解析：选B.由题图可知，该质点的振幅为5 cm. 2．与图中曲线对应的函数解析式是( )

A．y＝|sin x| B．y＝sin |x| C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|

解析：选C.注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|＞0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.

π

3．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象

2

的最高点)，则正整数t的最小值是( )

A．5 B．6 C．7 D．8

π

解析：选C.函数y＝－sin x的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.故选

2

C.

4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十

t

字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位

2

是分，则车流量增加的时间段是( )

A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]

πtπ

解析：选C.由2kπ－≤≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，由于0≤t≤20，

222

所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10,15]内是增加的． 5．如图，某地一天中6时至14时的温度变化的曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其

π

中ω＞0，＜φ＜π)，则估计中午12时的温度近似为( )

2

A．30 ℃ C．25 ℃ B．27 ℃ D．24 ℃

12π

解析：选B.由题中函数的图象可得b＝20，A＝30－20＝10，根据·＝10－6，可得ω

4ω

ππ3π3ππ3π

＝.再根据五点法作图可得，×6＋φ＝，求得φ＝，∴y＝10sin(x＋)＋20. 882484

3π3ππ2

令x＝12，可得y＝10sin(＋)＋20＝10sin ＋20＝10×＋20≈27(℃)，故选B.

2442

6．用作调频无线电信号的载波以y＝asin(1.83×108πt)为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为________，频率为________．

2π2π－8

解析：T＝＝8≈1.09×10(s)， ω1.83×10π1

f＝＝9.17×107(Hz)． T

－

答案：1.09×108 s 9.17×107 Hz 7．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有A＝________，ω＝________.

2

解析：水轮每分钟旋转4圈，即每秒钟旋转π rad，

15

2

所以ω＝π.

15

所以水轮上最高点离水面的距离为r＋2＝5(米)． 即ymax＝A＋2＝5，所以A＝3.

2

答案：3 π

15

8．如图，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________．

解析：当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ，由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y＝rsin(ωt＋φ)．

答案：y＝rsin(ωt＋φ) 9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．

记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：

(1)求函数p(t)的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．

2π2π1

解：(1)T＝＝＝(min)．

|ω|160π80

1

(2)f＝＝80.

T

(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．

即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．

10．当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表. x(月份) t(气温) 1 17.3 2 17.9 3 17.3 4 15.8 5 13.7 6 11.6 7 10.06 8 9.5 9 10.06 10 11.6 11 13.7 12 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型； (2)当自然气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜于旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间．

解：(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线．

由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，

依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝Acos(ωx＋φ)＋k来描述． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃，

17.9－9.5则A＝＝4.2；

2

17.9＋9.5k＝＝13.7.

22ππ显然＝12，故ω＝. ω6

又x＝2时y取最大值，依ωx＋φ＝0，

ππ

得φ＝－ωx＝－×2＝－.

63πxπ

所以t＝4.2cos(－)＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式．

63

(2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点， (5,13.7)，(11,13.7)．

这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间．

[B.能力提升]

1. 如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )

ldαα

解析：选C.由l＝αR，可知α＝，结合圆的几何性质可知＝Rsin ，所以d＝2Rsin

R222

l

＝2Rsin ，

2R

l

又R＝1，所以d＝2sin ，故结合正弦图象可知C项正确．

2

2π

2．曲线y＝Asin ωx＋a(A>0，ω>0)在区间[0，]上截直线y＝2及y＝－1所得的弦长相

ω

等且不为0，则下列对A，a的描述正确的是( )

1313

A．a＝，A> B．a＝，A≤

2222

C．a＝1，A≥1 D．a＝1，A≤1

2＋?－1?11

解析：选A.图象的上、下部分的分界线为y＝＝，得a＝，且(A＋a)－(－A

222

3

＋a)＞2－(－1)，即2A>3，A>.

2

3．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．

d

πππt2

解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示，sin ＝，

3030605

πt

所以d＝10sin .

60πt

答案：10sin 60

4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期πππ

为，且直线x＝－为其图象的一条对称轴，如果|φ|＜，那么此函数的解析式为________． 232

?ymax＝A＋n＝4，?A＝2，???解析：因为所以? ???ymin＝－A＋n＝0，?n＝2.π2π又T＝＝，

2ω

所以ω＝4.所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.

πππ11

因为x＝－为其图象的一条对称轴，所以4×(－)＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ＋

3326

π(k∈Z)．

ππ

因为|φ|＜，所以φ＝－.

26

π

所以y＝2sin(4x－)＋2.

6π

答案：y＝2sin(4x－)＋2

6

5. 如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式．

(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．

解：(1)以O为坐标原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，设摩天轮上

2π

某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为t，

202π

所以t秒时，Q点的纵坐标为10·sin t，

20

故在t秒时此人相对于地面的高度为

π

y＝10sin t＋12(米)．

10

ππ1

(2)令y＝10sin t＋12≤10，则sin t≤－.因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故

10105

约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．

ππ

6．(选做题)(2015·浙江省调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的

22

ππ

图象与x轴的一个交点为(－，0)，与此交点距离最短的最高点坐标为(，1)．

612

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)求方程f(x)＝a(－1＜a＜0)在[0,2π]内的所有实数根之和． 解：(1)依题意，函数f(x)的最大值为1，即A＝1.

ππ2π

函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝4×(＋)＝π，由π＝，解得ω＝2.

126ωπ

函数f(x)的图象与x轴的一个交点为(－，0)，

6

ππ

所以f(－)＝0，所以sin[2×(－)＋φ]＝0，

66πππ

又因为－＜φ＜，所以φ＝，

223

π

则函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋)．

3

π

(2)因为函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期为π，

3π

所以函数f(x)＝sin(2x＋)在[0,2π]内恰有两个周期，

3π

所以方程sin(2x＋)＝a(－1＜a＜0)在[0,2π]内有4个实根，可设为x1，x2，x3，x4，其中

3

x1＜x2＜x3＜x4，

x1＋x27πx3＋x419π且＝，＝，

212212

7π19π13π

所以在[0,2π]内的所有实数根之和为2×＋2×＝.

12123

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5b0x.html