全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题

大学自主招生数学试题

交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填

在括号内)

1998

1．若今天是星期二，则3天之后是 ( )

A．星期四 B．星期三 C．星期二 D．星期一

2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机

的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )

A．

4813! B．

21613! C．

172813! D．

813!

( )

183．方程cos2x?sin2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是

A．m?18 B．m >?3 C．m >?1

2

D．?3?m?

4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x+px+q＝0的两个根，则此数列各项的积是

A．pm

5．设f ’(x0)＝2，则limA．?2

h?0

B．p2m

f(x0?h)?f(x0?h)h

C．qm C．?4

1( ) D．q2m D．4

( )

B．2

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

1．设f(x)的原函数是x?1，则?f(2x)dx?__________．

02．设x?(0,?2)，则函数(sinx?21sinx2)(cosx?21cosx2)的最小值是__________．

3．方程3?16x?2?81x?5?36x的解x＝__________．

?????????__________． 4．向量a?i?2j在向量b?3i?4j上的投影(a)b5．函数y?2x?33x2的单调增加区间是__________．

6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．

22

7．方程7x?(k+13)x+k?k?2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是__________．

8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等

可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）

1．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有a1?a2???an?试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．

2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝?f(?x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．

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32n，a1a2?an?n?12．

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3．(8分)求极限lim

?x2?bx?c,x?014．(10分)设f(x)??在x＝0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中

3x?0?lx?m,1?2???nnp?1pppn??(p?0)．

曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c>0)

35．(8分)证明不等式：1?

sinx?cosx?24，x?[0,?2]．

6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是

命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．

7．(11分)如图所示，设曲线y?1x12．若射手甲先射，谁先

y 上的点与x轴上的点顺次

构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线y?1x上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形

B1 B2 O A1 A2 x 的面积之和是否存在．

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复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，

即1；2，3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________． 2．sin2??sin2(???3)?sin(??2?3)＝______________．

3．lim[(n?2)log2(n?2)?2(n?1)log2(n?1)?nlog2n]＝_________________．

n??4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．

2

5．正实数x,y满足关系式x?xy?4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车

给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn．

2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光

学性质吗？请叙述但不必证明．

3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于2arcsin求该棱锥的体积．(cos

4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．

求证：这四个点组成一个矩形．

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12(32?6)，

?12?14(2?6))

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5．设(1?

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请

证明你的结论．

2)?xn?ynn2，其中xn,yn为整数，求n→∞时，

xnyn的极限．

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2000年交大联读班试题

1. 直线y?ax?b关于y??x的对称直线为_______________。

2. 已知a,b,c是?ABC的三边，a?1，b?c，且满足logb?ca?logc?ba?2logb?calogc?ba，则

?ABC是_______________的三角形。

83. 已知?3x?1??a8x8?a7x7???a1x?a0，则a8?a6?a4?a2?a0?_______________。 4. 已知f?x?满足：f?x?1??1?f1?f?x?，则f?x?的最小正周期是_______________。 ?x?5. 已知f?x?是偶函数， f?x?2?是奇函数，且f?0??1998，则f?2000??_______________。 6. a,b,c是?ABC的三边，且?b?c?:?a?c?:?a?b??4:5:6，则

sinA:sinB:sinC?_______________。

7. n是十进制的数，f?n?是n的各个数字之和，则使f?n??20成立的最小的n是

_______________。

sin?12?sin?cos7?12?_______________。

7?1238.

cos?129. 函数f?x??x?1?x2?3x?1?x2?x?R?的反函数是_______________。

10. 已知数列an?nkn（k是不等于1的常数），则a1?a2?a3???an?_______________。

11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。（取

出的数不分先后） 12. 己知f?x?在x0处可导，则limf2?x0?3h??hf2?x0?h?h???_______________。

13. 已知x,y为整数，n为非负整数，x?y?n，则整点?x,y?的个数为_______________。 14. 抛物线y?x2?x?0?上，点A坐标为??,0?，抛物线在P点的切线与y轴及直线PA夹角

?3??1?相等，求点P的坐标。

15. 在?an?中，a1?4，an?an?1?6，①求证：an?3?16. 已知u?y2?x2，v?2xy，

①若点?x,y?在单位圆上以?0,1?为起点按顺时针方向转一圈，求点?u,v?的轨迹；

13an?1?3②求liman。

n??第 5 页 共 52 页

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②若点?x,y? 在直线y?ax?b上运动，而点?u,v?在过点?1,1?的直线上运动，求a，b的值。 17. 若x,y满足x2?2xy?y2?3x?3y?12?0，求下列函数的最小值：①x?y；②xy；

③x3?y3。

18. 若方程x3?27x?m?0有3个不同实根，求实数m的取值范围。

19. 己知函数f?x?满足f?x?y??f?x??f?y??xy?x?y?，又f'?0??1，求函数f?x?的解析式。

20. 口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第

即第n?1次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是n次两个黄球都被摸出，

Pn，求P2,P3,Pn。

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2001复旦基地班数学试题

1. 设函数y?xx?a的反函数是它自身，则常数a?_______________。

222. 不等式??log2??x????log2x的解集是_______________。

3. 直线2x?7y?8?0与2x?7y?6?0间的距离是_______________。

4. 如果?3?x?的展开式的系数和是?1?y?的展开式的系数和的512倍，那么自然数n与m的关系为_______________。 5. 椭圆??34?2cos?nm的焦距是_______________。

226. 己知4x?3y?5?0，那么?x?1???y?3?的最小值为_______________。

7. 与正实轴夹角为arcsin?sin3?的直线的斜率记为k，则arctank?_______________。（结果用数值表示）

8. 从n个人中选出m名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不

限，则共有_______________种选法?m?n?。

9. 正方体ABCD?A1B1C1D1中，BC1与截面BB1D1D所成的角为_______________。 10. sec50??1cot10??_______________。（结果用数值表示）

11. 函数g?x??cos?x?cos??x???的最小正周期是（ ）

?2??3?A．2? B．? C．2 D．1 12. 设函数f?x??A．f?x??f?1x的反函数为f?1 ?x?，则对于?0,1?内的所有x值，一定成立的是（ ）

f?1?x? B．f?x???x? C．f?x??f?1?x? D．f?x??f?1?x?

13. 813除以9所得的余数是（ ）

A．6 B．?1 C．8 D．1

14. 抛物线y2??4?x?1?的准线方程为（ ）

A．x?1 B．x?2 C．x?3 D．x?4

1?x?t???t15. 由参数方程?所表示的曲线是（ ）

1?y?t??t?A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

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16. 己知抛物线y?x2?5x?2与y?ax2?bx?c关于点?3,2?对称，则a?b?c的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

17. 作坐标平移，使原坐标下的点?a,0?，在新坐标下为?0,b?，则y?f?x?在新坐标下的方程

为（ ）

A．y'?f?x'?a??b B．y'?f?x'?a??b C．y'?f?x'??a?b D．y'?f?x'?a?b? 18. 设有四个命题： ①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件； ②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件； ③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 ④a,b是平面?外的两条直线，且a//?，则a//b是b//?的必要而不充分条件，其中真命题的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

19. 集合A,B各有四个元素，A?B有一个元素，CüA?B，集合C含有三个元素，且其中

至少有一个A的元素，符合上述条件的集合C的个数是（ ） A．55 B．52 C．34 D．35

20. 全面积为定值?a2（其中a?0）的圆锥中，体积的最大值为（ ）

A．?a3 B．

322123?a C．?a D．

313663?a

21. 已知：sin??sin??a，cos??cos??a?1，求sin?????及cos?????。

22. 设复数z1,z2满足：z1?z1?z2，z1z2?a?1?3i?，其中i是虚数单位，a是非零实数，求

z2z1。

23. 已知椭圆

?x?a?22?y?1与抛物线y?142212x在第一象限内有两个公共点A,B，线段AB的

中点M在抛物线y2??x?1?上，求a。

n?1n24. 设数列?bn?满足b1?1，bn?0，?n?2,3,??其前n项乘积Tn??abn??n?1,2,??，①证

明?bn?是等比数列。②求?bn?中所有不同两项的乘积之和。

25. 己知棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰三角形，AB?AC，上底面的项点A1在下底面的射

影是?ABC的外接圆圆心，设BC?a，?A1AB??3，棱柱的侧面积为23a2。

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①证明:侧面A1ABB1和A1ACC1都是菱形，B1BCC1是矩形。 ②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。 ③求棱柱的体积。

26. 在直角坐标系中，O是原点，A,B是第一象限内的点，并且A在直线y??tan??x上（其

中???????,2??4，OA??）

12?osc?，B是双曲线x2?y2?1上使?OAB的面积最小的点，求：

当?取?????,?中什么值时，?OAB的面积最大，最大值是多少? ?42?第 9 页 共 52 页

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2001年交大联读班数学试卷

1. 数N?212?58的位数是_______________。

2. log2??log3?log4x????log3??log4?log2y????log4??log2?log3z????0求

x?y?z?_______________。

3.

p?log83，q?log35，则用p,q表示lg5?_______________。

4. 2sin??sin??cos?，sin2??sin?cos?，求

??cos2?cos2??_______________。

5. x??0,?，求f?x??cosx?xsinx的最小值为_______________。

?2?6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边

上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_______________。

100?7. 数列1,3,2,?中，an?2?an?1?an，求?ai?_______________。

i?148.

?1?2x?x2?展开式中x7系数为_______________。

9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60?，角的两边一边长x，一边长9cm，排版时把

长x的那边错排成x?1长，但发现角和对边长度没变，则x?_______________。 10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列?d?1?的概率为_______________。 11. ?a?1??b?1??2，则arctana?arctanb?（ ） 12. A．

?2 B．

?3 C．

?4 D．

?6

13. 某人向正东走xkm，再左转150?朝新方向走了3km，结果离出发点3km，则x?（ ）

A．3 B．23 C．3 D．不确定

11???14. ?1?232??1?216???1???2?1?2????（ ）

????11?1?32A．?1?2?2???1111???1?323232 B．?1?2? C．1?2 D．?1?2?

2????215. t?0，S??x,y??x?t??y2?t2，则（ ）

A．?t，?0,0??S B．S的面积??0,??

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??

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C．对?t?5，S?第一象限 D．?t，S的圆心在y?x上

16. 一个圆盘被2n条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个

A．2n?2 B．3n?1 C．3n D．3n?1 17.

40?ik?0kcos?45?90k??（

? ）

1212A．

22 B．2122 C．xyx?y?21?20i? D．?21?20i?

18. 对x,y?R?，定义x*y?，则?*?满足（ ）

A．交换律 B．结合律 C．都不 D．都可 19. 60?90?125?modN?，则81?（ ）?modN?

A．3 B．4 C．5 D．6

20. f?x??x2?2x?2，在x??t,t?1?上最小值为g?t?，求g?t?。

1??6?6x?????x?x??2x??1??3?3x??x?x??x??3621. x?R?，求f?x??的最小值。

22. f1?x??2x?1，fn?1?x??f1?，求f28?x? fn?x????x?123. 2y?x2?6xcost?9sin2t?8sint?9（t?R,t为参数）

①求顶点轨迹，②求在y?12上截得最大弦长的抛物线及其长。 24. an为递增数列，a1?1，a2?4，在y?围成面积为Sn，若?Sn?为q?45x上对应为Pn?an,an?，以OPn,OPn?1与曲线PnPn?1?的等比数列，求?Si和liman。

i?1n??第 11 页 共 52 页

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2001年上海交通大学联读班数学试题

一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数N?212?58的位数是________________．

2．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x+y+z＝_________． 3．若log23＝p，log35＝q，则用p和q表示log105为________________．

4．设sin?和sin?分别是sin?与cos?的算术平均和几何平均，则cos2?:cos2?＝____________． 5．设x?[0,?2]，则函数f(x)＝cosx+xsinx的最小值为________________．

6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正

方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________． 7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．

8．在(1+2x?x2)4的二项展开式中x7的系数是_______________．

9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a

厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a＝________________．

10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率

为_________________．

二、选择题（本题共32分，每小题4分）

11．a>0，b>0，若(a+1)(b+1)＝2，则arctana+arctanb＝

A．

?2

D．

?6( )

B．

?3 C．

?412．一个人向正东方向走x公里，他向左转150°后朝新方向走了3公里，结果他离出发点3公里，则x

是 A．3 13．(1?2A．

12?132 B．23 )(1?2?132 C．3

?14

D．不能确定

?132( )

?116)(1?2?18)(1?2)(1?2?12)? ( )

12(1?2?132(1?2)

?1B．(1?2?132)

?1C．1?2 D．)

14．设[t]表示≤ t的最大整数，其中t≥0且S＝{(x,y)|(x?T)2+y2≤T2,T＝t?[t]}，则

A．对于任何t，点(0,0)不属于S

C．对于所有的t≥5，S被包含在第一象限 最大个数是 A．2n+2

2

( )

B．S的面积介于0和?之间

D．对于任何t，S的圆心在直线y＝x上

C．3n

D．3n+1

40

15．若一个圆盘被2n(n>0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的

B．3n?1

n

( ) ( )

16．若i＝?1，则cos45°+icos135°+…+icos(45+90n)°+…+icos3645°＝

A．

12 B．

2122 C．

22(21?20i) D．

22(21?20i)

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17．若对于正实数x和y定义x?y?xyx?y，则 ( )

A．”*”是可以交换的，但不可以结合 B．”*”是可以结合的，但不可以交换

C．”*”既不可以交换，也不可以结合 D．”*”是可以交换和结合的

18．两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这

两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于

A．3

B．4

C．5

D．7

( )

三、计算题（本题共78分）

19．(本题10分)已知函数f(x)＝x2+2x+2，x∈[t,t+1]的最小值是g(t)．试写出g(t)的解析表达式．

(x?1x)?(x?1x33661x6)?2120．(本题12分)设对于x>0，f(x)?，求f(x)的最小值．

(x?)?x?x3

21．(本题16分)已知函数f1(x)?的解析表达式是什么？

22

22．(本题20分)已知抛物线族2y＝x-6xcost-9sint+8sint+9，其中参数t∈R．

(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；

(2) 求在直线y＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．

23．(本题20分)设{xn}为递增数列，x1＝1，x2＝4，在曲线y?y Pn+1 Pn x上与之对应的点列为2x?1x?1，对于n＝1,2,3,…定义fn+1(x)＝f1[fn(x)]．若f35(x)＝f5(x)，则f28(x)

O Xn Xn+1 x P1(1,1),P2(4,2),P3(x3,x3),…,Pn(xn,xn)…，且以O为原点，由OPn、OPn+1与曲线PnPn+1所围成部

4分的面积为Sn，若{Sn}(n∈N)是公比为试求S1+S2+…+Sn+…和limxn．

n??的等比数列，图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为(xn2?1?xn2)，

53233

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复旦大学2001年选拔生考试数学试题

一、填空(每小题5分，共45分)

1．sinx?siny?0，则cos2x?sin2y?___________________．

2．平面?1, ?2成?的二面角，平面?1中的椭圆在平面?2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为

__________． 22

3．(x+2x+2)(y-2y+2)＝1，则x+y?________________________．

4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002?8a3+8a2+8a1+a0，0≤a0,a1,a2,a3≤7正整数，则a0?______________． 6．(x?1x15)的常数项为_________________．

32

7．limn??n(n?1?n)＝__________________．

8．空间两平面?,?，是否一定存在一个平面均与平面?,?垂直？___________． 9．在△ABC中，cos(2A?C)＝cos(2C?B)，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)

1．求解：cos3xtan5x＝sin7x．

2．数列3，3?lg2，…,3?(n?1)lg2．问当n为几时，前n项的和最大？

3．求证：x∈R时，|x?1|≤4|x3?1|．

4．a为何值时，方程

lgxlg2?lg(a?x)lg2?log2(a?1)有解？只有一解？

2

5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正

北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？

6．x-2y＝1的所有整数解(x,y)，试证明：|

3

3

1xy?23|?4|y|3．

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大学自主招生数学试题

2002复旦基地班数学考题

1. 已知：sinx?siny?0则cos2x?cos2y?_______________。

2. x,y?R，?x2?2x?2??y2?2y?2??1，则x?y?_______________。

3. 空间两平面?1,?2，_______________ ?3与?1,?2均垂直? （请填“存在”或“不存在”） 4. 从奇偶性看：函数y?lnx?x2?1是_______________。

5. 平面?1,?2成?角，一椭圆E??1在?2内射影为一个圆，求椭圆长轴与短轴之比

_______________。

6. 2002?83a3?82a2?8a1?a0?1?ai?7,ai?N?，a3?_______________。 7. ?ABC中，cos?2A?C??cos?2B?C?，则?ABC为_______________。

8. 若0,1作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加

_______________电话资源。 9.

???3??1?x??中不含x的项为_______________。

x?1510. 解方程：cos3x?tan5x?sin7x

11. 一艘船以v1?10km/h向西行驶，在西南方向300km处有一台风中心，周围100km为暴雨

区，且以v2?20km/h向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度。

12. 已知：0.3010?lg2?0.3011，要使数列3,3?lg2,?,3??n?1?lg2的前n项和最大，求n。 13. 参数a取何值时：

logaxloga2?logx?2a?x?logx2?1loga2?12

①有解?②仅有一解?

14. 在?0,??内，方程acos2x?3asinx?2?0有且仅有二解，求a的范围。 15. 证明方程：x?2y?1的任一组整数解?x,y??y?0?都有：

33xy1?23?4y3。

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大学自主招生数学试题

2002年交大联读班数学试卷

1. ?3?1，?是虚数，则?2n??n?1?_______________。

2. 函数y?ax?b?a,b?Z?的图象与三条抛物线y?x2?3、y?x2?6x?7、y?x2?4x?5分

别有2，1，0个交点，则?a,b??_______________。 3. 若3a?4b?6c，则

1a?12b?1c?_______________。

4. 若2x?2?x?2，则8x?_______________。 5. 函数y???secx?tanxsecx?tanx22的值域为_______________。

6. ?1?1??1??1?1??1???2??2?2?2??3??n?_______________。

1x27. 正实数x,y,z满足x2?y2?z2?1，则

?1y2?1z2的最小值是_______________。

8. 一个圆内接四边形ABCD，已知AB＝4，BC＝8，CD＝9，DA＝7，则cosA?_______________。 9. 实数a,b满足a1?b2?b1?a2?1，则a2?b2?_______________。

1??910. ?x2?1??的展开式中x的系数为_______________。

2x??911. 方程a2?x2?2?x，1?a?2，则方程有_______________个实数解。 12. ?ABC三边长a,b,c满足a?b?c，b?n，?a,b,c?N*?，则不同的三角形有_______________个。

13. 掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为_______________。 14. 若不等式0?x2?ax?5?4只有唯一实数解，则a?_______________。

15. 有两个两位数，它们的差是56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为

_______________。

16. 在一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E，它们各有15、7、11、3、14台机

器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则A应给B_______________台，B应给C_______________台，A给 E_______________台，总共运输_______________台。 17. ①用数学归纳法证明以下结论：1?122?132????1n2?2?1n　?n?2,n?N*?。

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大学自主招生数学试题

②若有1?x26?sinxx的结论求lim?1，利用①

n??1?11?1?sin1?2?sin????n?sin??n?2n?2x?ax?b

18. 若x?f?x?，称x为f?x?的不动点，f?x??

①若f?x?有关于原点对称的两个不动点，求a,b满足的关系； ②画出这两个不动点的草图。

19. 有50cm的铁丝，要与一面墙成面积为144cm2长方形区域，为使用料最省，求矩形的长与

宽。

20. 数列?an?满足an?1?2an2?1，aN?1且aN?1?1，其中N??2,3,4,??

①求证：a1?1； ②求证：a1?cosk?2N?2?k?Z?。

a?b?? ?2??21. 函数f?x??lgx，有0?a?b且f?a??f?b??2f?①求a,b满足的关系；

②证明：存在这样的b，使3?b?4。

22. A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由A掷：若A掷不

到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为An。 ①求An?1与An的关系； ②求limAn。

n??

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大学自主招生数学试题

上海交通大学2002年保送生考试数学试题

一、填空题（本题共64分，每小题4分）

1．设方程x3=1的一个虚数根为?,则?2n??n?1(n是正整数)=__________．

2．设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，

0，则(a,b)=___________．

3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________． 4．若x,y,z>0且x2+y2+z2=1，则

x

?x

x

1x2?1y2?1z2的最小值为___________．

5．若2?2=2，则8=______________． 6．若a,b,c为正实数，且3=4=6，则7．(1?12)(1?2132abc

1a?12b?1c=_____________．

)?(1?21n2)的值为_____________．

8．函数y?secx?tgxsecx?tgx2的值域为______________．

9．若圆内接四边形ABCD的边长AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则cosA=__________． 10．若a,b满足关系：a1?b?b1?a?1，则a2+b2=____________．

2211．(x?1?212x)的展开式中x的系数是_____________．

99

12．当1?a?2时，方程a2?x2?2?|x|的相异实根个数共有_____________个．

13．若不等式0?x2?ax?5?4有唯一解，则a=_______________．

14．设a,b,c表示三角形三边的长，均为整数，且a?b?c，若b=n（正整数），则可组成这样的三角形______

个．

15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______．

16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，

现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，

从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台．

二、计算与证明题（本题共86分） 17．（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：

(1)1?122?132???1n2?2?1n；(2)已知当0?x?1时,1?1n1213x26?sinxx?1，

试用此式与(1)的不等式求lim

n??(sin1?2sin?3sin???nsin1n)

18．（本题14分）若存在实数x，使f(x)=x，则称x为f(x)的不动点，已知函数f(x)?第 18 页 共 52 页

2x?ax?b有两个关于

大学自主招生数学试题

原点对称的不动点

(1) 求a,b须满足的充要条件；

(2) 试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）

2

19．（本题14分）欲建面积为144m的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现

有铁丝网50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的

长度．

2?1(n?1,2,?)，若N满足aN?1(N?2,3,?)， 20．（本题14分）设数列{an}满足关系an?1?2anx 144m y 2试证明：(1) |a1|?1；

(2) a1?cosk?2N?2 （k为整数）

21．（本题16分）设f(x)?|lgx|,a,b为实数，且0?a?b,若a,b满足f(a)?f(b)?2f(试写出a与b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3

a?b2)

22．（本题16分）A和B两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接

着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率是Pn．试求：(1) Pn+1用Pn表示的式子；(2) 极限limPn

n??

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大学自主招生数学试题

2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_______________． 3．已知x,y?R?，x+2y＝1，则

2x?2y的最小值是______________．

4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个

数是___________________． 5．已知f(x)?ax7+bx5+x2+2x?1，f(2)??8，则f(?2)?_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分．

8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法． 9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________． 10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{an}的a1?1，a2?3，3an+2?2an+1+an，求an和liman．

n??

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000，求x50的系数．

12k14．化简：(1) 1?1!?2?2!???n?n!； (2) Cn?1?Cn?2???Cn?k．

15．求证：

16．证明不等式()?n!?()，当自然数n≥6时成立．

23nna?2aa?3a?1423为最简分式．

nn

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复旦大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题(本大题共80分，每题8分) 1．函数y?2

12xf(t?x)，当x=1时，y?t222

?t?5，则f(x)＝________________．

2

2．方程x+(a?2)x+a+1?0的两根x1,x2在圆x+y?4上，则a?_______________．

3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A＝{x|log2(x?4x?4)>0}，B＝{x||x+1|+|x?3|≥6}，则A?B=_______________． 5．数列{an}的前n项和为Sn，若ak=k·pk(1?p),(p≠1)，则Sk＝______________． 6．若(x?1)2+(y?1)2?1，则

y?1x?32

的范围是___________________．

o

7．边长为4的正方形ABCD沿BD折成60二面角，则BC中点与A的距离是_________． 8．已知|z1|?2，|z2|?3，|z1+z2|?4，则

z1z2?______________．

9．解方程xlogax?xan32，x＝________________．

10．(a>0)，limann??2?an＝______________．

二、解答题(本大题共120分)

11．已知|z|＝1，求|z2+z+4|的最小值．

12．a1,a2,a3,…,an是各不相同的自然数，a≥2，求证：(

13．已知sin??cos??

14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y?x1?x21a1)?(a1a2)?(a1a3)???(a1an)?2．

a32，cos??sin??2，求tan??cot?的值．

(x>0)的图象上，

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大学自主招生数学试题

求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值．

15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O1内切于圆锥，球O2内切于圆锥侧面，与球O1外切，…，以

次类推，

(1) 求所有这些球的半径rn的通项公式；

(2) 所有这些球的体积分别为V1,V2,…,Vn,…．求lim(V1?V2???Vn)．

n??

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，an?

17．定义闭集合S，若a,b?S，则a?b?S，a?b?S．(1) 举一例，真包含于R的无限闭集合．(2) 求

证对任意两个闭集合S1,S2?R，存在c?R，但c?S1?S2．

1(n?1?n)(n?1?n?1)(n?n?1)，求S2003．

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大学自主招生数学试题

同济大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题

1．f(x)是周期为2的函数，在区间[?1,1]上，f(x)?|x|，则f(2m?32)?___(m为整数)．

2．函数y?cos2x?2cosx,x∈[0,2?]的单调区间是__________________． 3．函数y?2x2?x2的值域是__________________．

4．

5．函数y＝f(x)，f(x+1)?f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y?____________． 6．

7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________． 8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投

M点坐标是_________，CN与DM所成角是_________． 9．双曲线x2?y2＝1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积

___________． 10．椭圆

x2z A M O C N 影，则

4?y23?1在第一象限上一点P(x0,y0)，若过P的切线B 与坐

D x y 标轴所围成的三角形的面积是_________． 二、解答题 11．不等式log22x?2kx?k3x?6x?4bx?c22R都成立，求k的取值范围． ?0对于任意x∈

121212．不动点，f(x)?13．已知y?x?asin??cos?．(1) ,3为不动点，求a,b,c的关系；(2) 若f(1)?，求f(x)的解析式；(3)

2?sin??cos?(??[0,2?))，(1) 求y的最小值；(2) 求取得最小值时的?．

14．正三棱柱ABC－A1B1C1，|AA1|?h，|BB1|?a，点E从A1出发沿棱A1AA 后沿AD运动，∠A1D1E??，求过EB1C1的平面截三棱柱所得的截面与?的函数关系式． 15．已知数列{an}满足an?1?bn＝an?an?1(n=2,3,…)，

nC D B 运动，面积S

an?an?12．

A1

D1 B1

C1

(1) 若求bn；

(2) 求?bi；(3) 求liman．

i?1n??16．抛物线y＝2px，(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求|AB|．(2) 是否存在正方形ABCD，

使C在抛物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？

2

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大学自主招生数学试题

上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3

一、填空题：

1．已知x,y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的范围是__________． 2．长为l的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________． 3．函数y?sinx?cosx（0?x??2）的值域是_____________．

4．已知a,b,c为三角形三边的长，b=n，且a≤b≤c，则满足条件的三角形的个数为________． 5．x2?ax?b和x2?bx?c的最大公约数为x?1，最小公倍数为x3?(c?1)x2?(b?3)x?d，则

a=______,b=_______,c=_______,d=__________．

6．已知1?a?2,则方程a?x22?2?x的相异实根的个数是__________．

7．(72004?36)818的个位数是______________．

8．已知数列?an?满足a1?1,a2?2，且an?2?3an?1?2an，则a2004=____________． 9．n?n的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________． 10．已知6xyzabc?7abcxyz,则xyzabc=_______________． 11． 12．

二、解答题

1．已知矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长．

2．某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为 1：2：3：…：a，求二项式的次数、a、以及二项式

系数．

3．f(x)=ax4+x3+(5?8a)x2+6x?9a，证明：（1）总有f(x)=0；（2）总有f(x)≠0．

4．f1(x)?

5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．

6．已知?bn?为公差为6的等差数列，bn?1?an?1?an(n?N)．

(1) 用a1、b1、n表示数列?an?的通项公式；

(2) 若a1??b1?a，a?[27,33]，求an的最小值及取最小值时的n的值．

1?xx?1，对于一切自然数n，都有fn?1(x)?f1[fn(x)]，且f36(x)?f6(x)，求f28(x)．

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大学自主招生数学试题

复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21

一、填空题（每题8分，共80分） 1．x8?1?(x4?2x?1)(x?ax242?1)，则a?_________．

2．已知5x?3?5x?4?7，则x的范围是___________．

x23．椭圆

16?y29?1，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________．

4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法． 5．已知等比数列?an?中a1?3，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______． 6．x2?(a?1)x?a?0的所有整数解之和为27，则实数a的取值范围是___________．

(x?4)427．已知?y292?1，则

35x24?y2935的最大值为____________．

8．设x1,x2是方程x?xsin??cos??0的两解，则arctgx1?arctgx2=__________．

9．z3?z的非零解是___________．

1?x10．y?21?x的值域是____________． 二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：log5(x?

2．已知sin(???)?

3．已知过两抛物线C1：x?1?(y?1)2，C2：(y?1)2??4x?a?1的交点的各自的切线互相垂直，求a．

4．若存在M，使任意t?D（D为函数f(x)的定义域），都有f(x)?M，则称函数f(x)有界．问

函数f(x)?1xsin1x1213x?3)?1．

，sin(???)??45，且??0,??0,?????2，求tg2?．

在x?(0,)上是否有界？

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1

大学自主招生数学试题

5．求证：1?

6．已知E为棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB的中点，求点B到平面A1EC的距离．

7．比较log

8．已知数列?an?、?bn?满足an?1??an?2bn，且bn?1?6an?6bn，又a1?2，b1?4，

求 (1) an,bn；

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24123?133???1n3?3．

25与log2526的大小并说明理由．

(2) limanbn．

大学自主招生数学试题

简单解答： 一、填空题：1.?二、解答题： 5．证明1：

1m32 2.(?0.6,0.8) 3.20 4.

13

?1(m?1)m(m?1)1m?1?(1(m?1)m1m?1(m?1)m)?1m?1?m?1

=（?1m?1)??m?1?2m?1

而

m?1?2?1m?1m?1?m?1?m?12?m

1m3?1m?1

1111原式<1+??????13241n?1?1n?1=2?22?1n?1n?1?3

证明2：2n?n?n?12n12nnn(n?1)?1(n?1)(n?1)

n?n?1 ?n?1(n??n?n?1)??n?1?1n

n?11n?1n(n?1)

原式〈1?2(1?

12?12?13???1n?1?1n)?3?1n?3

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大学自主招生数学试题

同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷

一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本

大题满分40分） 1．函数f(x)?log1(sinx?cosx)的单调递增区间是_______________________．

22．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数v?v(t)的图象，则该质点运动的总路程s=_____（厘米）．

3．设a与b是两条非相互垂直的异面直线，?与?分别是过直线a与b20 的平面，有以下4个结论：(1) b//?，(2) b??，(3) ?//?，(4) ???，15 则其中不可能出现的结论的序号为__________． 10 4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位

恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。若水位高度h（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度h（米）作为时间（t单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式为_______________． 5．设?是第二象限角，sin???57?,则sin???2??=_____________________． 5?8?2

v(cm/s) 5 O 5 10 15 t(s) 36．已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2i，线段AB上的动点P对应复数Z，若复数z对应点Q，点Q坐标为(x,y)，则点Q的轨迹方程为________________________．

7．设有正数a与b，满足a

平均数，则x1?y1(x2?y2)2的取值范围是_________________．

8．从0,1,2，…,9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除的五位数的概率

是_______________（用分数给出答案）．

二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，本大题满分60分） 9．（本题满分12分）试利用三角函数求函数f(x)?4?2x2?x1?x2的最大值与最小值．

10．（本题满分12分）求证：对于任何实数a与b，三个数：|a+b|,|a-b|,|1?a|中至少有一个不小于

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12．

大学自主招生数学试题

11．（本题满分12分）设抛物线y=x?(2k?7)x?4k?12与直线y=x有两个不同的交点，且交点总可以被一个

半径为1的圆片所同时遮盖，试问：实数k应满足什么条件？

12．（本题满分12分）设四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方

形，且PA⊥面ABCD．

(1) 求证：直线PC⊥直线BD；

(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥 E—BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P—ABCD的高．

13．（本题满分12分）设有抛物线y2=2px(p>0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物

线上，试问：点C在什么范围之内时∠BAC是锐角？

A B C E D

2

P 第 29 页 共 52 页

大学自主招生数学试题

上海交通大学2005年保送、推优生数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分） 1．方程x2?px?12p2?0的两根x1,x2满足x1?x2?2?44． 2，则p?_________（p?R）

2．sin8x?cos8x?411281n),x?(0,n?1?2)，则x=________________． 1)20043．已知n?Z，有(1??(1?2004，则n?______________．

4．将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图），将这6部分接于一个边长为

，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面62的正六边形上（如下图）体的体积为_____________．

5．已知23?3?22223x?3y，x、y?R，则(x,y)=_______________．

n?16．2?4?6?8???(?1)3

3

2

(2n)=___________．

27．若z=1，且z?C，则z?2z?2z?20?_____________． 8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_______________． 9．4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为______，恰好只有一封装错的概率为_______． 10．已知等差数列{an}中，a3?a7?a11?a19?44，a5?a9?a16=______________． 二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）

1．x?ax?bx?c?0的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．

第 30 页 共 52 页

32

大学自主招生数学试题

2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得

(1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍；

若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．y?

4．已知月利率为?，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于?的函数关

系式（假设贷款时间为2年）．

5．对于数列{an}：1,3,3,3,5,5,5,5,5,…，即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n都

有an?r?[n?s]?t恒成立（[x]表示不超过x的最大整数）．

ax?8x?bx?122的最大值为9，最小值为1，求实数a,b．

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大学自主招生数学试题

2005年复旦大学考试试卷

一、填空题：

1．A=x?R|log2?x2?x?1??0，B=?x?R|2x?21?x?1?，A?B=______ (BC表示B在R上的

C??补集)． 2．数x满足x?1x??1，求x300?1x300?_______．

3．求?=53sin??5cos?的圆心坐标，???0,2??

4．抛物线y?2x2?2ax?a2与直线y?x?1交于A和B两点，AB最大时, a=______． 5．limn???n?n?1?22n?n?1?________．

?6．求1+3+6+…＋

n(n?1)2?______．

7．一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为________． 8．求31000在十进制中最后4位_____________________． 9．定义在R上的函数f(x)（x?1)满足 f?x??2f?1?sinx2?cosx?x?2002???4015?x，则f(2004)?______．

x?1??10．求y?的最大值是__________________．

二、解答题

1．在四分之一个椭圆

形的面积最小．

2．在ΔABC中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求

ACABxa22?yb22?1（x>o, y>0）上取一点P，使过P点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角

．

3．在正方体A B C D—A1B1C1D1中，E、F、G点分别为AD、AA1、A1B1中点，

求：(1) B到面EFG距离；(2) 二面角G—EF—D1平面角?． 4．在实数范围内求方程：410?x?5．已知sin??cos??a0?a?47?x?3的实数根．

?2，求sin?n??cos?关于a的表达式．

n6．直线l与双曲线xy?1交于P和Q两点，直线l与x轴交于A，与y轴交于B，求证：AP?BQ． 7．定义在R上的函数f?x??4xx4?2，Sn?f??1??2??n?1??f???f????? n=2,3,… ?n??n??n?1S2?1S3???1Sn?1?M．

(1) 求Sn； (2) 是否存在常数M>0，?n?2，有

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大学自主招生数学试题

2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题

一、填空题（每题5分，共50分） 1．矩形ABCD中，AD=a，AB=b，过A、C作相距为h的平行线AE、CF，则AF=____． A 2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是

_________．

3．2005！的末尾有连续________个零． B 4．(x2?x?2)10展开式中，x3项的系数为__________．

5．在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为

F

D

E C ?,?,?,且??????90?，则塔高为______________．

6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_____________；在一次游戏

中，甲获胜的概率为___________． 7．函数y??log3(x2?ax?a)在(??,1?3)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

8．?是x5?1的非实数根，?(??1)(?2?1)=_____________．

9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值． 10．已知ak?k?2k!?(k?1)!?(k?2)!，则数列{an}前100项和为___________．

二、解答题（第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分） 11．a,b,c?R，abc?0，b?c，a(b?c)x2?b(c?a)x?c(a?b)?0有两个相等根，

求证：

xa22111,,成等差数列． abc12．椭圆?y?1(a?1)，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三

2角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由． 13．已知|z|=1，k是实数，z是复数，求|z2+kz+1|的最大值．

14．若函数形式为f(x,y)?a(x)b(y)?c(x)d(y),其中a(x),c(x)为关于x的多项式，b(y),d(y)为关于

y的多项式，则称f(x,y)为P类函数，判断下列函数是否是P类函数，并说明理由． (1) 1+xy；

322(2) 1+xy+x2y2．

15．设k?9,解方程x?2kx?kx?9k?27?0．

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大学自主招生数学试题

2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题

1．（本题20分）求和：

(1) 7?77?777???777?7 ?????n个7(2) 2005?20052005?200520052005???2005?20052005?????????

n个20052．（本题15分）试构造函数f(x),g(x)其定域为（0,1），值域为 [0,1]

(1) 对于任意a?[0,1]，f(x)?a只有一解；

(2) 对于任意a?[0,1]，g(x)?a有无穷多个解． 3．（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数． 4．（本题15分）对于任意n?N,x1,x2,?xn均为非负实数，且x1?x2???xn?试用数学归纳法证明：(1?x1)(1?x2)?(1?xn)?1212，

成立．

021222n2n5．（本题20分）求证：(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n．

6．（本题20分）a,b满足何条件，可使

x?ax?bx?2x?222?1 恒成立．

7．（本题20分）下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由．(1) x+1

(2) x+x+1

?42

(3) x+x+x+1

32

(4) x+x+x+x+1

432

8．（本题20分）解三角方程：asin(x?x2)?sin2x?9,a为一实常数．

9．（本题20分）已知曲线C:线C??关于直线y??124?y?1，曲线C关于直线y?2x对称的曲线为曲线C?，曲线C?与曲

2x?5对称，求曲线C?、C??的方程．

210．（本题20分）已知抛物线y?ax，直线l1,l2都过点（1，?2）且互相垂直，若抛物线与直线l1,l2中至

少一条相交，求a的取值范围．

11．（本题15分）f(x)在[1,??)上单调递增，且对任意x,y?[1,??)，都有f(x?y)?f(x)?f(y)成立，证明：存在常

数k，使f(x)?kx在x?[1,??)上成立．

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大学自主招生数学试题

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分）

1．设函数f(x)满足2f(3x)?f(2?3x)?6x?1，则f(x)? ．

2．设a,b,c均为实数，且3a?6b?4，则

3．设a?0且a?1，则方程ax?1??x2?2x?2a的解的个数为 ．

4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ．

5．1?1!?2?2!?3?3!???n?n!? ．

6．设不等式x(x?1)?y(1?y)与x2?y2?k的解集分别为M和N．若M?N，则k的最小值为 ．

7．设函数f(x)?

8．设a?0，且函数f(x)?(a?cosx)(a?sinx)的最大值为

2521a?1b? ．

xx，则S?1?2f(x)?3f2(x)???nfn?1(x)? ．

，则a? ．

9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ．

10．已知函数f1(x)?2x?1x?1，对于n?1,2?,，定义fn?1(x)?f1(fn(x))，若f35(x)?f5(x)，则

f28(x)? ．

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大学自主招生数学试题

二、计算与证明题（每小题10分，共50分）

11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1,O2,O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r?10mm,h?4mm时，R的值．

12．设函数f(x)?sinx?cosx，试讨论f(x)的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在?0,2??内的图像．

第 36 页 共 52 页

大学自主招生数学试题

13．已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x?y2上，试求AB的中点M到y轴的最短距离和此时M点的坐标．

14．设f(x)?(1?a)x4?x3?(3a?2)x2?4a，试证明对任意实数a： （1）方程f(x)?0总有相同实根； （2）存在x0，恒有f(x0)?0．

第 37 页 共 52 页

大学自主招生数学试题

15．已知等差数列?an?的首项为a，公差为b，等比数列?bn?的首项为b，公比为a，n?1,2,?，其中

a,b均为正整数，且a1?b1?a2?b2?a3．

（1）求a的值；

（2）若对于?an?,?bn?，存在关系式am?1?bn，试求b的值； （3）对于满足（2）中关系式的am，试求a1?a2???am．

参考答案： 1. 2x?1 2.

?12

3. 2 4. 94

5.

?n?1?!?1

6. 2

?1??2n?n?1?x?07. ?

?1???1?n?2n?1???4x?08. ?22

9. 4345

10.

2x?35?3x

11. R?2hr2?r，R?60mm

12. ?1,2?；偶函数；?1?????k???k?1??2k?,12k??4??k?Z???；?1??24,2????13. d5?5min?4；M??,?2?2?? ?4?14. 略；反证法 15. 2；3；3?22n?3?2n?2

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?k?Z?；周期为?2

大学自主招生数学试题

2008年交大冬令营数学试题2008.1.1

一．填空题 1．若f(x)?2．函数y?2?12?1x?1x?82xx，g(x)?f?13(x)，则g()?_______．

5的最大值为__________．

3．等差数列中，5a8?3a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为__________． 4．复数|z|?1,若存在负数a使得z2?2az?a2?a?0，则a?________． 5．若cosx?sinx?12，则cos3x?sin3x?________．

1nn?1?(n?1)n6．数列?an?的通项公式为an?，则这个数列的前99项之和S99?_______．

7．(1?x)?(1?x)2?……?(1?x)98?(1?x)99中x3的系数为________． 8．数列?an?中，a0?0，a1??12，a2?6，a3??34，a4?20，a5??56a7??，a6?42，

78a8?72，，

此数列的通项公式为an?_______．

9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．

222210．若曲线C1:x?y?0 与 C2:(x?a)?y?1的图像有3个交点，则a?_______．

二．解答题

1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b． （１）a是否有可能比b高？ （２）a和b是否可能相等？

2．已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0)，且f(x)?x没有实数根．那么f(f(x))?x是否有实数根？并证明你的结论．

3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．

问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？

（２）若不考虑?1?中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？

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2大学自主招生数学试题

4．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai?0或1，i、n?N．设

u?(a,a2,a……13na，)v?(b1,b2,b3……bn)，d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数．

（１）u?(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?1； （２）u?(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?3；

（３）令w?(0,0,0……0)，u?(a1,a2,a3……an)，v?(b1,b2,b3……bn)，

?????n个0求证：d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)．

5．曲线y?2px?p?0?与圆(x?2)2?y2?3交于A、B两点，线段AB的中点在y?x上，求p．

2第 40 页 共 52 页

大学自主招生数学试题

2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1

一．填空题 1．若f(x)?2．函数y?2?12?1x?1x?82xx，g(x)?f?13(x)，则g()?_______．2

514的最大值为__________．

3．等差数列中，5a8?3a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为__________．20

1?254．复数|z|?1,若存在负数a使得z2?2az?a2?a?0，则a?________．5．若cosx?sinx?12

，则cos3x?sin3x?________．

1nn?1?(n?1)n1116

9106．数列?an?的通项公式为an?，则这个数列的前99项之和S99?_______．

47．(1?x)?(1?x)2?……?(1?x)98?(1?x)99中x3的系数为________．C100?3921225

8．数列?an?中，a0?0，a1??12，a2?6，a3??n34，a4?20，a5??(?1)n56a7??，a6?42，

78a8?72，，

此数列的通项公式为an?_______．

(?1)n(n?1)

9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为

__________．

23

222210．若曲线C1:x?y?0 与 C2:(x?a)?y?1的图像有3个交点，则a? ．?1

二．解答题

1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b． （１）a是否有可能比b高？ （２）a和b是否可能相等？ 1． 解：?1?不可能

① 若a、b为同一人，有a?b； ② 若a、b在同一行、列，则均有a?b；

③ 若a、b不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b所在行相交的人为x。

因为a为a、x列最矮的人，所以有a?x；

又因为b为b、x列最高的人，所以有b?x； 于是有a?x?b。

综上，不可能有a?b

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大学自主招生数学试题

?2?有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,3……30，如图2所示：

此时有a?b?26．

2．已知函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，且f(x)?x没有实数根．那么f(f(x))?x是否有实数根？并证明你的结论． 解：没有.

法一： f(x)?x?ax2?(b?1)x?c?0无实数根， ??(b?12)?4ac?；0

f(f(x))?x?0．

a(ax?bx?c)?b(ax?bx?c)?c?x?0a(ax?bx?c)?ax?ax?b(ax?bx?c)?c?x?0． a(ax?bx?c?x)(ax?bx?c?x)?(b?1)ax?(b?1)x?c(b?1)?0．

2??ax2?(b?1)x?c??(b?1)?ax2?(b?1)x?c??0． a?ax?(b?1)x?c??????222222222222?ax2?(b?1)x?c??a2x2?a(b?1)x?b?c?1??0． ????于是有ax?(b?1)x?c?0或ax?a(b?1)x?ac?b?1?0．

?1?(b?1)?4ac?0； ?2?a(b?1)?4a(ac?b?1)

2 ?a2??(b?1)?22222224a?c??4?4a?2。 0故均不存在实数根。

法二：若a?0，则f(x)?x，

于是 f(f(x))?f(x)?x； 若a?0，则f(x)?x， 于是 f(f(x))?f(x)?x；

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大学自主招生数学试题

所以f(f(x))?x没有实数根。

3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．

问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？ （２）若不考虑?1?中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？ 解：?1?乙专家

若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。

澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分

澳 中 0 卡 0 伊 0

3

3

0

3 1

0 3

3 0

3 3

12 10

3 1 0 3 3 10 0 3 0 0 0 3

假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。

?2?若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。

澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 3 0 3 3 3 12 卡 0 3 3 0 3 3 12 伊 0 0 0 0 0 0 0

假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！

故中国队至少得13分才可以确保出线。

4．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai?0或1，i、n?N．设

u?(a,a2,a……13na，)v?(b1,b2,b3……bn)，d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数．

（１）u?(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?1； （２）u?(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?3；

0,0……0)，u?(a1,a2,a3……an)，v?(b1,b2,b3……bn)， （３）令w?(0,?????n个0求证：d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)．

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大学自主招生数学试题

解：?1?5；

?2?C53?10；

对应项同时为1的项的个数为q，则对应项一个为1，?3?记u、v中对应项同时为0的项的个数为p，一个为0的项的个数为n?p?q；(p、q?N，p?q?n)．

d(u,w)即是u中1的个数，d(v,w)即是v中1的个数，d(u,v)是u、v中对应项一个为1，一个为0

的项的个数。

于是有d(u,v)?n?p?q

u、v中1一共有2q?(n?p?q)个，即d(u,w)?d(v,w)?n?p?q

所以有d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)?2q?0 于是d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)．

5．曲线y?2px?p?0?与圆(x?2)2?y2?3交于A、B两点，线段AB的中点在y?x上，求p．

2解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立(x?2)2?y2?3与y2?2px，

得：x2?2(p?2)x?1?0． 知

x1?x22?2?p，x1x2?1；

222 y1?y2?(y1?y)2?2y1y2?2p(x? x)12 且y1?y2?x1?x2． 得y1y2?4(2?p)(1?p)．

2222 又y1y2?4px1x2?4p．

2 所以y1y2?2p?8?12p?4p

解得p?7?174或p?7?417（舍）．

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大学自主招生数学试题

复旦大学2006年自主选拔录取申请资格测试试卷（B卷）

本试卷27页，满分为1000分；每题5分；考试时间为180分钟。

107．在（x2-

1x）10的展开式中系数最大的项是_________。

A．第4、6项 B．第5、6项 C．第5、7项 D．第6、7项

108．设函数y=? (x)对一切实数x均满足?（5+x）=?(5-x)，且方程?（x）=0恰好有6个不同的实根，则

这6个实根的和为______。 A．10 B．12 C．18 D．30 109．若非空集合X=｛x｜a+1≤x≤3a-5｝，Y=｛x｜1≤x≤16｝，则使得X?X∪Y成立的所有a的集合是_______。 A．｛a｜0≤a≤7｝ B．｛a｜3≤a≤7｝ C．｛a｜a≤7｝ D．空集

22

110．设z为复数，E=｛z｜(z-1)=|z-1|｝，则下列_____是正确的 A．E={纯虚数} B．E={实数}

C．{实数}?E?{复数} D．E={复数} 111．把圆x+(y-1)=1与椭圆x+

2

2

2

(y?1)92=1的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_______。

A．线段 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．四边形 112．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=

2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小是______。

A．60° B．75° C．90° D．105°

113．某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示：

货物 甲 乙 托运限制 体积 每箱（米3） 20 10 110 重量 每箱（吨） 10 20 100 利润 每箱（百元） 8 10 在最合理的安排下，获得的最大利润是_________百元。

A．58 B．60 C．62 D．64

??????????114．若向量a+3b垂直于向量7a-5b，并且向量a-4b垂直于向量7a-2b，则向量a与b的夹角为_______。

???? A．； B．； C．； D．.

2346115．复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，

其它班有五位。若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连。问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是______。 A．

120140 B． C．

160 D．

190

332

116．已知sin?，cos?是关于x的方程x-αx+α=0的两个根，这里α∈R。则sin?+cos?=____。

A．-1-2； B．1+2； C．-2+2 D．2-2

z1z22117．设z1，z2为一对共轭复数，如果|z1-z2|=6且为实数，那么|z1|=|z2|=______。

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大学自主招生数学试题

A．2 B．2 C．3 D．6

118．若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是V(x)，则函数V(x)在其定义域上为______。 A．增函数但无最大值 B．增函数且有最大值 C．不是增函数且无最大值 D．不是增函数但有最大值 119．下列正确的不等式是______。

120 A．16

C．20

则limx???nn=_______。

A．0 B．4 C．12 D．100

121．已知x1，x2是方程x2-(α-2)x+(α2+3α+5)=0（α为实数）的两个实根，则x12+x22的最大值为_______。 A．18 B．19 C．20 D．不存在 122．条件甲：1?sin?=α。条件乙：sin?2+cos?2=α。则下列________是正确的。

A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件

C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 123．已知函数?(x)的定义域为（0，1），则函数g(x)= ?(x+c)+?(x-c)在0

12时的定义域为______。

A．(-c,1+c); B．(1-c,c); C．(1+c,-c); D．(c,1-c); 124．函数y=2x+1?2x的最值为______。 A．ymin=? C．ymin=?5454，ymax=

54； B．无最小值，ymax=

54；

，无最大值 D．既无最小值也无最大值

125．等差数列{αn}中，α5<0，α6>0且α6>|α5|，Sn是前n项之和，则下列______是正确的。 A．S1，S2，S3均小于0，而S4，S5，…均大于0

B．S1，S2，…，S5均小于0，而S6，S7，…均大于0 C．S1，S2，…，S9均小于0，而S10，S11，…均大于0 D．S1，S2，…，S10均小于0，而S11，S12，…均大于0

126．已知角θ的顶点在原点，始边为x轴正半轴，而终边经过点Q（?3，y），（y≠0），则角θ的终边所在的象限为______。

A．第一象限或第二象限 B．第二象限或第三象限

C．第三象限或第四象限 D．第四象限或第一象限

127．在平面直角坐标系中，三角形△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(-5,-2),则∠A的平分线所在直线的方程为_______。

A．7x-y-17=0; B．2x+y+3=0; C．5x+y-6=0; D．x-6y=0.

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大学自主招生数学试题

128．对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程??11?Ccos?nm表示的不同双曲线条数为_______。

A．6 B．9 C．12 D．15

129．设有三个函数，第一个是y=?(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数

的图像关于直线x+y=0对称，则第三个函数是_______。 A．y=-?(x)； B．y=-?(-x)； C．y=-?-1(x)； D．y=-?-1(-x)； 130．设?(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当x∈[2，3]时，?(x)=x，则当x∈[-2,0]

时，?(x)的解析式为______。 A．x+4; B．2-x; C．3-|x+1|; D．2+|x+1|.

596059605960

131．已知α,b为实数，满足（α+b）=-1,( α-b)=1,则α+α+b+b=_______。 A．-2 B．-1 C．0 D．1 132．设αn是（2-x）的展开式中x项的系数（n=2,3,4,…），则极限lim(x??n

22?2?23?3?…?2n?n)=_________。

A．15 B．6 C．17 D．8 133．设x1,x2∈（0， (1) (3)

1212?2），且x1≠x2，不等式

x1?x22x1?x22（tanx1+tanx2）>tan（sinx1+sinx2）>sin

; (2) ; (4)

1212（tanx1+tanx2）sin

x1?x22x1?x22;

A．(1),(3) B．(1),(4) C．(2),(3) D．(2),(4)

x?2x?12x?13x?2x?32x?3=0的实根的个数为________。 3x?5134．方程?(x)=2x?23x?3 A．1个 B．2个 C．3个 D．无实根 135．如图所示，半径为r的四分之一的圆ABC上，分别以AB和AC为直径作两

个半圆，分别标有α的阴影部分面积和标有b的阴影部分面积，则这两部分面积α和b有_______。

A．α>b B．α

????????????????????RSabababa136．设,是不共线的两个向量。已知PQ=2+k，QR=+，=2-3b.

若P，Q，S三点共线，则k的值为_______。 A．-1； B．-3； C．?43； D．?

35；

清华大学保送生暨自主招生北京冬令营

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大学自主招生数学试题

数学笔试试题（2006年12月30日）

1.求f(x)?

2.设正三角形T1边长为a，Tn?1是Tn的中点三角形，An为Tn除去Tn?1后剩下三个三角形内切圆面积

nexx的单调区间及极值.

之和.求limn???k?1Ak.

3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.

D 0.94 C 0.95 B 0.95 E 0.94 A 0.90 求：（1）能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率.

4.(1)求三直线x?y?60，y??y??? (2)求方程组?y????x?2x12x12x，y?0所围成三角形上的整点个数；

的整数解个数.

y?60

5.已知A(?1,?1)，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy?1(x?0)一支上. (1)求证B、C关于直线y?x对称； (2)求△ABC的周长.

6.对于集合M?R，称M为开集，当且仅当?P0?M，?r?0，使得

{P?R22PP0?r}?M.判断集合{(x,y)4x?2y?5?0}与{(x,y)x?0,y?0}是否

为开集，并证明你的结论.

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2008北京大学自主招生数学试题 5?121 求证：边长为1的正五边形对角线长为 B1x12xD1-x5E3Axx4C 略解： 三角形ABE∽三角形DAE x11?xx5?125?12?则：x? 对角线AC=1+x= 2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半 第 49 页 共 52 页

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B1CAPC1BA1 略解：如图得证 3 已知 a1?a2?a3?b1?b2?b3a1a2?a2a3?a3a1?b1b2?b2b3?b3b1min(a1,a2,a3)?min(b1,b2,b3)求证：max(a1,a2,a3)?max(b1,b2,b3) 4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分） 解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支 2所有球队总得分为C2x?9?(2x?9)(2x?8)2?(2x?9)(x?4) 南方球队总得分为9(2x?9)(2x?8)102?9(x?9)(x?4)10 北方球队总得分为(2x?9)(x?4)10 南方球队内部比赛总得分Cx?9 2北方球队内部比赛总得分Cx (2x?9)(x?4)10x(x?1)22??0 第 50 页 共 52 页