稳态导热习题解析

稳态导热习题解析

1 固体内的一维导热问题

例1 具有均匀内热源强度qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 tw1和tw2。

试求该平壁内的温度分布表达式。

解: 根据题意，这是导热系数为常数但有均匀内热源强度的稳态导热现象，x坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为

d2tqv??0 （1）

dx2?边界条件： x= -δ: t=tw1

x= δ: t=tw2 （2）

移项后积分该微分方程式两次可得其通解

qdt??vx?C1 dx?qt??vx2?C1x?C2 （3）

2?代入边界条件

tw1??tw2式（4）+式（5）

qv(??)2?C1(??)?C2 （4） 2?q??v?2?C1??C2 （5）

2?C2?tw1?tw2qv2?? （6） 2?tw2?tw1 （7） 2?式（4）－式（5）

C1?

C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式

t?

qvt?tt?t(2?2?x2)?w2w1x?w2w1 （8） 2?2?2例2具有均匀内热源qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，

两侧壁温各自均布且相同，均为tw。

试求该平壁内的温度分布表达式。

解: 根据题意，所用的导热微分方程式同上。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为

d2tqv??0 （1）

dx2?边界条件：x=0:

dt?0 dx x=δ: t=tw （2） 该微分方程式的通解为

t??代入边界条件

qv2x?C1x?C2 （3） 2?qv0?C1 （4）

0???tw??由式（4）

qv2??C1??C2 （5） 2?C1?0 (6)

常数C1代入式（5）

C2?tw?qv2? (7) 2?

常数C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式

t?

qv2(??x2)?tw (8) 2?

例3一锥台如附图所示，顶面和底面温度各为均匀的tw1和tw2，侧面覆有保温材料。锥台的导热系数λ为常数.该锥台横截面的直径随坐标x的变化规律为d=cx(c为常数)。设锥台内的导热为沿x方向的一维稳态导热。

试求：a. 通过锥台的热流量 b. 任意x处的热流密度

解: 锥台顶面和底面的温度已知，锥台内无内热源，侧面绝 热，因此锥台内沿x方向的热流量Ф为常数，导热系数λ也为常 数,这样可用傅里叶定律直接积分求得。

按傅里叶定律 ????Ax式（1）两侧分离变量并积分

dt （1） dx??tw2tw2tw1dt???x1x2?dx （2） ?Ax由于热流量Φ和导热系数λ均为常数

tw1dt?????x2x1dx （3）

?(cx)24tw2?tw1?? tw2?tw1?4?1x2(?)|x1 （4） 2?cx4?11(?) （5） ?c2x2x1 （6）

因此 ???c2tw2?tw1411?x2x1任意x处的热流密度

q?t?t??w2w1 （7） Ax2(1?1）x2x1讨论：本例题为变截面的导热问题，因此热流量为常数而热流密度却随坐标x而变。

例4一无限大平壁处于稳态导热，其厚度为δ，导热系数λ可用线性函数关系式λ=λo(1+ct)近似,其中λo和c均为常数，两侧壁温各自均布，分别为tw1和tw2。

试求通过该平壁的热流密度q。

解:无限大平壁两侧的温度已知，平壁内无内热源，因此沿与平壁垂直的x方向的热流 量Φ或热流密度q为常数，这样的问题可用傅里叶定律直接积分求得。

按傅里叶定律 q???t式（1）两侧分离变量并积分

dt （1） dx??tw2tw1?tdt???o(1?ct)dt???qdx （2）

tw10tw2?o(t?t2)|tt??q? (3)

w2w1c2因此 q??oc2c2[(tw1?tw1)?(tw2?tw2)] （4） ?22

讨论：由于导热系数λ非常数，热流密度q的计算公式比导热系数λ为常数时复杂得多。

例5一导热系数为λ1=1.3 W/(m·K)，厚2 cm的无限大平壁，外覆盖一层导热系数λ2=0.35 W/(m·K)的保温材料以减少热损失。当组合壁的内、外表面温度分别为1300 ℃与30 ℃时，

欲使稳态导热时热损失不超过1830 W/m2，保温材料的厚度应为多少？

解：这是一个多层壁问题，采用热阻概念可大大简化计算过程。根据题意，各层壁内无内热源，因此沿壁厚方向的热流密度为常数。

q??t?t? Ri?1?2??A?1?21830?因此，

(1300?30)

0.02?2?1.30.35?2?0.35(

1300?300.02?)?0.2375 m

18301.3例6已知一半径为r0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数λ为常数，内热源

强度qv为常数。圆柱体表面温度均布为tw。

试求圆柱体内的温度分布。

解:由于这是一种对于圆柱体中心线的对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，r坐标的原点取圆柱体的中心线。当导热系数λ为常数时，描述该圆柱体内稳态温度场的微分方程式为

q1ddt(r)?v?0 （1） rdrdr?

边界条件：r=0:

dt?0 dr r=r0: t=tw （2） 移项式（1）

qddt(r)??vr （3） drdr?式（3）两侧积分一次 rqdt??vr2?C1 （4） dr2?qv2r?C1lnr?C2 （5） 4?式（4）两侧除以r后再积分一次，可得该微分方程式的通解

t??

代入边界条件

当r →0时，lnr→∞，而圆柱体内的实际温度是有限的，因此取C1=0时，该方程的解才符合实际情况。

qv2r0?C2 （6） 4?q2 C2?vr0?tw (7)

4?tw??

常数C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式

t?qv22(r0?r)?tw (8) 4?讨论：例题2.2和2.6的物理条件和边界条件相同，但由于两者的几何条件不同，采用的坐标系也不同，因此解的形式不同。

例7已知一直径为r0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数λ为常数，内热源强度qv为常数。圆柱体表面浸在流体中。流体的温度为tf ，液体和圆柱体间的对流换热系数为h。

试求圆柱体内温度分布的表达式。

解:根据题意，本题的几何条件，物理条件都同上题，因此前面的推导过程相同，可以从上题的公式（5）开始讨论

t??qv2r?C1lnr?C2 （5） 4?

和上题一样，取C1=0并代入圆柱体表面的边界条件。

t|r?r0??上题中式（2）可写成

qv2r0?C2 （6） 4?qvr0?h(t|r?r0?tf) (7) 2?qq2因此 C2?vr0?vr0?tf （8）

2?h4?常数C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式

t??qv2qvqr?r0?vr02?tf (9) 4?2?h4?

讨论：例题2.6和2.7的几何条件和物理条件相同，但因边界条件不同，因此解的形式完全不同。

例2.8直径为3mm的金属丝的单位长度电阻为0.1Ω/m，导热系数λ=19 W/(m·K)，浸在

2

温度为30 ℃的液体中，液体和金属丝间的对流换热系数h=5.5 kW/（m·K）。当100 A的电流通过该金属丝时。

试求金属丝的中心温度。 解：根据能量守恒，电流通过金属丝产生的热量应等于金属丝表面和液体之间的对流换热量，因此可列出能量守恒方程

I2R=hA(tw - tf) （1）

式（1）中代入具体数值

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