江苏省连云港2012年中考数学真题试题（带解析）

2012年连云港市中考数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．－3的绝对值是【 】

1 1

A．3 B．－3 C． D．－ 332．下列图案是轴对称图形的是【 】

A． B． C． D．

3．2011年度，连云港港口的吞吐量比上一年度增加31 000 000吨，创年度增量的最高纪

录，其中数据“31 000 000”用科学记数法表示为【 】

7668

A．3.1×10 B．3.1×10 C．31×10 D．0.31×10 4．向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同)，假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于【 】

1 1 3 5 A． B． C． D． 6488

5．下列各式计算正确的是【 】

22235

A．(a＋1)＝a＋1 B．a＋a＝a

82622

C．a÷a＝a D．3a－2a＝1

6．用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【 】 A．1cm B．2cm C．?cm D．2?cm 7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3＝【 】

A．50° B．60° C．70° D．80° 8．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】

- 1 -

A．3＋1 B．2＋1 C．2.5 D．5 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，共24分） 9．写一个比3大的整数是 ．

?x＋y＝3

10．方程组?的解为 ．

?2x－y＝611．我市某超市五月份的第一周鸡蛋价格分别为7.2，7.2，6.8，7.2，7.0，7.0，6.6(单

位：元/kg)，则该超市这一周鸡蛋价格的众数为 (元/kg)．

12．某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，该药品在 ℃范围内保

存才合适．

2

13．已知反比例函数y＝的图象经过点A(m，1)，则m的值为 ．

x14．如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝ °．

15．今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定

速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购

买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 元．

k2

16．如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A、B两点，它们的横坐标分别为1和5，

x k2

则不等式k1x＜－b的解集是 ．

x

三、解答题（本题共11小题，共102分）

1 02012

17．计算：9－(－)＋(－1)．

5

1 m－1

8．化简：(1＋)÷2．

m m－2m＋1

2

- 2 -

3

19．解不等式：x－1＞2x，并把解集在数轴上表示出来．

2

20．今年我市体育中考的现场选测项目中有一项是“排球30秒对墙垫球”，为了了解某学

校九年级学生此项目平时的训练情况，随机抽取了该校部分九年级学生进行测试，根据测试结果，制作了如下尚不完整的频数分布表： 组别 1 2 3 4 垫球个数x(个) 10≤x＜20 20≤x＜30 30≤x＜40 40≤x＜50 合计 频数(人数) 5 频率 0.10 0.18 a 20 16 b 0.32 1.00 (1)填空：a＝ ，b＝ ；

(2)这个样本数据的中位数在第 组；

(3)下表为《体育与健康》中考察“排球30秒对墙垫球”的中考评分标准，若该校九年级有500名学生，请你估计该校九年级学生在这一项目中得分在7分以上(包括7分)学生约有多少人？

排球30秒对墙垫球的中考评分标准 分值 排球(个) 10 40 9 36 8 33 7 30 6 27 5 23 4 19 3 15 2 11 1 7

21．现有5根小木棒，长度分别为：2、3、4、5、7(单位：cm)，从中任意取出3根．

(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况；

(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．

- 3 -

22．如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，

点O关于直线y＝x＋b的对称点O′． (1)求证：四边形OAO′B是菱形； (2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．

23．我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择：

方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元； 方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元． (1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；

(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？

24．已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长

为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，2≈1.41，5≈2.24)

- 4 -

25．如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原

点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．

(1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

2

26．如图，甲、乙两人分别从A(1，3)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿

AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点． (1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行． (2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？

2

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

- 5 -

27．已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．

(1)如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

(2)如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

(3)若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

(4)如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

- 6 -

2012年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分) 1．(2011?义乌市)－3的绝对值是( ) A ． 3 B． －3 C．

D．

考点： 绝对值。 分析： 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出． 解答： 解：|－3|＝－(－3)＝3．

故选A．

点评： 考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负

数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．(2012?连云港)下列图案是轴对称图形的是( ) A ． B． C． D．

考点： 轴对称图形。 专题： 常规题型。 分析： 根据轴对称的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

这个图形叫做轴对称图形，结合选项即可得出答案．

解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、符合轴对称的定义，故本选项正确； 故选D．

点评： 此题考查了轴对称图形的判断，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的

定义．

3．(2012?连云港)2011年度，连云港港口的吞吐量比上一年度增加31 000 000吨，创年度增量的最高纪录，其中数据“31 000 000”用科学记数法表示为( ) A ． 3.1×107 B． 3.1×106 C． 31×106 D． 0.31×108

考点： 科学记数法—表示较大的数。 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值

时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将31 000 000用科学记数法表示为：3.1×107．

故选：A．

点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中

- 7 -

1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．(2012?连云港)向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同)，假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于( )

A ．

B．

C．

D．

考点： 几何概率。 分析： 求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答． 解答：

解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是＝，

所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．

故选C．

点评： 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影

区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．

5．(2012?连云港)下列各式计算正确的是( ) A ． (a＋1)2＝a2＋1 B． a2＋a3＝a5 C． a8÷a2＝a6 D． 3a2－2a2＝1

考点： 同底数幂的除法；合并同类项；完全平方公式。 专题： 计算题。 分析： 根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同类项的合并进行各项的判断，

继而可得出答案．

解答： 解：A、(a＋1)2＝a2＋2a＋1，故本选项错误；

B、a2＋a3≠a5，故本选项错误； C、a8÷a2＝a6，故本选项正确； D、3a2－2a2＝a2，故本选项错误； 故选C．

点评： 此题考查了同底数幂的除法运算，解答本题要求我们掌握合并同类项的法则、完全

平方公式及同底数幂的除法法则．

6．(2012?连云港)用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为( ) A ． 1cm B． 2cm C． πcm D． 2πcm

考点： 圆锥的计算。 分析： 由于半圆的弧长＝圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长＝2π，底面半径＝

- 8 -

2π÷2π得出即可．

解答： 解：由题意知：底面周长＝2πcm，底面半径＝2π÷2π＝1cm．

故选A．

点评： 此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个

扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长＝圆锥的底面周长．

7．(2012?连云港)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )

A ． 50° B． 60° C． 70° D． 80°

考点： 平行线的性质；三角形内角和定理。 分析： 先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由

平行线的性质得出结论即可．

解答： 解：∵△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，

∴∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°， ∴∠5＝∠4＝70°， ∵a∥b，

∴∠3＝∠5＝70°． 故选C．

点评： 本题考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一

隐藏条件．

8．(2012?连云港)小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( )

- 9 -

A ．

＋1

B．

＋1

C． 2.5

D．

考点： 翻折变换(折叠问题)。 分析： 根据翻折变换的性质得出AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，∠FAB＝67.5°，进而得出

tan∠FAB＝tan67.5°＝得出答案即可．

解答： 解：∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，

∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，

∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，

∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝∴∠FAB＝67.5°， 设AB＝x， 则AE＝EF＝

＝22.5°，

x，

＝

＝

＋1．

∴tan∠FAB＝tan67.5°＝故选：B．

点评： 此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出∠FAB＝67.5°以及AE＝EF是解题

关键．

二、填空题(本大题8个小题，每小题3分，共24分) 9．(2012?连云港)写一个比

大的整数是 2(答案不唯一)． ．

考点： 实数大小比较；估算无理数的大小。 专题： 开放型。 分析：

先估算出的大小，再找出符合条件的整数即可． 解答： 解：∵1＜3＜4，

∴1＜

＜2，

∴符合条件的数可以是：2(答案不唯一)．

故答案为：2(答案不唯一)．

10 - -

点评：

本题考查的是实数的大小比较，根据题意估算出

的大小是解答此题的关键．

10．(2012?连云港)方程组的解为 ．

考点： 解二元一次方程组。 专题： 计算题。 分析： 利用①＋②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y． 解答：

解：

，

①＋②，得 3x＝9， 解得x＝3，

把x＝3代入①，得 3＋y＝3， 解得y＝0，

∴原方程组的解是．

故答案是．

点评： 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减法消元的思想．

11．(2012?连云港)我市某超市五月份的第一周鸡蛋价格分别为7.2，7.2，6.8，7.2，7.0，7.0，6.6(单位：元/kg)，则该超市这一周鸡蛋价格的众数为 7.2 (元/kg)．

考点： 众数。 分析： 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中

有好几个，即可求出答案．

解答： 解：由观察可知：在这些数据中，7.2出现3次，出现次数最多，

则该超市这一周鸡蛋价格的众数为7.2； 故答案为7.2．

点评： 本题考查了众数的定义，解题的关键是认真仔细地观察，从中找到出现次数最多的

数据．

12．(2012?连云港)某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，该药品在 18～22 ℃范围内保存才合适．

考点： 正数和负数。 分析： 此题比较简单，根据正数和负数的定义便可解答．

11 - -

解答： 解：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃－2℃＝18℃，最高温度是20℃＋2℃

＝22℃，即18℃～22℃之间是合适温度． 故答案为：18℃～22℃．

点评： 此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，

确定一对具有相反意义的量．

13．(2012?连云港)已知反比例函数y＝的图象经过点A(m，1)，则m的值为 2 ．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征。 专题： 探究型。 分析： 直接根据反比例函数中k＝xy的特点进行解答． 解答：

解：∵反比例函数y＝的图象经过点A(m，1)，

∴2＝m，即m＝2． 故答案为：2．

点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数熟知k＝xy为定值．

14．(2012?连云港)如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝ 70 °．

考点： 切线的性质；圆周角定理。 分析： 首先连接OB，OC，由PB，PC是⊙O的切线，利用切线的性质，即可求得∠PBO＝∠PCO＝90°，又由圆周角定理可得：∠BOC＝2∠BAC，继而求得∠BPC的度数．

解答： 解：连接OB，OC，

∵PB，PC是⊙O的切线， ∴OB⊥PB，OC⊥PC， ∴∠PBO＝∠PCO＝90°，

∵∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°，

∴∠BPC＝360°－∠PBO－∠BOC－∠PCO＝360°－90°－110°－90°＝70°． 故答案为：70．

12 - -

点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形的内角和定理．此题难度不大，注

意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

15．(2012?连云港)今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 2200 元．

考点： 分式方程的应用。 分析： 可根据：“同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，”

来列出方程组求解．

解答： 解：假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出：

(1＋10%)＝，

解得：x＝2200，

经检验得出：x＝2200是原方程的解，

答：则条例实施前此款空调的售价为2200元， 故答案为：2200．

点评： 此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是找准描述语，找出合适的等量关系，

列出方程，再求解．

16．(2012?连云港)如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别

为1和5，则不等式k1x＜＋b的解集是 －5＜x＜－1或x＞0 ．

13 - -

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。 专题： 数形结合。 分析： 根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移2b个单位，然后

根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量x的取值范围即可．

解答：

解：由k1x＜

＋b，得，k1x－b＜

，

所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，

直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为－1，交点B′的横坐标为－5，

当－5＜x＜－1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方，

所有，不等式k1x＜＋b的解集是－5＜x＜－1或x＞0．

故答案为：－5＜x＜－1或x＞0．

点评： 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出

不等式的解集与双曲线和向下平移2b个单位的直线的交点有关是解题的关键．

三、解答题(本题共11小题，共102分) 17．(2012?连云港)计算：

－(－)0＋(－1)2012．

考点： 实数的运算；零指数幂。 专题： 计算题。 分析： 分别进行二次根式的化简、零指数幂，然后将各部分的最简值进行合并即可得出答

案．

解答： 解：原式＝3－1＋1＝3． 点评： 此题考查了实数的运算，解答本题的关键是熟练零指数幂的运算及二次根式的化简，

属于基础题．

18．(2012?连云港)化简(1＋)÷

考点： 分式的混合运算。 专题： 计算题。

．

14 - -

分析： 将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，将除式的分子利用平

方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果．

解答：

解：(1＋)÷

＝()?

＝．

点评： 此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公

分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分．

19．(2012?连云港)解不等式来．

x－1＞2x，并把解集在数轴上表示出

考点： 解一元一次不等式；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集。 专题： 计算题。 分析：

移项后合并同类项得出－x＞1，不等式的两边都乘以－2即可得出答案． 解答：

解：移项得：x－2x＞1，

合并同类项得：－x＞1，

不等式的两边都乘以－2得：x＜－2． 在数轴上表示不等式的解集为：

．

点评： 本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识

点的应用，主要考查学生能否正确解一元一次不等式，注意：不等式的两边都乘以－2时，不等式的符号要改变．

20．(2012?连云港)今年我市体育中考的现场选测项目中有一项是“排球30秒对墙垫球”，为了了解某学校九年级学生此项目平时的训练情况，随机抽取了该校部分九年级学生进行测试，根据测试结果，制作了如下尚不完整的频数分布表： 组别 1 2 3 4 垫球个数x(个) 10≤x＜20 20≤x＜30 30≤x＜40 40≤x＜50 频数(人数) 5 a 20 16 频率 0.10 0.18 b 0.32 15 - -

合计 1 (2)这个样本数据的中位数在第 3 组；

(3)下表为≤体育与健康≥中考察“排球30秒对墙垫球”的中考评分标准，若该校九年级有500名学生，请你估计该校九年级学生在这一项目中得分在7分以上(包括7分)学生约有多少人？

排球30秒对墙垫球的中考评分标准 分值 排球(个) 10 40 9 36 8 33 7 30 6 27 5 23 4 19 3 15 2 11 1 7

考点： 频数(率)分布表；用样本估计总体；中位数。 专题： 图表型。 分析： (1)先根据第一组频数与频率求出被抽取的人数，然后减去各组的人数即可求出a的

值，再根据b等于1减去各组频率之和计算即可得解；

(2)根据中位数的定义，按照垫球个数从少到多排列，找出50人中的第25、26两个人的垫球平均数所在的组即可；

(3)求出得分7分以上的学生所在的百分比，然后乘以500，计算即可得解．

解答： 解：(1)5÷0.10＝50人，

a＝50－5－20－16＝50－41＝9，

b＝1－0.10－0.18－0.32＝1－0.60＝0.40；

(2)根据图表，50人中的第25、26两人都在第3组， 所以中位数在第3组；

(3)

×500＝360(人)．

点评： 本题用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的

平均数)叫做中位数．频率＝频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．

21．(2012?连云港)现有5根小木棒，长度分别为：2、3、4、5、7(单位：cm)，从中任意取出3根，

(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况；

(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．

考点： 列表法与树状图法；三角形三边关系。 分析： (1)首先根据题意利用列举法，即可求得所选的3根小木棒的所有可能情况；

(2)利用三角形的三边关系，可求得它们能搭成三角形的共有5种情况，继而利用概率公式求解即可求得答案．

解答： 解：(1)根据题意可得：所选的3根小木棒的所有可能情况为：(2、3、4)，(2、3、

5)，(2、3、7)，(2、4、5)，(2、4、7)，(2、5、7)，(3、4、5)，(3、4、7)，(3、5、7)，(4、5、7)；

16 - -

(2)∵能搭成三角形的结果有：(2、3、4)，(2、4、5)，(3、4、5)，(3、5、7)，(4、5、7)共5种， ∴P(能搭成三角形)＝

＝．

点评： 此题考查了列举法求概率的知识与三角形三边关系．此题难度不大，注意要不重不

漏的列举出所有的结果，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

22．(2012?连云港)如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′， (1)求证：四边形OAO′B是菱形； (2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．

考点： 一次函数综合题；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的判定。 专题： 计算题；证明题。 分析： (1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，推出AO＝AO′，BO＝BO′，求出AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案；

(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可．

解答： (1)证明：∵点O关于直线y＝x＋b的对称，

∴直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线， ∴AO＝AO′，BO＝BO′， 又∵OA，OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB，

∴AO＝AO′＝BO＝BO′， ∴四边形OAO′B是菱形．

(2)解：如图，当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1，

∵设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)， ∴△ONP为等腰直角三角形， ∴∠ONP＝45°，

∵四边形OAO′B是菱形， ∴OM⊥PN，

∵∠ONP＝45°＝∠OPN， ∴OM＝PM＝MN＝1，

17 - -

在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝即b＝

．

，

点评： 本题考查了一次函数，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知识点的应用，

主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：图形和已知条件的结合，题目比较典型，难度也适中，是一道比较好的题目．

23．(2012?连云港)我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择， 方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元； 方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，

(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；

(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？

考点： 一次函数的应用。 专题： 应用题。 分析： (1)根据方式一、二的收费标准即可得出y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的

函数关系式．

(2)比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方式．

解答： 解：(1)由题意得：y1＝4x＋400；y2＝2x＋820；

(2)令4x＋400＝2x＋820，解得x＝210，

所以当运输路程小于210千米时，y1＜y2，，选择邮车运输较好， 当运输路程小于210千米时，y1＝y2，，两种方式一样， 当运输路程大于210千米时，y1＞y2，选择火车运输较好．

点评： 此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意所述两种运输方式的收费

标准，得出总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)关系式．

24．(2012?连云港)已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，

18 - -

sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。 分析：

根据在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，得出AB的长，进而得出tan∠BAH＝

，求出

BH的长，即可得出AH以及CH的长，进而得出答案．

解答：

解：BC＝40×

＝10，

，sin53.2°≈0.8， ＝20，

在Rt△ADB中，sin∠DBA＝所以AB＝

如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，

在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°，

tan∠BAH＝，0.5＝，AH＝2BH，

，所以AH＝8

，

BH2＋AH2＝AB2，BH2＋(2BH)2＝202，BH＝4

在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，CH＝2所以AC＝AH－CH＝8

－2

＝6

，

≈13.4，

答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km．

点评： 此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据已知构造直角三角形得出BH的长

是解题关键．

25．(2012?连云港)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，

19 - -

(1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

考点： 二次函数综合题。 专题： 代数几何综合题。 分析： (1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数

法确定该函数的解析式．

(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．

(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．

解答： 解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，

∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．

把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，

得，

解得，

∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)， ∴△ABD中AB边的高为4， 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， 所以AB＝3－(－1)＝4， ∴△ABD的面积＝×4×4＝8；

(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由(2)可知OA＝1， ∴点A对应点G的坐标为(3，2)，

当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，所以点G不在该抛物线上．

20 - -

点评： 这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．

26．(2012?连云港)如图，甲、乙两人分别从A(1，

)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐

标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．

(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行． (2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

考点： 相似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形。 分析： (1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例

式说明；

(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；

(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题．

解答：

解：(1)因为A坐标为(1，)，

所以OA＝2，∠AOB＝60°． 因为OM＝2－4t，ON＝6－4t，

当＝时，解得t＝0，

即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；

(2)因为甲达到O点时间为t＝，乙达到O点的时间为t＝＝，所以甲先到达O点，所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角形，

①当t＜时，如果△OMN∽△OAB，则有不可能相似△OBA；

＝，解得t＝2＞，所以，△OMN 21 - -

②当＜t＜时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；

③当t＞时，

＝，解得t＝2＞，所以当t＝2时，△OMN∽△OBA；

(3)①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H， 在Rt△MOH中，因为∠AOB＝60°， 所以MH＝OMsin60°＝(2－4t)×

＝

(1－2t)，

OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t， 所以NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t，

所以s＝[

(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28

②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H， 在Rt△MNH中，MH＝所以s＝[

(4t－2)＝

(2t－1)，NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，

(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28

当t＞时，同理可得s＝[综上所述，s＝[

(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28，

(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28．

因为s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12，

所以当t＝1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2

km．

点评： 此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用

22 - -

等知识点，难度较大．

27．(2012?连云港)已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平

行四边形的判定与性质。

专题： 代数几何综合题。 分析： 问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，

然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等； 问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；

问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得

＝

＝，易证得

Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；

问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得

＝

与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角

形，继而可求得CK的值，即可求得答案．

解答： 解：问题1：∵四边形PCQD是平行四边形，

若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形， ∴∠DPC＝90°，

∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，

∴DC＝2

，

设PB＝x，则AP＝2－x，

23 - -

在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋1＝8， 化简得x2－2x＋3＝0，

∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0， ∴方程无解，

∴对角线PQ与DC不可能相等．

问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G， 则G是DC的中点，

过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H， ∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH， ∵PD∥CQ，

∴∠PDC＝∠DCQ， ∴∠ADP＝∠QCH， 又∵PD＝CQ，

∴Rt△ADP≌Rt△HCQ， ∴AD＝HC，

∵AD＝1，BC＝3， ∴BH＝4，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

问题3：如图3，设PQ与DC相交于点G， ∵PE∥CQ，PD＝DE， ∴

＝

＝，

∴G是DC上一定点，

作QH⊥BC，交BC的延长线于H， 同理可证∠ADP＝∠QCH， ∴Rt△ADP∽Rt△HCQ， 即

＝

＝，

∴CH＝2，

∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G， ∵PE∥BQ，AE＝nPA， ∴

＝

，

∴G是DC上一定点，

作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K， ∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG， ∴∠QBH＝∠PAD，

24 - -

∴△ADP∽△BHQ， ∴

，

∵AD＝1， ∴BH＝n＋1，

∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4， 过点D作DM⊥BC于M， 则四边形ABND是矩形， ∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2

∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM， ∴∠DCM＝45°， ∴∠KCH＝45°， ∴CK＝CH?cos45°＝

(n＋4)，

(n＋4)．

∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形

的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．

25 - -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5az3.html