MATLAB数学实验100例题解

一元函数微分学

实验1 一元函数的图形（基础实验）

实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.

初等函数的图形

2 作出函数y?tanx和y?cotx的图形观察其周期性和变化趋势. 解：程序代码：

>> x=linspace(0,2*pi,600); t=sin(x)./(cos(x)+eps);

plot(x,t);title('tan(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]); 图象：

tan(x)50403020100-10-20-30-40-500123456程序代码：

>> x=linspace(0,2*pi,100); ct=cos(x)./(sin(x)+eps);

plot(x,ct);title('cot(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]); 图象：

cot(x)50403020100-10-20-30-40-500123456

8

4在区间[?1,1]画出函数y?sin1x的图形. 解：程序代码：

>> x=linspace(-1,1,10000);

y=sin(1./x); plot(x,y);

axis([-1,1,-2,2]) 图象：

21.510.50-0.5-1-1.5-2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

二维参数方程作图

6画出参数方程??x(t)?costcos5t的图形：?y(t)?sintcos3t

解：程序代码：

>> t=linspace(0,2*pi,100);

plot(cos(t).*cos(5*t),sin(t).*cos(3*t)); 图象：

10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

9

极坐标方程作图

8 作出极坐标方程为r?et/10的对数螺线的图形. 解：程序代码：

>> t=0:0.01:2*pi; r=exp(t/10);

polar(log(t+eps),log(r+eps)); 图象：

90 0.8120 0.6150 0.4 0.218030600210330240270300分段函数作图

10 作出符号函数y?sgnx的图形. 解：

程序代码：

>> x=linspace(-100,100,10000); y=sign(x); plot(x,y);

axis([-100 100 -2 2]);

21.510.50-0.5-1-1.5-2-10-8-6-4-20246810

10

函数性质的研究

12研究函数f(x)?x5?3ex?log3(3?x)在区间[?2,2]上图形的特征. 解：程序代码：

>> x=linspace(-2,2,10000);

y=x.^5+3*exp(x)+log(3-x)/log(3); plot(x,y); 图象：

6050403020100-10-20-30-40-2-1.5-1-0.500.511.52

实验2 极限与连续（基础实验）

实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Matlab画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.

作散点图

14分别画出坐标为(i,i2),(i2,4i2?i3),(i?1,2,?,10)的散点图, 并画出折线图. 解：散点图程序代码： >> i=1:10; plot(i,i.^2,'.')

100908070605040302010012345678910

或：>> x=1:10;

y=x.^2;

11

for i=1:10; plot(x(i),y(i),'r') hold on end

100908070605040302010012345678910折线图程序代码： >> i=1:10;

plot(i,i.^2,'-x')

100908070605040302010012345678910

程序代码： >> i=1:10;

plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'.')

1400

1200100080060040020000102030405060708090100

12

>> i=1:10;

plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'-x')

14001200100080060040020000102030405060708090100数列极限的概念

16通过动画观察当n??时数列a1n?n2的变化趋势.

解：程序代码： >> n=1:100; an=(n.^2); n=1:100; an=1./(n.^2); n=1:100; an=1./(n.^2); for i=1:100

plot(n(1:i),an(1:i)),axis([0,100,0,1]) pause(0.1) end 图象：

10.90.80.70.60.50.40.30.20.100102030405060708090100

函数的极限

18在区间[?4,4]上作出函数f(x)?x3?9xx3?x的图形, 并研究xlim??f(x) 和 limx?1f(x).

13

x3?9xf(x)?3x?x在区间[?4,4]上的图形 解：作出函数

>> x=-4:0.01:4;

y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x+eps); plot(x,y)

43210-1-2-3-4-4x 1016

-3-2-101234

从图上看，两个重要极限 20计算极限

f(x)在x→1与x→∞时极限为0

x211??(1)lim?xsin?sinx? (2)limx

x???ex?0?xx?tanx?sinx (4)limxx (3)lim3x??0x?0xlncotx (6)limx2lnx (5)limx??0x??0lnx(7)lim3x3?2x2?5sinx?xcosx (8)limx??5x3?2x?1x?0x2sinx1ex?e?x?2x?sinx?1?cosx (10)lim? (9)lim?x?0?x?x?0x?sinx解：（1）>> limit(x*sin(1/x)+1/x*sin(x))

ans =1

(2) >> limit(x^2/exp(x),inf) ans = 0

(3) >> limit((tan(x)-sin(8))/x^3) ans =NaN

(4) >> limit(x^x,x,0,'right') ans =1

(5) >> limit(log(cot(x))/log(x),x,0,'right') ans =-1

(6) >> limit(x^2*log(x),x,0,'right') ans =0 14

(7) >> limit((sin(x)-x.*cos(x))./(x.^2.*sin(x)),x,0) ans =1/3

(8) >> limit((3*x.^3-2*x.^2+5)/(5*x.^3+2*+1),x,inf) ans =3/5

(9) >> limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)./(x-sin(x))) ans =2

(10) >> limit((sin(x)/x).^(1/(1-cos(x)))) ans =exp(-1/3)

实验3 导数（基础实验）

实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用Matlab求导数与高 阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法. 导数概念与导数的几何意义

22作函数f(x)?2x3?3x2?12x?7的图形和在x??1处的切线. 解：作函数f(x)?2x3?3x2?12x?7的图形

程序代码： >> syms x;

>> y=2*x^3+3*x^2-12*x+7; >> diff(y) ans =

6*x^2+6*x-12 >> syms x;

y=2*x^3+3*x^2-12*x+7; >> f=diff(y) f =

6*x^2+6*x-12 >> x=-1;

f1=6*x^2+6*x-12 f1 = -12

>> f2=2*x^3+3*x^2-12*x+7 f2 = 20

>> x=linspace(-10,10,1000);y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7; y2=-12*(x+1)+20; plot(x,y1,'r',x,y2,'g')

25002000150010005000-500-1000-1500-2000-10-8-6-4-20246810

15

求函数的导数与微分

?1?24求函数f(x)?sinaxcosbx的一阶导数. 并求f???.

?a?b?解：求函数f(x)?sinaxcosbx的一阶导数

程序代码： >> syms a b x y;

y= sin(a*x)*cos(b*x); D1=diff(y,x,1) 答案：D1 =

cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b

?1?求f???.

?a?b?程序代码： >> x=1/(a+b);

>> cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b 答案：ans =

cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b 拉格朗日中值定理

26对函数f(x)?x(x?1)(x?2),观察罗尔定理的几何意义. (1) 画出y?f(x)与f?(x)的图形, 并求出x1与x2. 解：程序代码：

>> syms x;

f=x*(x-1)*(x-2); f1=diff(f) f1 =

(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) >> solve(f1) ans =

1+1/3*3^(1/2) 1-1/3*3^(1/2)

>> x=linspace(-10,10,1000); y1=x.*(x-1).*(x-2);

y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); plot(x,y1,x,y2)

10005000-500-1000-1500-10-8-6-4-20246810

16

(2)画出y?f(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线. 程序代码：>> syms x; >> f=x*(x-1)*(x-2); >> f1=diff(f) f1 =

(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) >> solve(f1) ans =

1+1/3*3^(1/2) 1-1/3*3^(1/2)

>> x=linspace(-3,3,1000); >> y1=x.*(x-1).*(x-2);

>> y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); >> plot(x,y1,x,y2) >> hold on

>> x=1+1/3*3^(1/2); >> yx1=x*(x-1)*(x-2) yx1 =

-0.3849

>> x=1-1/3*3^(1/2); >> yx2=x*(x-1)*(x-2) yx2 =

0.3849

x=linspace(-3,3,1000); yx1 =-0.3849*x.^0; yx2 =0.3849*x.^0; plot(x,yx1,x,yx2)

6040200-20-40-60-3-2-1012328求下列函数的导数:

(1) y?e3x?1; 解：程序代码：

>> syms x y; y=exp((x+1)^3); D1=diff(y,1) 答案：D1 =

3*(x+1)^2*exp((x+1)^3)

17

x?(2) y?ln[tan(?)];

24解：程序代码：

>> syms x;

y=log(tan(x/2+pi/4)); D1=diff(y,1) 答案：D1 =

(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)^2)/tan(1/2*x+1/4*pi)

1(3) y?cot2x?lnsinx;

2解：程序代码：

>> syms x;

y=1/2*(cot(x))^2+log(sin(x)); D1=diff(y,1) 答案：D1 =

cot(x)*(-1-cot(x)^2)+cos(x)/sin(x) (4) y?12解：程序代码：

>> syms x;

>> y=sqrt(2)*atan(sqrt(2)/x); >> D1=diff(y,1) 答案：D1 =

-2/x^2/(1+2/x^2)

arctan2. x 一元函数积分学与空间图形的画法

实验4 一元函数积分学(基础实验)

实验目的 掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解

定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力.

不定积分计算

30求x2(1?x3)5dx.

解：程序代码：

>> syms x y;

>> y=x^2*(1-x^3)^5; >> R=int(y,x) 答案：R =

-1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^3

32求x2arctanxdx.

解：程序代码：

>> syms x y;

>> y=x^2*atan(x); >> R=int(y,x) 答案：R =

1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1) 18

??

定积分计算

34 求

?10(x?x2)dx.

解：程序代码：

>> syms x y; >> y=x-x^2;

>> R=int(y,x,0,1) 答案： R =

1/6

变上限积分 36 画出变上限函数?x0tsint2dt及其导函数的图形.

解：程序代码：

>> syms x y t; >> y=t*sin(t^2); >> R=int(y,x,0,x) 答案：R =

t*sin(t^2)*x 再求导函数 程序代码：

>> DR=diff(R,x,1) 答案：DR =

t*sin(t^2)

实验5 空间图形的画法(基础实验)

实验目的 掌握用Matlab绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.

一般二元函数作图

38作出函数z?41?x2?y2的图形. 解：程序代码：

>> x=linspace(-5,5,500); [x,y]=meshgrid(x); z=4./(1+x.^2+y.^2); mesh(x,y,z);

xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')

19

40作出函数z?cos(4x?9y)的图形. 解：程序代码：

>> x=-10:0.1:10;[x,y]=meshgrid(x);z=cos(4*x.^2+9*y.^2); mesh(x,y,z);

xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')

22

讨论：坐标轴选取范围不同时，图形差异很大，对本题尤为明显，如右图为坐标轴[-1，1]

二次曲面

x2y2z2???1的图形.(曲面的参数方程为 149x?secusinv,y?2secucosv,z?3tanu, (??/2?u??/2,0?v?2?.))

解：程序代码：

>> v=0:pi/100:2*pi; >> u=-pi/2:pi/100:pi/2; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=sec(U).*sin(V); >> y=2*sec(U).*cos(V); >> z=3*tan(U); >> surf(x,y,z)

42作出单叶双曲面

20

44 可以证明: 函数z?xy的图形是双曲抛物面. 在区域?2?x?2,?2?y?2上作出它的图形.

解：程序代码：

>> x=-2:0.01:2;[x,y]=meshgrid(x); >> z=x.*y;

>> mesh(x,y,z);

46 画出参数曲面

?x?cosusinv??y?sinusinv?z?cosv?ln(tanv/2?u/5)?解：程序代码：

u?[0,4?],v?[0.001,2] 的图形.

>> v=0.001:0.001:2;

>> u=0:pi/100:4*pi;

>> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=cos(U).*sin(V); >> y=sin(U).*sin(V);

>> z=cos(V)+log(tan(V/2)+U/5); >> mesh(x,y,z);

21

空间曲线

48 作出空间曲线x?tcost,y?tsint,z?2t(0?t?6?)的图形. 解：程序代码：

>> syms t;

ezplot3(t*cos(t),t*sin(t),2*t,[0,6*pi])

x = t cos(t), y = t sin(t), z = 2 t4030z2010020100-10y-20-20-10x10020

?x?cos2t?1?50绘制参数曲线 ?y?的图形.

1?2t??z?arctant?解：程序代码：

>> t=-2*pi:pi/100:2*pi;

x=cos(t).*cos(t);y=1./(1+2*t);z=atan(t); plot3(x,y,z);

grid;xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

22

1.510.5z0-0.5-1-1.5100010.8-1000.60.4y-2000.20x

多元函数微积分

实验6 多元函数微分学（基础实验）

实验目的 掌握利用Matlab计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元

函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.

求多元函数的偏导数与全微分

52设z?sin(xy)?cos2(xy),求

?z?x,?z?y,?2z?2z?x2,?x?y. 解：程序代码：

>> syms x y;

S=sin(x*y)+(cos(x*y))^2; D1=diff(S,'x',1); D2=diff(S,'y',1); D3=diff(S,'x',2); D4=diff(S,'y',2); D1,D2,D3,D4

答案： D1 = cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y

D2 = cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x

D3 =-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2 D4 = -sin(x*y)*x^2+2*sin(x*y)^2*x^2-2*cos(x*y)^2*x^2

实验7 多元函数积分学（基础实验）

实验目的

掌握用Matlab计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.

计算重积分

54计算

??xy2dxdy, 其中D为由x?y?2,x?y, y?2所围成的有界区域.

D解：程序代码：

23

>> syms x y;

int(int(x*y^2,x,2-y,sqrt(y)),y,1,2) 答案：ans =

193/120 重积分的应用

56求旋转抛物面z?4?x2?y2在Oxy平面上部的面积S. 解：程序代码：

>> int(2*pi*r,r,0,2) 答案： ans =

4*pi

无穷级数与微分方程

实验8 无穷级数（基础实验） 实验目的

观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用Matlab求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法.

数项级数

58(1) 观察级数

?nn?1?12的部分和序列的变化趋势.

解：程序代码：

for i=1:100 s=0; for n=1:i s=s+1/n^2; end

plot(i,s,'.');hold on; end

1.81.71.61.51.41.31.21.110102030405060708090100(2) 观察级数

24

?n的部分和序列的变化趋势.

n?1?

1>> for i=1:100 s=0; for n=1:i s=s+1/n; end

plot(i,s,'.'); hold on; end

5.554.543.532.521.510102030405060708090100

?60 求

?12n?14n?8n?3的值.

解：程序代码：

>> syms n;

score=symsum(1/(4*n^2+8*n+3),1,inf) 答案： score =

1/6

函数的幂级数展开

62求arctanx的5阶泰勒展开式. >> syms x;

>> T5=taylor(atan(x),6) 答案：T5 =

x-1/3*x^3+1/5*x^5

实验9 微分方程（基础实验）

实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Matlab求微分方程及方程组解的常用命令和方法.

求解微分方程

64求微分方程 y??2xy?xe?x2的通解. 解：程序代码：

>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') 答案：y =

(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)

66求微分方程y???2y??5y?excos2x的通解.

25

解：程序代码：

>> y=dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*cos(2*x)','x') 答案： y =

exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1+1/4*exp(x)*sin(2*x)*x

?dxt?dt?x?2y?e68求微分方程组?在初始条件xt?0?1,yt?0?0下的特解.

dy??x?y?0??dt解：程序代码：

>> [x,y]=dsolve('Dx+x+2*y-exp(t)','Dy-x-y','x(0)=1','y(0)=0','t') 答案： x = cos(t)

y = 1/2*sin(t)-1/2*cos(t)+1/2*exp(t)

70求解微分方程解：程序代码：

>> syms x y

y=dsolve('Dy-2*y/(x+1)-(x+1)^(5/2)','x') 答案：y =

(2/3*(x+1)^(3/2)+C1)*(x+1)^2 做积分曲线 由>> syms x y

x=linspace(-5,5,100); C=input('请输入C的值:'); y=(2/3*(x+1).^(3/2)+C).*(x+1).^2; plot(x,y)

4504001000350300250600200150100200500-50-54008001200dy2y??(x?1)5/2,并作出积分曲线. dxx?1-4-3-2-1012345-4-3-2-1012345

例如对应有： 请输入C的值:2 请输入C的值:20

矩阵运算与方程组求解

26

实验10 行列式与矩阵

实验目的

掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Matlab对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.

矩阵A的转置函数Transpose[A]

??172?72 求矩阵?342????563?的转置. ??114???解：程序代码：

>> A=[1,7,2;3,4,2;5,6,3;1,1,4]; >> Sove=A' 答案：Sove =

1 3 5 1 7 4 6 1 2 2 3 4 矩阵线性运算 73设A??345????426???,B???427???192???,求A?B,4B?2A. 解：程序代码：

>> A=[3,4,5;4,2,6]; B=[4,2,7;1,9,2]; S1=A+B S2=4*B-2*A 答案：S1 =

7 6 12 5 11 8 S2 =

10 0 18 -4 32 -4

?427?74设ma???3452???,mb??192????4263????035?,求矩阵ma与mb的乘积. ??841???

27

>> syms t;

A=[3 0 0;1 t 3;1 2 3]; E=eye(size(A)); T=t*E-A; det(T) ans = -6*t+18

>> t=solve('-6*t+18=0','t') t = 3

矩阵的相似变换

?411???100设矩阵A??222?,求一可逆矩阵P,使P?1AP为对角矩阵.

?222???解：程序代码：

>> A=[4 1 1;2 2 2;2 2 2]; [p,j]=jordan(A) p =

0 -0.7500 -0.2500 -0.5000 0.7500 -0.2500 0.5000 0.7500 -0.2500 j =

0 0 0 0 2 0 0 0 6

?10?101 方阵A???21??是否与对角阵相似?

????200???100?????102 已知方阵A??2x2?与B??020?相似, 求x,y.

?311??00y?????解：程序代码：1 求特征值

>> syms x y;

A=[-2 0 0;2 x 2;3 1 1];B=[-1 0 0;0 2 0;0 0 y]; a=eig(A),b=eig(B) a =

38

-2 1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2) 1/2*x+1/2-1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2) b = -1 2 y 显然y=-2

一．试 >> x=solve('1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)=-1','x')

x = -.14512471659790292029357728479344e90 再验证另一个特征值

>> 1/2*x+1/2-1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2) ans =

-.14512471659790292029357728479344e90 不合题 二．试 >> x=solve('1/2*x+1/2-1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)=-1','x')

得：x =0 再验证另一个特征值

>> 1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)

ans =1/2+1/2*9^(1/2) >> simplify (ans)

ans=2 合题

即x =0 y=-2

104 求一个正交变换,化二次型f?2x1x2?2x1x3?2x2x3?2x24为标准型.

解：该二次型所对应的矩阵是

程序代码：

：>> A=[0,1,1,0;1,0,1,0;1,1,0,0;0,0,0,2];

>> [P,T]=schur(A)

得P = -0.7152 0.3938 0.5774 0

0.0166 -0.8163 0.5774 0

39

0.6987 0.4225 0.5774 0 0 0 0 1.0000 T = -1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 所以二次型的标准型为

40

f=-

解：程序代码：

>> ma=[3,4,5,2;4,2,6,3]; >> mb=[4,2,7;1,9,2;0,3,5;8,4,1]; >> Sove=ma*mb 答案：Sove =

32 65 56 42 56 65 矩阵的乘法运算

?427??1?????75设A??192?,B??0?,求AB与BTA,并求A3.

?035??1?????解：程序代码：

>> A=[4 2 7;1 9 2;0 3 5]; B=[1;0;1]; >> AB=A*B AB = 11 3 5 >> BTA=B'*A BTA =

4 5 12 >> A3=A^3 A3 =

119 660 555 141 932 444 54 477 260 求方阵的逆 ?2??576 设A??0??3?132??233?,求A?1. ?146?215??解：程序代码：

>> A=[2,1,3,2;5,2,3,3;0,1,4,6;3,2,1,5];

28

Y=inv(A) 答案：Y =

-1.7500 1.3125 0.5000 -0.6875 5.5000 -3.6250 -2.0000 2.3750 0.5000 -0.1250 0.0000 -0.1250 -1.2500 0.6875 0.5000 -0.3125 ??3044??02?77 设A??2133???33????1534?,B??713?,求A?1B. ?215??13?1?????122???解：程序代码：

>> A=[3 0 4 4 ;2 1 3 3 ;1 5 3 4;1 2 1 5]; B=[0 3 2 ;7 1 3;1 3 3 ;1 2 2]; Solve=A'*B 答案：Solve =

16 16 17 14 20 22 25 26 28 30 37 39

?3x?2y?z?7,78 解方程组??x?y?3z?6,

??2x?4y?4z??2.解：程序代码：

>> A=[3 2 1;1 -1 3;2 4 -4]; b=[7 6 -2]; >> A\\b' 答案：ans =

1.0000 1.0000 2.0000 求方阵的行列式

31?1279 求行列式 D??513?4201?1.

1?53?3 29

解：程序代码：

>> A=[3,1,-1,2;-5,1,3,-4;2,0,1,-1;1,-5,3,-3]; D=det(A) 答案：D =

40

a2?b2?1a21b21c21d2abcd1a1b1c1d11. 1180求D?c?d2?2解：程序代码：

>> syms a b c d;

D=[a^2+1/a^2 a 1/a 1;b^2+1/b^2 b 1/b 1;c^2+1/c^2 c 1/c 1;d^2+1/d^2 d 1/d 1]; det(D) 答案：ans =

-(-c*d^2*b^3+c^2*d*b^3-c^3*d^2*a+c^3*d*a^2*b^4+c*d^2*a^3-c^3*d^2*a*b^4-c^2*d*a^3-c*d^2*b^3*a^4+c^2*d*b^3*a^4+c^3*d^2*b*a^4-c^3*d*b^2*a^4-c^2*d^3*b*a^4+c*d^3*b^2*a^4+c*d^2*a^3*b^4-c^2*d*a^3*b^4+c^3*d^2*b-c^3*d*b^2-c^2*d^3*b+c*d^3*b^2+c^3*d*a^2+c^2*d^3*a-c*d^3*a^2-b*d^2*a^3+b^2*d*a^3+b^3*d^2*a-b^3*d*a^2-b^2*d^3*a+b*d^3*a^2+b*c^2*a^3-b^2*c*a^3-b^3*c^2*a+b^3*c*a^2+b^2*c^3*a-b*c^3*a^2+c^2*d^3*a*b^4-c*d^3*a^2*b^4-b*d^2*a^3*c^4+b^2*d*a^3*c^4+b^3*d^2*a*c^4-b^3*d*a^2*c^4-b^2*d^3*a*c^4+b*d^3*a^2*c^4+b*c^2*a^3*d^4-b^2*c*a^3*d^4-b^3*c^2*a*d^4+b^3*c*a^2*d^4+b^2*c^3*a*d^4-b*c^3*a^2*d^4)/a^2/c^2/d^2/b^2

1x1281 计算范德蒙行列式x13x14x11x22x23x24x21x32x33x34x31x42x43x44x41x52. x53x54x5解：程序代码：

>> syms x1 x2 x3 x4 x5;

>> A=[1,1,1,1,1;x1,x2,x3,x4,x5;x1^2,x2^2,x3^2,x4^2,x5^2; x1^3,x2^3,x3^3,x4^3,x5^3;x1^4,x2^4,x3^4,x4^4,x5^4]; >> DC=det(A); >> DS=simple(DC) 30

答案：DS =

(-x5+x4)*(x3-x5)*(x3-x4)*(-x5+x2)*(x2-x4)*(x2-x3)*(-x5+x1)*(x1-x4)*(x1-x3)*(x1-x2) ??3726?4??79420??82 设矩阵 A???115?693?, 求|A|,tr(A),A3. ??27?837???5790?6??解：程序代码：

>> A=[3,7,2,6,-4;7,9,4,2,0;11,5,-6,9,3;2,7,-8,3,7;5,7,9,0,-6]; >> D=det(A),T=trace(A),A3=A^3 答案：D =

11592 T = 3 A3=

726 2062 944 294 1848 3150 26 1516 1713 2218 31 1006 1743 984 -451 1222 801 2666 477 745 向量的内积

83 求向量u?{1,2,3}与v?{1,?1,0}的内积. 解：程序代码：

>> u=[1 2 3]; v=[1 -1 0]; solve=dot(u,v) 答案：solve =

-1

??10?84设A???0?1??,求A10.一般地Ak?? (k是正整数).

??00???解：程序代码：

>> syms r;

>> A=[r,1,0;0,r,1;0,0,r]; >> A^10

-358 228 404 384 -125 31

答案：ans =

[ r^10, 10*r^9, 45*r^8] [ 0, r^10, 10*r^9] [ 0, 0, r^10]

1111??1?a??11?a111???85.求111?a11?的逆. ???1111?a1???1111?a??1解：程序代码：

>> syms a

A=[1+a,1,1,1,1;1,1+a,1,1,1;1,1,1+a,1,1;1,1,1,1+a,1;1,1,1,1,1+a]; solve=inv(A) 答案：solve =

[ 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5)]

实验11 矩阵的秩与向量组的极大无关组

实验目的 学习利用Matlab求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组. 求矩阵的秩

?32?1?3?2???86 设M??2?131?3?, 求矩阵M的秩.

?705?1?8???解：程序代码：

>> M=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]; R=rank(M) 答案：R=

2 向量组的秩

87求向量组?1?(1,2,?1,1),?3?(0,?4,5,?2),?2?(2,0,3,0)的秩. 解：程序代码：

>> A=[1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0]; R=rank(A)

32

答案：R =

2

88向量组?1?(1,1,2,3),?2?(1,?1,1,1),?3?(1,3,4,5),?4?(3,1,5,7)是否线性相关? 解：由>> A=[1 1 2 3;1 -1 1 1;1 3 4 5;3 1 5 7];

rank(A) ans = 3

即rank(A)=3 小于阶数4

89向量组?1?(2,2,7),?2?(3,?1,2),?3?(1,1,3)是否线性相关? 解：由>> A3=[2,2,7;3,-1,2;1,1,3];

R=rank(A3) 得 R = 3

即rank(A3)=3 等于阶数3 故向量组线性无关。 向量组的极大无关组 90求向量组

?1?(1,?1,2,4),?2?(0,3,1,2),?3?(3,0,7,14),?4?(1,?1,2,0),?5?(2,1,5,0)的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示. 解：程序代码：

>> A=[1,-1,2,4;0,3,1,2;3,0,7,14;1,-1,2,0;2,1,5,0]';

[R,b]=rref(A) 答案：R =

1.0000 0 3.0000 0 -0.5000 0 1.0000 1.0000 0 1.0000 0 0 0 1.0000 2.5000 0 0 0 0 0 b =

1 2 4 >> A(:,b)

极大无关相量组ans =

1 0 1 -1 3 -1 2 1 2 4 2 0

即?1，?2，?4为所求的极大无关向量组

33

?3＝3?1＋?2

?5＝-0.5?1＋?2＋2.5?4

向量组的等价 91设向量

?1?(2,1,?1,3),?2?(3,?2,1,?2),?1?(?5,8,?5,12),?2?(4,?5,3,?7),

求证:向量组?1,?2与?1,?2等价. 解：程序代码：

>> A=[2,1,-1,3;3,-2,1,-2;-5,8,-5,12;4,-5,3,-7]'; [R,jb]=rref(A) R =

1 0 2 -1 0 1 -3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 jb =

1 2

?1= 2?1-3?2 ?2= -?1+2?2

即任何由

?1与?2表示的向量都能用?1与?2表示，两组等价

实验12 线性方程组

实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Matlab命令求各类线性方程 组的解. 理解计算机求解的实用意义.

?x1?x2?2x3?x4?0,??3x1?x2?x3?2x4?0,92求解线性方程组?

5x?7x?3x?0,234??2x1?3x2?5x3?x4?0.?解：程序代码：

>> A=[1,1,-2,-1;3,-1,-1,2;0,5,7,3;2,-3,-5,-1]; >> B=[0,0,0,0]; >> X=A\\B' 答案：X = 34

0 0 0 0

非齐次线性方程组的特解

??x1?x2?2x3?x4?493 求线性方程组??3x1?2x2?x3?2x4?2 的特解.

?5x2?7x3?3x4??2??2x1?3x2?5x3?x4?4非齐次线性方程组的通解 ??x1?x2?2x3?x4?194解方程组??2x1?x2?x3?2x4?3x

?1?x3?x4?2??3x1?x2?3x4?5解：程序代码：

>> A=[1,-1,2,1;2,-1,1,2;1,0,-1,1;3,-1,0,3]; b=[1;3;2;5]; B=[A b]; r1=rank(A); r2=rank(B);

if r1==r2 R=rref(B) end 答案：R =

1 0 -1 1 2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 即

x1=2+x3-

x4

x2=1+3

x3

令(

x3,

x4)=(0,1)’ 与(1,0)’

得特解y*=(2，4，1，1)’

故通解为y=(2，4，1，1)’+a(1,1,0,1)’+b(3,4,1,0)’

35

矩阵的特征值与特征向量

实验13 求矩阵的特征值与特征向量

实验目的

学习利用Matlab命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.

求方阵的特征值与特征向量.

??102???95求矩阵A??12?1?.的特征值与特值向量.

?130???解：程序代码：

>> A=[-1,0,2;1,2,-1;1,3,0]; [V,D]=eig(A) 答案：V =

0.9487 0.7071 - 0.0000i 0.7071 + 0.0000i -0.3162 -0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000 0.7071 0.7071 D =

-1.0000 0 0 0 1.0000 + 0.0000i 0 0 0 1.0000 - 0.0000i

?234???96求矩阵A??345?的特征值与特征向量.

?456???解：程序代码：

>> A=[2,3,4;3,4,5;4,5,6]; [V,D]=eig(A) 答案：V =

0.8051 0.4082 0.4304 0.1112 -0.8165 0.5665 -0.5827 0.4082 0.7027 D =

-0.4807 0 0 0 0.0000 0 36

0 0 12.4807

?123?97 求方阵M???213??的特征值和特征向量.

??336??解：程序代码：

>> A=[1 2 3; 2 1 3;3 3 6]; [V,D]=eig(A) 答案：V =

0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 0.4082 0 -0.5774 0.8165 D =

-1.0000 0 0 0 -0.0000 0 0 0 9.0000

?1/3198求矩阵A??/3?1/2??1/51?1/3??的特征值和特征向量的近似值.

??61?2??解：程序代码：

>> A=[1/3,1/3,-1/2;1/5,1,-1/3;6,1,-2]; >> [S,R]=eig(A) 答案：S =

0.1799 + 0.1922i 0.1799 - 0.1922i -0.0872 0.1161 + 0.0625i 0.1161 - 0.0625i -0.8668 0.9557 0.9557 -0.4910 R =

-0.7490 + 1.2719i 0 0 0 -0.7490 - 1.2719i 0 0 0 0.8313

?300?99已知2是方阵A???1t3??的特征值,求t.

??123??解：程序代码：

37

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/59s2.html