东城区2017年1月高三理科数学期末考试试题

东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学 （理科）

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。）

（1）已知集合A?{x|(x?1)(x?3)?0}，B?{x|2?x?4}，则A?B?

（A）{x|1?x?3}（B）{x|1?x?4} （C）{x|2?x?3}（D）{x|2?x?4} （2）抛物线y2?2x的准线方程是

（A）y??1（B）y??（C）x??1（D）x??1 21 2（3）“k?1”是“直线kx?y?32?0与圆x2?y2?9相切”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，输出的k值为

（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

（5）已知x,y?R，且x?y?0，则

（A）tanx?tany?0（B）xsinx?ysiny?0 （C）lnx?lny?0（D）2?2?0

xy开始 S?0,k?0S?S?S?1112否 是 1kk?k?2

k输出 结束 - 1 -

（6）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,??)上是增函数，则f(x?1)?0的解集

为

（A）(??,?1]（B）(??,1] （C）[?1,??)（D）[1,??) （7）某三棱锥的三视图如图所示，

则该三棱锥的体积为 （A）

2 34 32（B）

（C）2 （D）

1正（主）视图

12侧（左）视图

8 3俯视图

（8）数列{an}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率

rn?0.6(rn?an?1?an，n?N*)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率rn会an发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率rn的规律描述正确的是

1200 数量（个） 理想 800 实际 400 0 5 10 15 时间（天）

- 2 -

0.0.

日增长率 日增长率 0.0. 0.

0. 0 5 11（A） 时间（天） 0 5 （B） 11时间0.6 日增长率

5 10 15 日增长率 0.6 0.4 0.2 0.4 0.2 0

时

间

0 5 10 15 时间（天）

（C）

（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若复数(2?i)(a?2i)是纯虚数，则实数a?．

?x?2?0,?（10）若x,y满足?x?y?0,则x?2y的最大值为．

?x?3y?4?0,?x22（11）若点P(2,0)到双曲线2?y?1(a?0)的一条渐近线的距离为1，则a?_______．

a?（12）在△ABC中，若AB?2，AC?3，?A?60，则BC?；若AD?BC，则AD?_______．

????2????1????（13）在△ABC所在平面内一点P，满足AP?AB?AC，延长BP交AC于点D，

55????????若AD??AC，则??_______．

（14）关于x的方程g(x)?t(t?R)的实根个数记为f(t)．若g(x)?lnx，则f(t)=_______；

若g(x)???x,x?0,??x?2ax?a,x?0,2(a?R)，存在t使得f(t?2)?f(t)成立，则a的

取值范围是_________．

- 3 -

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。） （15）（本小题13分）

已知{an}是等比数列，满足a1?3，a4?24，数列{an?bn}是首项为4，公差为1的等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．

（16）（本小题13分）

已知函数f(x)?2sin(2x??)(|?|??)部分图象如图所示． 2（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及图中x0的值； （Ⅱ）求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值．

y21?2ox0x - 4 -

（17）（本小题14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD?平面ABCD，

BC?1，AB?2，PC?PD?2，E为PA中点．

（Ⅰ）求证：PC∥平面BED； （Ⅱ）求二面角A?PC?D的余弦值；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM?AC？若存在，求

明理由．

（18）（本小题13分）

设函数f(x)?ln(x?1)?PM的值；若不存在，说PCPEDABCax(a?R)． x?1（Ⅰ）若f(0)为f(x)的极小值，求a的值；

（Ⅱ）若f(x)?0对x?(0,??)恒成立，求a的最大值．

- 5 -

（19）（本小题14分）

x2y21已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点M(2,0)，离心率为．A,B是椭圆C上

2ab两点，且直线OA,OB的斜率之积为?（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|?3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求

（20）（本小题13分）

已知集合An?{(x1,x2,LL,xn)|xi?{?1,1}(i?1,2,L,n)}．x,y?An，

3，O为坐标原点． 4|BP|的值． |BQ|x?(x1,x2,L,xn)，y?(y1,y2,L,yn)，其中xi,yi?{?1,1}(i?1,2,?,n)．

定义xey?x1y1?x2y2?L?xnyn．若xey?0，则称x与y正交． （Ⅰ）若x?(1,1,1,1)，写出A4中与x正交的所有元素；

（Ⅱ）令B?{xey|x,y?An}．若m?B，证明：m?n为偶数；

（Ⅲ）若A?An，且A中任意两个元素均正交，分别求出n?8,14时，A中最多可以有多

少个元素．

- 6 -

东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）C （7）B （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）?1（10）6 （11）3 （12）7，

1321（13）（14）1，(1,??)

37三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）设等比数列?an?的公比为q． 由题意，得q?所以an?a1qn?13a4?8，q?2． a1?3?2n?1(n?1,2,?)． ?????3分

又数列{an?bn}是首项为4，公差为1的等差数列， 所以an?bn?4?(n?1)?1． 从而bn?(n?3)?3?2n?1(n?1,2,?)． ?????6分

n?1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?(n?3)?3?2数列{n?3}的前n项和为

n?1(n?1,2,?)

n(n?7)．?????9分 23(1?2n)?3?2n?3． ?????12分 数列{3?2}的前n项和为

1?2 所以，数列{bn}的前n项和为（16）（共13分） 解：（Ⅰ）由题意T?n(n?7)?3?2n?3． ???13分 22???，T??． ????2分 2因为点(0,1)在f(x)?2sin(2x??)图象上， 所以2sin(2?0??)=1． 又因为|?|??， 2- 7 -

所以??所以x0??

． ????4分 6

7?．??????6分 6?f(x)?2sin(2x?)， （Ⅱ）由（Ⅰ）知

6因为0?x??????，所以?2x??． 2666????，即x?时，f(x)取得最大值2； 626 当2x?当2x??????，即x?时，f(x)取得最小值?1．???13分 662（17）（共14分）

解：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF． 因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点． 在△PAC中，由已知E为PA中点， 所以EF∥PC． 又EF?平面BED，

PC?平面BED，

所以PC∥平面BED． ???????????5分 （Ⅱ）取CD中点O，连结PO．

因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点， 所以PO?CD．

又因为平面PCD?平面ABCD，

zPMEODCyPO?平面PCD，

所以PO?平面ABCD． 取AB中点G，连结OG， 由题设知四边形ABCD为矩形， 所以OF?CD．

所以PO?OG．???????1分 如图建立空间直角坐标系O?xyz，

则A(1,?1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，D(0,?1,0)，

AxFGBB(1,1,0)，O(0,0,0)，G(1,0,0)．

- 8 -

????????AC?(?1,2,0)，PC?(0,1,?1)．

设平面PAC的法向量为n?(x,y,z)，

??????x?2y?0,?n?AC?0,则????，即 ???y?z?0.??n?PC?0,令z?1，则y?1，x?2． 所以n?(2,1,1)．

????PCD平面的法向量为OG?(1,0,0)．

????6设n,OG的夹角为?，所以cos??．

3由图可知二面角A?PC?D为锐角，

6．??????????10分 3?????????（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在??[0,1]使得PM??PC．

?????????因此点M(0,?,1??)，BM?(?1,??1,1??)，AC?(?1,2,0)．

所以二面角A?PC?B的余弦值为?????????1

由BM?AC?0，即??．

2

因为??1?[0,1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM?AC． 2此时，

PM1???． ??????????14分 PC2（18）（共14分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(?1,??)． 因为f(x)?ln(x?1)?所以f'(x)?ax， x?11a?． x?1(x?1)2 因为f(0)为f(x)的极小值， 所以f'(0)?0，即所以a?1．

此时，f'(x)?1a??0． 20?1(0?1)x． 2(x?1) - 9 -

当x?(?1,0)时，f'(x)?0，f(x)单调递减； 当x?(0,??)时，f'(x)?0，f(x)单调递增． 所以f(x)在x?0处取得极小值，

所以a?1． ???????????5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a?1时，f(x)在[0,??)上为单调递增函数， 所以f(x)?f(0)?0，

所以f(x)?0对x?(0,??)恒成立． 因此，当a?1时，f(x)?ln(x?1)?axx?ln(x?1)??0， x?1x?1f(x)?0对x?(0,??)恒成立．

当a?1时，f'(x)?1ax?(a?1)， ??x?1(x?1)2(x?1)2所以，当x?(0,a?1)时，f'(x)?0，因为f(x)在[0,a?1)上单调递减， 所以f(a?1)?f(0)?0．

所以当a?1时，f(x)?0并非对x?(0,??)恒成立． 综上，a的最大值为1． ???????????13分 （19）（共13分）

?a?2，?c1?解：（Ⅰ）由题意得??，

a2?222??a?b?c.解得b?3．

x2y2??1． ???????????5分 所以椭圆C的方程为43 （Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x3,y3)． 因为点P在直线AO上且满足|PO|?3|OA|， 所以P(3x1,3y1)． 因为B,Q,P三点共线，

????????所以BP??BQ．

所以(3x1?x2,3y1?y2)??(x3?x2,y3?y2)，

- 10 -

?3x1?x2??(x3?x2), ?3y?y??(y?y).32?123??1?x?x?x2,??3?1? 解得?3??1?y?y?y2.31????22xy33因为点Q在椭圆C上，所以??1．

43所以

3??12(x1?x2)??4??3??12(y1?y2)?3?1．

9x12y12??12x22y226(??1)x1x2y1y2即2(?)?()(?)?(?)?1， ?43?43?243因为A,B在椭圆C上，

x12y12x22y22所以??1，??1．

4343因为直线OA,OB的斜率之积为?3， 4y1y23x1x2y1y2?????0． 所以，即x1x2443所以

9?2?(??12)?1，解得??5． ?所以

|BP|?|?|?5．???????????14分 |BQ|（20）（共13分）

(1,1,?1,?1)，(?1,1,?1,1)，(?1,1,1,?1)，解：（Ⅰ）A4中所有与x正交的元素为(?1,?1,1,1)，(1,?1,?1,1)，(1,?1,1,?1)．?????????3分

（Ⅱ）对于m?B，存在x?(x1,x2,L,xn),xi?{?1,1}，

y?(y1,y2,L,yn),yi?{?1,1}；

使得xey?m．

n?1，xi?yi,令?i??，k???i；当xi?yi时xiyi?1，当xi?yi时xiyi??1.

i?1?0,xi?yi那么xey??xyi?1nii?k?(n?k)?2k?n.

- 11 -

所以m?n?2k为偶数．?????????8分 （Ⅲ）8个，2个

n?8时，不妨设x1?(1,1,1,1,1,1,1,1)，x2?(?1,?1,?1,?1,1,1,1,1)．

1在考虑n?4时，共有四种互相正交的情况即：

111?11?11，分别与x1,x2搭配，可形

?1?1111?1?11成8种情况．

所以n?8时，A中最多可以有8个元素．?????????10分

n?14时，

不妨设y1?(1,1,?1)，y1?(?1,?1,?,?1,1,1,?1)，则y1与y2正交．

???14个????????7个7个令a?(a1,a2,L,a14)，b?(b1,b2,L,b14)，c?(c1,c2,L,c14)且它们互相正交． 设 a,b,c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外

a,b相应位置数字都相同的共有m个， b,c相应位置数字都相同的共有n个.

则aeb?m?k?(14?m?k)?2m?2k?14?0. 所以m?k?7，同理n?k?7. 可得n?m.

由于aec??m?m?k?(14?k?2m)?0，可得2m?7，m?所以任意三个元素都不正交.

综上，n?14时，A中最多可以有2个元素.???13分

7?N*矛盾. 2 - 12 -

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