高中数学 1.3《三角函数的诱导公式》教学设计 新人教A版必修4

1.3 《三角函数的诱导公式》教学设计

【教学目标】

1.诱导公式(一)、（二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式．

2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明． 【导入新课】 1.复习公式一，公式二 2.回忆公式的推导过程 新授课阶段 1．诱导公式二：

思考：（1）锐角?的终边与180??的终边位置关系如何？ （2）写出?的终边与180??的终边与单位圆交点P,P'的坐标． （3）任意角?与180??呢？

结论：任意?与180??的终边都是关于原点中心对称的．则有P(x,y),P'(?x,?y)，由正弦函数、余弦函数的定义可知：

sin??y， cos??x；

sin(180??)??y， cos(180??)??x．

从而，我们得到诱导公式二： sin(180??)??sin?；cos(180??)??cos?． 说明：①公式中的?指任意角；

②若?是弧度制，即有sin(???)??sin?，cos(???)??cos?； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan(180??)?2．诱导公式三：

思考：（1）360??的终边与??的终边位置关系如何？从而得出应先研究??； （2）任何角?与??的终边位置关系如何？

可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看20?与20??180?，20?与

sin(180??)?sin????tan?．

cos(180??)?cos?20??180?的终边的关系．从而易知，

???与???,??3?，??3?，，??（2k+1），?

(k?z)终边相同，所以三角函数值相等．由?与???的终边与单位圆分别相交于P与 P′，它们的坐标互为相反数P(x，y)，P′(-x，-y)（见课本图1-18），所以有

cos???(2k?1)???-cos?

sin???(2k?1)???-sin? （三） tan???(2k?1)???tan?

结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin(??)??sin?；cos(??)?cos?． 说明：①公式中的?指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan(??)??tan?． 3．诱导公式四：sin(180??)?sin?；

cos(180??)??cos?．

4．诱导公式五：sin(360??)??sin?；

cos(360??)?cos?．

说明：①公式四、五中的?指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；

④可以导出正切：tan(180??)??tan?；tan(360??)??tan?． 5．公式六：sin(?2??)?cos? cos(?2??)?sin?

sin(?2??)?cos? cos(?2??)??sin?

说明：①公式六中的?指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名变化，符号看象限． 结合公式（一）和（三）可以得出下结论：

??sina,sin(??n?)???sina，当n为奇数当n为偶数

??cosa,cos(??n?)???cosa，tan(??n?)?tan?,当n为奇数当n为偶数

n?Z

由?与???和单位圆分别交于点P′与点P，由诱导公式（二）和（三）或P′与点P关于y轴对称，可以得到 ?与???只见的三角函数关系（见课本图1-19）

sin(???）?sin? cos(???）?-cos?

例1 下列各三角函数值： 解：

例2 将下列三角函数化为到之间角的三角函数： 解：略．

例3 求下列三角函数值：（1）sin960； （2）cos(?43?)． 6解：（1）sin960?sin(960?720)?sin240（诱导公式一）

?sin(180?60)??sin60（诱导公式二）

??3． 2（2）cos(?43?43?)?cos（诱导公式三） 667?7??cos(?6?)?cos（诱导公式一）

66?cos(??)??cos（诱导公式二） 66????3． 2cot??cos(???)?sin2(3???)例4 （1）化简； 3tan??cos(????)（2）sin120?cos330?sin(?690)cos(?660)?tan675?cot765．

cot??(?cos?)?sin2(???)解：（1）原式?

tan??cos3(???)cot??(?cos?)?(?sin?)2 ?3tan??(?cos?)cot??(?cos?)?sin2? ?tan??(?cos3?)cos2?sin2????1． sin2?cos2?（2）原式?sin(180?60)?cos(360?30)?sin(720?690)cos(720?660)

?tan(675?720)?cot(765?720) ?sin60cos30?sin30cos60?tan(?45)?cot45

??3311????tan45?1 222231??1?1?1． 44例5 已知：tan??3，求解：∵tan??3，

2cos(???)?3sin(???)的值．

4cos(??)?sin(2???)?2cos??3sin??2?3tan???7．

4cos??sin?4?tan?3例6 已知sin???，且?是第四象限角，求tan?[cos(3???)?sin(5???)]的值．

5∴原式?解：tan?[cos(3???)?sin(5???)]

?tan?[cos(???)?sin(???)]?tan?(?cos??sin?) ?tan?sin??tan?cos??sin?(tan??1)．

由已知得：cos??4321,tan???， ∴原式?． 5420例7 化简

sin(??n?)?sin(??n?)(n?Z)．

sin(??n?)cos(??n?)解：①当n?2k,k?Z时，

原式?sin(??2k?)?sin(??2k?)2． ?sin(??2k?)cos(??2k?)cos?②当n?2k?1,k?Z时，

原式?sin[??(2k?1)?]?sin[??(2k?1)?]2． ??sin[??(2k?1)?]cos[??(2k?1)?]cos?课堂小结

1．五组公式可概括如下：??k?360(k?Z),??,180??,360??的三角函数值，等于?的同名函数值，前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号；

2．要化的角的形式为k?90??（k为常整数）；

3．记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k为奇数还是偶数）

4．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．

作业

课本第32页习题B组第1、2题 拓展提升 1．若sin(o?2??)?cos(???)，则?的取值集合为

?4k?Z}

B．{?|??2k??D．{?|??k???2 （ ）

A．{?|??2k??C．{?|??k?2．已知tan(?

（ ） A．

|a|1?a2?4k?Z} k?Z}

k?Z}

14?)?a,那么sin1992?? 15a1?a2

B．

C．?a1?a2

D．?11?a2

3．设角???35???)的值等于 ?,则2sin(?2??)cos(???)?cos(61?sin??sin(???)?cos2(???)B．－

（ ）

A．

3 33 3C．3 D．－3

（ ）

4．当k?Z时，A．－1

sin(k???)?cos(k???)的值为

sin[(k?1)???]cos[(k?1)???]B．1 C．±1

D．与?取值有关

5．设f(x)?asin(?x??)?bcos(?x??)?4，且(a,b,?,?为常数）

f(2000)?5,那么f(2004)? （ ）

A．1 6．已知sin(B．3 C．5

D．7

?4??)?3?3??)值为（ ） ，则sin(42A.

1133 B. — C. D. — 222213π，<α<2?,sin (2?-α) 值为（ ） 227．cos (?+α)= —

A.

1333 B. C. ? D. —

22228．化简：1?2sin(??2)?cos(??2)得（ ）

A. sin2?cos2 B. cos2?sin2 C. sin2?cos2 D.±cos2?sin2 9．已知tan??3，????3?，那么cos??sin?的值是（ ） 2A．?1?3?1?31?31?3 B． C． D． 2222sin??cos?? .

sin??cos?10．已知sin??3cos??0,则

11．如果tan?sin??0,且0?sin??cos??1,那么?的终边在第 象限． 12．求值：2sin(－1110o) －sin960o+2cos(?225?)?cos(?210?)＝ ．

?2cos3??sin2(???)?2cos(????)?1f()的值． 13．设f(?)?，求232?2cos(7???)?cos(??)14．已知方程sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?)，求

sin(???)?5cos(2???)的值．

3?2sin(??)?sin(??)2

参考答案

1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．C 7．Ａ 8．C 9．B 10．2 11．二 12．-2

2cos3??sin2??2cos??113．解：f(?)? 22?2cos??cos?2cos3??(1?cos2?)?2cos??1=

2?2cos2??cos?2cos3??cos2??2cos?= 22?2cos??cos?cos?(2cos2??cos??2)?cos?． =

2cos2??cos??2∴f()＝cos??33＝

1 214．解： ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?)， ∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?) ∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且cos? ? 0 ∴原式?

sin??5cos??2cos??5cos?3cos?3????

?2cos??sin??2cos??2cos??4cos?4

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