根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok

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一元二次方程专项练习60题

1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）当时，求m的值．

2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，

（1）若方程的一根为0，求实数a的值；

（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．

3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？

4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．

（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；

（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．

5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．

（1）方程有两个相等的实数根；

（2）方程有两个相反的实数根；

（3）方程的一个根为0．

6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．

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7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值．

8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0．

（1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；

（2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值．

9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0

（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若x12+12m+x22=10，求m的值．

11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x12=11﹣x22，求k的值．

12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根

（1）求m的取值范围；

（2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．

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13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣2=0．

（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）若方程的两实数根之积等于m2+9m﹣11，求的值．

14．一元二次方程x2+kx﹣（k﹣1）=0的两根分别为x1，x2．且x12﹣x22=0，求k值．

15．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程的解，求实数k的取值范围．

16．关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

17．已知关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，求n的整数值．

18．关于的方程2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0有三个实数根分别为α、β、x0，其中根x0与m无关．

（1）如（α+β）x0=﹣3，求实数m的值．

（2）如α＜a＜b＜β，试比较：与的大小，并说明你的理由．

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19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．

20．已知关于x的方程x2+（2m﹣3）x+m2+6=0的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以

为两根的一元二次方程．

21．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．

问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；

（2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值．

22．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．

23．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，求m的值．

24．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．

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26．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．

27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）当（x1+x2）?（x1﹣x2）=0时，求m的值．

（友情提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则：，）

28．关于x 的方程有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．

29．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．

30．已知关于x的方程k有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）设方程的两实根为x1和x2（x1≠x2），那么是否存在实数k ，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

31．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1=0

（1）求证：方程一定有两个实数根；

（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）=0，求k的值．

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32．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．

33．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，

（1）求a的取值范围；

（2）若5x1+2x1x2=2a﹣5x2；求a的值．

34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

35．一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0，

（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？

（2）m为何实数时，方程的一个根为零？

（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？

36．已知一元二次方程kx2+x+1=0

（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；

（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3？

37．关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．

（1）证明：方程有两个不相等的实数根．

（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．

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38．已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．

（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．

39．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．

（1）当m为何值时，方程总有两个实数根？

（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x12+x22﹣x1x2=78时，求m的值．

40．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个实数根，且=1时求m的值．

41．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一根为2，求m的值，并求出此时方程的另一根．

42．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7．求（x1﹣x2）2的值．

43．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．

44．若关于x的一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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45．已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是x=﹣2，求k的值以及方程的另一根．

46．已知x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，且满足（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，求m的值．

47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．

（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根；

（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．

48．若关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和是2，求m的值．

49．m为何值时，方程2x2+（m2﹣2m﹣15）x+m=0两根互为相反数？

50．已知△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，第三边长为10，问k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长．

51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0

（1）当k取什么值时，原方程有实数根；

（2）对k选取一个合适的数，使方程有两个实数根，并求出这两个实数根的平方和．

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52．已知x1，x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，

（1）当a取何值时，方程两根互为倒数？

（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求a的值．

53．已知关于x 的方程

（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；

（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．

54．已知一元二次方程8x2﹣（2m+1）x+m﹣7=0，根据下列条件，分别求出m的值：

（1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数；（3）有一根为零；（4）有一根为1．

55．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0有实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．

56．已知一元二次方程8y2﹣（m+1）y+m﹣5=0．

（1）m为何值时，方程的一个根为零？

（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数？

（3）证明：是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数．

57．已知一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

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58．若关于x的方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，求a的值．

59．已知△ABC的一边为5，另外两边恰是方程x2﹣6x+m=0的两个根．

（1）求实数m的取值范围．

（2）当m取最大值时，求△ABC的面积．

60．已知等腰三角形的一边长a=1，另两边b、c恰是方程x2﹣（k+2）x+2k=0的两根，求△ABC的周长．

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参考答案：

1．解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m ≤；

（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m﹣1），x1?x2=m2，∵，

∴（x1+x2）2﹣2x1?x2=7，

∴（2m﹣1）2﹣2m2=7，

整理得m2﹣2m﹣3=0，

解得m1=3，m2=﹣1，

∵m ≤，

∴m=﹣1

2．解：（1）把x=0代入原方程得﹣a+1=0，解得a=1；

（2）设方程两个为x1，x2，根据题意得x1+x2==0，

解得a=±2，

当a=﹣2时，原方程化为2x2+3=0，此方程无实数解，∴a=2

3．解：由根与系数的关系可得：

x1+x2=k+1，x1?x2=k+2，

又知x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=（k+1）2﹣2（k+2）=6 解得：k=±3．

∵△=b2﹣4ac=（k+1）2﹣4（k+2）=k2﹣2k﹣7≥0，

∴k=﹣3

4．解：（1）比如：取k=3，原方程化为3x2+8x﹣3=0．…（1分）

即：（3x﹣1）（x+3）=0，

解得：x1=﹣3，x2=；…（2分）

（2）由16+k＞0，解得k ＞﹣．…（3

分）

∵当k=0时，原方程化为2x﹣3=0；

解得：x=，

∴当k=0时，方程有一个实数根…（4分）

∵当k ＞﹣且k≠0时，方程kx2+2（k+1）x﹣3=0为

一元二次方程，

∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（﹣3）

=4k2+8k+4+12k

=4k2+20k+4

=[（2k）2+2×2k×1+1]+（16k+3）=（2k+1）2+16k+3，…（5分）

∵（2k+1）2≥0，16k+3＞0，

∴△=（2k+1）2+16k+3＞0．…（6分）

∴当k ＞﹣且k≠0时，一元二次方程kx2+2（k+1）x

﹣3=0有两个不等的实数根

5．解：（1）∵△=16m2﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2﹣8m+16，而方程有两个相等的实数根，

∴△=0，即﹣8m2﹣8m+16=0，

求得m1=﹣2，m2=1；

（2）因为方程有两个相等的实数根，

所以两根之和为0且△≥0，则﹣=0，

求得m=0；

（3）∵方程有一根为0，

∴3m﹣2=0，

∴m=．

6．解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，

∴+==﹣1，

∴=﹣1，

即：m2﹣2m﹣3=0，

解得：m=3或﹣1，

当m=3时，方程为x2+9x+9=0，此方程有两个不相等的实数根，

当m=﹣1时，方程为x2+x+1=0，此方程无实根，不合题意，舍去，

∴m=3

7．解：根据题意得△=（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m ＞﹣；

根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，

则2m+3=m2，

整理得m2﹣2m﹣3=0，即（m﹣3）（m+1）=0，

解得m1=3，m2=﹣1，

则m=3

8．（1）证明：方程根的判别式

△=[2（2﹣m）]2﹣4×1×（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2）﹣4（3﹣6m）

=4（4﹣4m+m2﹣3+6m）=4（1+2m+m2）=4（m+1）2（4分）∵无论m为何实数，4（m+1）2≥0恒成立，即△≥0恒成立．（5分）

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∴无论m取何实数，方程总有实数根；（6分）

（2）解：由根与系数关系得x1+x2=﹣2（2﹣m）（7分）由题知x1+x2=m，

∴m=﹣2（2﹣m）（8分）

解得m=4．

9．解：（1）∵△=（8+k）2﹣4×8k

=（k﹣8）2，

∵（k﹣8）2，≥0，

∴△≥0，

∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）解方程x2﹣（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，

①当腰长为5时，则k=5，

∴周长=5+5+8=18；

②当底边为5时，

∴x1=x2，

∴k=8，

∴周长=8+8+5=21

10．解：（1）△=[2（1﹣m）]2﹣4m2=4﹣8m，

∵方程有两根，∴△≥0，即4﹣8m≥0，∴m ≤．

（2）∵x1+x2=2（1﹣m），x1?x2=m2，且x12+12m+x22=10，∴m2+2m﹣3=0，解得 m1=﹣3，m2=1，

又∵m ≤，

∴m=﹣3

11．解：（1）∵方程有两个实数根，

∴k≠0且△=（2k+1）2﹣4k（k﹣2）≥0，

解得：k ≥﹣且k≠0，

∴k的取值范围：k ≥﹣且k≠0．

（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，

∵x12=11﹣x22，∴x12+x22=11，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，

∴﹣2（）=11，

解得：k=﹣或k=1，

∵k ≥﹣且k≠0，∴k=1

12．解：（1）∵方程x2+5x﹣m=0有两个实数根，

∴△=25+4m≥0，

解得：m ≥﹣；（2）将x=﹣1代入方程得：1﹣5﹣m=0，即m=﹣4，

∴方程为x2+5x+4=0，设另一根为a，

∴﹣1+a=﹣5，即a=﹣4，

则m的值为﹣4，方程另一根为﹣4

13．解：（1）由题意得：△=[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣2）=m2+12，

∵无论m取何值时，m2≥0，∴m2+12≥12＞0

即△＞0恒成立，

∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程两根为x1，x2，由韦达定理得：x1?x2=m﹣2，由题意得：m﹣2=m2+9m﹣11，解得：m1=﹣9，m2=1，

∴

14．解：∵x12﹣x22=0，

∴（x1+x2）（x1﹣x2）=0，

∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，

当x1+x2=0，则x1+x2=﹣k=0，解得k=0，原方程变形为

x2+1=0，此方程没有实数根，

当x1﹣x2=0，则△=k2﹣4（k﹣1）=0，解得k1=k2=2，

∴k的值为2

15．解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①

（1）当△=0时，，满足条件；

（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；

此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；

（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．

综上所述，满足条件的k 的取值范围是或k=﹣

4或k≥﹣3

16．解：（1）由△=[4（k+2）]2﹣4×4k?k＞0，

∴k＞﹣1

又∵4k≠0，

∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；

（2）不存在符合条件的实数k

理由：设方程4kx2+4（k+2）x+k=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：

x1+x2=﹣，x1?x2=，

又==﹣=0，

∴k=﹣2，

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由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解， ∴不存在符合条件的k 的值

17．解：∵关于x 的二次方程a 2x 2

+2ax+1=﹣3x ∴a 2x 2

+2ax+3x+1=0，

∵关于x 的二次方程a 2x 2

+2ax+1=﹣3x 的两个实数根的积为1， ∴

=1，

∴a=±1，

∵12a+9≥0， ∴a=1

∴关于x 的二次方程x 2

+2（a+n ）x ﹣a 2

=4﹣6a ﹣2n 可化简为：

x 2

+2（1+n ）x+（1+2n ）=0 ∴x 1=﹣1，x 2=﹣1﹣2n ，

∵关于x 的二次方程x 2+2（a+n ）x ﹣a 2

=4﹣6a ﹣2n 有小于2的正实根， ∴0＜﹣1﹣2n ＜2， ∴n 的整数值为﹣1

18．解：（1）由2x 3

+（2﹣m ）x 2

﹣（m+2）x ﹣2=0得（x+1）

（2x 2

﹣mx ﹣2）=0，∴x 0=﹣1，（2分） α、β是方程2x 2﹣mx ﹣2=0的根∴，

∵（α+β）x 0=﹣3，所以m=6（4分）

（2）设T=

﹣

=（5

分）

∵a ＜b ，∴b ﹣a ＞0，又a 2

+1＞0，b 2

+1＞0

，∴

＞0（6分）

设f （x ）=2x 2

mx ﹣2，所以α、β是f （x ）=2x 2

mx ﹣2

与x 轴的两个交点， ∵α＜a ＜b ＜β ∴

，即

∴ma+mb ＞2a 2

+2b 2

﹣4（8分）

∴4﹣4ab+ma+mb ＞2（a ﹣b ）2

＞0（9分） ∴T ＞0，即

＞

19．解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2

+（3a ﹣1）

x+2a 2

﹣1=0的两个实数根，

∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2

﹣6a+5≥0 所以a ≥5或a ≤1．…（3分）

∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1?x 2=2a 2

﹣1，

∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22

）﹣10x 1x 2=﹣80，

∴3（x 1+x 2）2

﹣16x 1x 2=﹣80，

∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2

﹣1）=﹣80，

整理得，5a 2

+18a ﹣99=0，

∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣

，

当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去， 当a=﹣

时，△=（﹣）2

﹣6×（﹣

）+6=（）

2

+6×

+6＞0，

∴实数a 的值为﹣

20．解：（1）∵原方程有两实根

∴△=（2m ﹣3）2

﹣4（m 2

+6）=﹣12m ﹣15≥0得①…（3分）

∵x 1+x 2=﹣（2m ﹣3）x 1x 2=m 2

+6…（4分） 又∵x 1x 2=2（x 1+x 2），

∴m 2

+6=﹣2（2m ﹣3）

整理得m 2

+4m=0解得m=0或m=﹣4…（6分） 由①知m=﹣4…（7分） （2）∵

…（9分），

…（11分）

由韦达定理得所求方程为…

21．解：（1）若方程有实数根， 则△=（2k ﹣3）2

﹣4（k 2

+1）≥0，

∴k ≤，

∴当k ≤

，时，此方程有实数根；

（2）∵此方程的两实数根x 1、x 2，满足|x 1|+|x 2|=3，

∴（|x 1|+|x 2|）2

=9，

∴x 12+x 22

+2|x 1x 2|=9，

∴（x 1+x 2）2

﹣2x 1x 2+2|x 1x 2|=9，

而x 1+x 2=2k ﹣3，x 1x 2=k 2

+1，

∴（2k ﹣3）2﹣2（k 2+1）+2（k 2

+1）=9， ∴2k ﹣3=3或﹣3，

∴k=0或3，k=3不合题意，舍去； ∴k=0

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22．解：方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2=0，

∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，∴△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m ≥﹣；

∵|x1|=x2，

∴x1=x2或x1=﹣x2，

当x1=x2，则△=0，所以m=﹣，

当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m≥﹣，所以m=﹣1舍去，

∴m 的值为﹣

23．解：∵a=1，b=﹣2（2m﹣3），c=4m2﹣14m+8，

∴△=b2﹣4ac=4（2m﹣3）2﹣4（4m2﹣14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，

∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，

所以2m+1也是一个完全平方数．

∵4＜m＜40，

∴9＜2m+1＜81，

∴2m+1=16，25，36，49或64，

∵m为整数，

∴m=12或24．

代入已知方程，

得x=16，26或x=38，52．

综上所述m为12，或24

24．解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，

可得k﹣1≠0，

∴k≠1且△=﹣12k+13＞0，

可解得且k≠1；

（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2，

∵x1+x2=0，

∴，

∴，

又∵且k≠1

∴k不存在

25．解：设关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，

则：x1+x2=m，x1?x2=2m﹣1，

∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=m2﹣2（2m﹣1）=m2﹣4m+2=23，解得：m1=7，m2=﹣3，当m=7时，△=m2﹣4（2m﹣1）=﹣3＜0（舍去），

当m=﹣3时，△=m2﹣4（2m﹣1）=37＞0，

∴m=﹣3

26．解：设x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根为x1，x2，

∴x1+x2=2（2﹣m），x1x2=m2+4，

∵这两根的平方和比两根的积大21，

∴x12+x22﹣x1x2=21，

即：（x1+x2）2﹣3x1x2=21，

∴4（m﹣2）2﹣3（m2+4）=21，

解得：m=17或m=﹣1，

∵△=4（m﹣2）2﹣4（m2+4）≥0，

解得：m≤0．故m=17舍去，

∴m=﹣1

27．解：∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，

∴△=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m≥0，

解得：m ≤；

（2）∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，

∴x1+x2=1﹣2m，x1x2=m2，

∴（x1+x2）?（x1﹣x2）=0，

当1﹣2m=0时，1﹣2m=0，

解得m=（不合题意）．

当x1=x2时，

（x1+x2）2﹣4x1x2=4m2﹣4m+1﹣4m2=0，

解得：m=．

故m 的值为：

28．解：（1）依题意得△=（k+2）2﹣4k ?＞0，

解之得k＞﹣1，

又∵k≠0，

∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，

则x1+x2=k+1，x1?x2=k+2，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=6，

即（k+1）2﹣2（k+2）=6，

解得：k=±3，

当k=3时，△=16﹣4×5＜0，

∴k=3（舍去）；

当k=﹣3时，△=4﹣4×（﹣1）＞0，

∴k=﹣3

29．解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，

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∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．

△=（5﹣3m）2+96m2＞0

则：x1x2≤0，

又∵，

∴，

又∵

，，

∴，

∴，

解得：m1=1，m2=5

30．解：（1）由＞0，

解得k＞﹣1，

又∵k≠0，

∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0；

（2）不存在符合条件的实数k，

理由如下：

∵，，

又，

∴，

解得

经检验k=﹣是方程的解．

由（1）知，当时，△＜0，故原方程无实根

∴不存在符合条件的k的值

31．（1）证明：△=k2﹣4（k﹣1）

=k2﹣4k+4

=（k﹣2）2，

∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，

∴方程一定有两个实数根；（2）根据题意得x1+x2=﹣k，x1?x2=k﹣1，

∵（x1+x2）（x1﹣x2）=0，

∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，

当x1+x2=0，则﹣k=0，解得k=0，

当x1﹣x2=0，则△=0，即（k﹣2）2=0，解得k=2，

∴k的值为0或2

32．解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，

∴①，

②

∵2x1x2=x1﹣3x2，

∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，

将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，

当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；

当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．

∴a=3或a=﹣1

33．解：（1）根据题意得a﹣1≠0且△=4﹣4（a﹣1）＞0，

解得a＜2且a≠1；

（2）根据题意得x1+x2=，x1?x2=，

∵5x1+2x1x2=2a﹣5x2，

∴5（x1+x2）+2x1x2=2a，

∴+=2a，

整理得a2﹣a﹣6=0，解得a1=3，a2=﹣2，

∵a＜2且a≠1，

∴a=﹣2

34．解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k ﹣3=0，

△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4

＞0恒成立，

故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①

因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，

则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，

因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，

即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，

整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，

解得：k1=3，k2=﹣2（舍去），

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则b+c=2k+1=7，

又因为a=，

则△ABC的周长=a+b+c=+7．

35．解：（1）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为相反数，

∴x1+x2==0，

解得m=1；

（2）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的一个根为零，

∴x1?x2==0，

解得m=7；

（3）设存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为倒数，则

x1?x2==1，

解得m=15；

则原方程为4x2﹣7x+4=0，

△=49﹣4×4×4=﹣15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m

36．解：（1）∵方程有两个实数根，

∴△=1﹣4k≥0且k≠0．

故k ≤且k≠0．

（2）设方程的两根分别是x1和x2，则：

x1+x2=﹣，x1x2=，

x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，

=﹣=3，

整理得：3k2+2k﹣1=0，

（3k﹣1）（k+1）=0，

∴k1=，k2=﹣1．

∵k ≤且k≠0，

∴k=（舍去）．

故k=﹣1

37．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4，

∵（m﹣2）2≥0，

∴（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．

（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数．由题知：x1+x2=﹣（m+2）=0，

解得：m=﹣2，

将m=﹣2代入x2+（m+2）x+2m﹣1=0，

解得：x=，

∴m的值为﹣2，方程的根为x=

38．解：（1）证明：由方程x2﹣kx﹣2=0知

a=1，b=﹣k，c=﹣2，

∴△=b2﹣4ac

=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）

=k2+8＞0，

∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）∵方程x2﹣kx﹣2=0．的两根为x1，x2，

∴x1+x2=k，x1x2=﹣2，

又∵2（x1+x2）＞x1x2，

∴2k＞﹣2，即k＞﹣1

39．解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，

△=[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）=8m+16≥0，

m≥﹣2，

所以m≥﹣2时，方程总有两个实数根．

（2）∵x12+x22﹣x1x2=78，

∴（x1+x2）2﹣3x1x2=78，

∵x1+x2=﹣，x1?x2=，

∴﹣[2（m+1）]2﹣3×1×（m2﹣3）=78，

解得m=5或﹣13（舍去），

故m的值是m=5

40．解：∵关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0有两个实数根，

∴△≥0，

即（2m+3）2﹣4m2≥0，

解得：m ≥﹣，

∵+=1，

∴=1，

∴2m+3=m2，

∴m2﹣2m﹣3=0，

∴m1=3，m2=﹣1（舍去）．

故可得m=3

41．（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）

=（m﹣2）2+4＞0，

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∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：把x=2代入方程，得22+2（m+2）+2m﹣1=0 解得m=﹣，

设方程的另一根为x1，

则2x1=2×（﹣）﹣1，解得x1=﹣

42．解：∵x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=m2﹣2（2m﹣1）=7；

解可得m=﹣1或5；

当m=5时，原方程即为x2﹣5x+9=0的△=﹣11＜0无实根，

当m=﹣1时，原方程即为x2+x﹣3=0的△=1+12=13＞0，有两根，

则有（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=13．

答：（x1﹣x2）2的值为13

43．解：∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，∴△=4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，

∴k≤0，

设方程的两根分别为x1、x2，

∴x1+x2=﹣2（k﹣2）…①，x1?x2=k2+4…②，

∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1?x2+21，

即（x1+x2）2﹣3x1?x2=21，

把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）=21，

∴k=17（舍去）或k=﹣1，

∴k=﹣1，

∴原方程可化为x2﹣6x+5=0，

解得x1=1，x2=5

44．解：不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0．理由如下：

设方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣

∵一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，

∴4k≠0且△=16（k+2）2﹣4×4k×k＞0，

∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，

当x1+x2=0，

∴﹣=0，

∴k=﹣2，

而k＞﹣1且k≠0，

∴不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0 45．解：把x=﹣2代入原方程得4﹣2（k+3）+k=0，解得k=﹣2，

所以原方程为x2+x﹣2=0，

设方程另一个根为t，则t+（﹣2）=﹣1，解得t=1，

即k的值为﹣2，方程的另一根为1

46．解：∵x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，

∴x1+x2=2m，x1x2=3m．

又（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，

∴x1x2+2（x1+x2）+4=22﹣m2，

3m+4m+4=22﹣m2，

m2+7m﹣18=0，

（m﹣2）（m+9）=0，

m=2或﹣9．

当m=2时，原方程为x2﹣4x+6=0，此时方程无实数根，应舍去，取m=﹣9

47．（1）证明：△=（k+1）2﹣4（2k﹣2）

=k2﹣6k+9

=（k﹣3）2，

∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，

∴无论k为何值时，该方程总有实数根；

（2）解：设方程两根为x1，x2，

则x1+x2=k+1，x1?x2=2k﹣2，

∵x12+x22=5，

∴（x1+x2）2﹣2x1?x2=5，

∴（k+1）2﹣2（2k﹣2）=5，

∴k1=0，k2=2

48．解：设方程的两根为x1，x2，

∴x1+x2=﹣（m+1），x1?x2=m+4，

而x12+x22=2，

∴（x1+x2）2﹣2x1?x2=2，

∴（m+1）2﹣2（m+4）=2，

解得m1=3，m2=﹣3，

当m=3时，方程变形为x2+4x+7=0

∵△=16﹣4×7＜0，

∴此方程无实数根；

当m=﹣3时，方程变形为x2﹣2x+1=0

∵△=4﹣4×1=0，

∴此方程有实数根，

∴m=﹣3

49．解：若两根互为相反数，

则△＞0，x1+x2=0，

于是（m2﹣2m﹣15）2﹣4×2m≥0，

又∵x1+x2=0，

∴﹣=0，

即m2﹣2m﹣15=0，

解得，m=3，或m=5．

当m=3时，（32﹣2×3﹣15）2﹣4×2×3=120＞0，符合题意；

当m=5时，（52﹣2×5﹣15）2﹣4×2×5=﹣40＜0，不符合题意．

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故答案为：3

50．解：∵△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，

则AB+AC=2k+2，AC×AB=k2+2k，

分为三种情况：

①若AB=AC时，则2AB=2k+2，AB2=k2+2k，

AB=k+1，

代入得：（k+1）2=k2+2k，

此方程无解，即AB≠AC；

②若AB=BC=10，则10+AC=2k+2，10AC=k2+2k，

即AC=2k+2﹣10，

代入得：10（2k+2﹣10）=k2+2k，

解得：k1=10，k2=8，

∴AC=12或8，

③若AC=BC=10时，与②同法求出k=10或8，

∴当AC=12，AB=10，BC=10时，△ABC的周长

=12+10+10=32，

∴当AC=8，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=10+10+8=28，∴当k=10或k=8时，△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为32或28

51．解：（1）△=4（k﹣1）2﹣4k2=4（k2﹣2k+1）﹣4k2=﹣8k+4≥0，

∴k ≤，

故当k ≤时，原方程有实数根；

（2）选k=0，则原方程化为：x2+2x=0，

设两实数根为：x1，x2，

由根与系数的关系：x1+x2=﹣2，x1x2=0，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，

=4﹣0=4

52．解：（1）方程两根互为倒数，根据根与系数的关系x1?x2=1，

即a2=1，

a=±1，

当a为1或﹣1时，方程两根互为倒数；

（2）∵|x1|=x2，

∴x1=x2或x1=﹣x2，

当x1=x2时△=0，即（2a﹣1）2﹣4a2=0

﹣4a+1=0，

a=﹣，

当x1=﹣x2时，

2a﹣1=0，

a=．∴方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，a 的值是﹣

或

53．解：：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2方程有两个相等的实数根，

∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣

4m+4=0，

∴m=1．

原方程化为：x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，

∴x1=x2=﹣2．

（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．

∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=

（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，

即：8m2﹣64m﹣160=0，

解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），

又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．54．解：设原方程的两根为x1、x2

（1）∵两根互为倒数，

∴两根之积为1

x1?x2==1，

解得m=15，

（2）∵两根互为相反数，

∴x1+x2==0，

∴m=﹣，

（3）当有一根为零时，

∴m﹣7=0，

∴m=7，

（4）当有一根为1时，

∴8﹣2m﹣1+m﹣7=0，

解得m=0

55．解：（1）当a﹣1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；

当a≠1时，由△=b2﹣4ac≥0，得（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）≥0，

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解得a ≤，

∵a﹣1≠0，∴a≠1，

则a的取值范围是a ≤且a≠1，

（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，

∴x1+x2=，

x1x2=．

又∵x12+x22=9，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=9．

（）2﹣2×=9．

整理，得7a2﹣8a=0，

a（7a﹣8）=0．

∴a1=0，a2=（舍去）．

经检验0是方程的根．故a=0

56．解：（1）若方程的一个根为零，

则m﹣5=0，

解得m=5，

（2）若方程的两个根互为相反数，

则两根之和为0，

故=0，

解得m=﹣1，

（3）若方程两根互为倒数，

则=1，

解得m=13，

当m=13时，方程是8y2﹣14y+8=0，即4y2﹣7y+4=0，根的判别式△=﹣15＜0，

故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数

57．解：设另一根为x，

∵一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，

∴m+1﹣1+m2﹣3m﹣3=0，

解得m=3或﹣1（舍去），

故m=3，

∴x+1==，

∴x=﹣，

故另一根为﹣．

58．解：设方程的两根为x1，x2，∵关于x的一元二次方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，

∴a2﹣3≠0，x1?x2==1，

∴a2=4，

∴a=2或﹣2，

当a=2时，原方程变形为x2+1=0，△=﹣4＜0，此方程无实数根，

∴a=﹣2．

即a的值是﹣2

59．解：（1）设另两边为x1，x2，且x1＞x2．

∴由韦达定理，得

x1+x2=6，x1?x2，=m；

根据三边关系得：

x1+x2=6＞5 ①；

∴x1﹣x2==＜5；解得，m ＞；

又∵△=36﹣4m≥0，

解得，m≤9，

∴m 的取值范围是：＜m≤9；

（2）当m取最大值，即m=9时，由原方程得

x2﹣6x+9=0，即（x﹣3）2=0，

解得，x1=x2=3，

过点A作AD⊥BC于点D．

∴AD=

∴S△ABC =．

60．解：x2﹣（k+2）x+2k=0

（x﹣2）（x﹣k）=0，

∴x1=2，x2=k，

∵当k=2时，b=c=2，周长为5，

∴当k=1时，1+1=2，不能构成三角形，

∴周长为5

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