辽宁省抚顺市2020届高三二模考试数学(理)试题 Word版含解析

- 1 - 2020年420模拟考试

数学试卷（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =--<，则A B =（ ）．

A. {}12x x -<<

B. 1,0,1,2

C. {}0,1,2

D. {}0,1 【答案】D

【解析】

【分析】 由一元二次不等式的解法可得{}12B x x =-<<，从而可求出A B 【详解】解：依题意得{}12B x x =-<<，则{}0,1A

B =．

故选:D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集运算.本题的关键是对集合B 进行化简.

2.若复数z 满足()2i 5i z +=，则z =（ ）．

A. 12i -

B. 12i +

C. 12i --

D. 12i -+ 【答案】B

【解析】

【分析】

由题意知5i 2i

z =+，根据复数的除法运算，可选择正确答案. 【详解】解：因为()2i 5i z +=，所以()()225i 2i 5i i 2i 12i 2i 2i z -=

==-=++-． 故选:B.

【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算.本题的易错点是误把2i 当成1进

- 1 - 行了计算.

3.已知向量(2,23a =，()3,1b =，则向量a ，b 的夹角为（ ）． A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6

【答案】A

【解析】

【分析】 由向量的坐标可求出向量的数量积43a b ?=，4a =，2b =，进而可求出向量夹角的余弦值，从而可求出向量的夹角.

【详解】解：因为(2,23a =，(

)3,1b =，

则23a b ?=+=，(224a =+=， (212b =+=

，则43cos ,422a b

a b a b ?=

==?，则向量a ，b 的夹角为π6． 故选:A. 【点睛】本题考查了向量的数量积的求解，考查了向量模的求解，考查了向量夹角的求解.本题的关键是由坐标求数量积和向量的模.

4.已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（ ）

A. b c a <<

B. b a c <<

C. a c b <<

D. a b c <<

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较,,a b c 的大小.

【详解】∵3331log log 5lo 392g =<<=，0.2031-<<， 1.233>，

∴b a c <<.

故选：B.

【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.

- 1 - 5.已知角α

的终边上有一点()P ，则3πsin 22α??+

= ???（ ）． A. 13- B. 79- C. 13 D. 79 【答案】C

【解析】

【分析】

由角终边上点的坐标，可求

出cos 3

α=-，结合诱导公式和二倍角公式，可求出3πsin 22α??+ ??

?的值. 【详解】解：由题意

知cos α==，则

23π1sin 2cos 212cos 23ααα??+=-=-= ??

?． 故选:C.

【点睛】本题考查了三角函数值的求解，考查了诱导公式，考查了二倍角公式.本题的易错点

是计算.一般地，若已知角α终边上一点坐标(),P x y ，

则由sin cos tan y x ααα?=????=????=??

可求三角函数值.

6.下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误．．

的是（ ）

- 1 -

A. 甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数

B. 甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数

C. 甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同

D. 甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差

【答案】B

【解析】

【分析】

通过雷达图分别求出甲、乙轮胎宽度的平均数、众数中位数和极差，对照选项选出错误的答案.

【详解】由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差是3； 乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差是5；

则A ，C ，D 正确，B 错误.

故选：B.

【点睛】本题考查用雷达图计算平均数、众数中位数和极差，需注意甲、乙数据不要搞混，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.

7.函数2()1cos 1x f x x e ?

?=- ?-??

的部分图象大致为（ ）

- 1 - A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取值判断. 【详解】

()21222()1cos()1cos cos 1cos 1111x x x x x x e e f x x x x x e e e e ---??????-=--=-==-- ? ? ?----??????

即()()f x f x -=-，

所以()f x 是奇函数，排除A ，B ；

当02x π

<<时，2101x e

-->-，cos 0x >，则()0f x >，排除C. 故选：D.

【点睛】本题考查利用函数解析式判断函数图像，考查理解辨析能力和推理论证能力，是基础题.

8.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知8+=b c ，

()sin 3sin sin b B C c C a A +=，则ABC 的面积的最大值是（ ）．

A. 4

B. 3

C. 8

D. 83【答案】A

【解析】

【分析】 由()

sin 3sin sin b B C c C a A +=，结合正弦定理进行边角互化、余弦定理，可求出1sin 2A =

，由基本不等式可知16bc ≤，从而可求出面积的最大值.

- 1 - 【详解】解：因为()

sin 3sin sin sin b B C c C a A -+=，所以2223b bc c a -+=， 即222

3b c a bc +-=，所以2223cos 2b c a A bc +-==，则1sin 2A =． 因为8+=b c ，所以2162b c bc +??≤= ???

（当且仅当4b c ==时，等号成立）， 故ABC 的面积111sin 164222

S bc A =

≤??=． 故选:A.

【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了基本不等式.本题的关键是由已知条件，求出sin A 的值.本题的难点是8+=b c 这一条件的应用.

9.如图，P ，Q 是函数()cos()(0,0,0)f x A x A ω?ωπ?=+>>-<<的图象与x 轴的两个相邻交点，(1,2)M 是函数()f x 的图象的一个最高点，若MPQ 是等腰直角三角形，则函数()f x 的解析式是（ ）

A. ()2cos 2

4f x x ππ??=- ??? B. ()2cos 44f x x ππ??=- ??? C. ()2cos 22f x x ππ??=-

??? D. ()2cos 4

2f x x ππ??=- ??? 【答案】B

【解析】

【分析】 通过(1,2)M ，MPQ 是等腰直角三角形，可得||PQ 长度，从而求出周期T ，由T 可得ω得值，再将(1,2)M 代入()f x 计算?的值，最后可得()f x 的解析式.

【详解】由题意可得2A =，

因为MPQ 是等腰直角三角，所以||4PQ =，所以

42T =，即8T =

- 1 - 则24T ππω==，故()2cos 4f x x π???=+ ???

， 将(1,2)M 代入()f x 的解析式得2cos 24π???+= ???

， 可得24k π

?π+=()k ∈Z ， 解得24k π?π=-

+()k ∈Z ， 因为||2?π<，所以4π?=-，则()2cos 4

4f x x ππ??=- ???. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数识图求解析式，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.

10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π 3.1415926=，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“3a b -≤”的概率为（ ）． A. 35 B. 815 C. 23 D. 715

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，结合排列组合的思想可算出从中取两个数字总的情况数量，用列举法可知满足3a b -≤的情况数量，从而可求出概率. 【详解】解：由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，共六个，无重复数字. 从中任取两个数字共有2615C =种情况，其中符合条件的有 ()()()()()()()()4,1,4,5,4,2,4,6,1,2,5,2,5,6,9,6 ，共8种．故所求概率815P =． 故选:B.

【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，考查了组合数的计算.对于古典概型问题，一般用列举法写出所有的基本事件，但是有时结合排列组合的思想会大大减少做题时间.

- 1 - 11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的

外接圆的圆心在线段AC 上．若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（ ）．

A. 164π

B. 96π

C. 84π

D. 36π

【答案】D

【解析】

【分析】 由题意先求出底面四边形ABCD 的面积，结合柱体的体积，可求出14AA =，从而可求出四棱柱外接球的半径，即可求球的表面积.

【详解】解：由题意可得ABC 和ACD 都是以AC 为斜边的直角三角形，

因为24AB BC ==

，所以AC =AD CD =

，所以AD CD == 所以四边形ABCD

的面积1142922

S =??+=． 因为四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则1AA S V ?=，即所以13649AA ==，

所以该四棱柱的外接球的半径3R ===，

故该四棱柱的外接球的表面积为24π36πR =．

故选:D.

【点睛】本题考查了柱体体积的计算，考查了外接球问题，考查了球表面积的求解.本题的关键是求出球的半径. 12.已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的虚轴的一个顶点为()0,1N ，左顶点为M ，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为线段MN 上的动点，当12

PF PF ?取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，若212S S =，则双曲线C 的离心率为（ ）．

B.

C.

D. 【答案】A

【解析】

- 1 - 【分析】

设直线MN 所在直线的方程为11y x a =+，设,m a P m a +?? ??

?，()1,0F c -，()2,0F c ，则可得1,m a PF c m a +??=--- ???，2,m a PF c m a +??=-- ???

，从而可求出两向量的数量积的表达式()224

12212a m am a PF PF a ++-?=，由二次函数的性质可求出当21

a m a =-+时，12PF PF ?取得最小值，从而可求2121

a c S a =+；当01a <≤时，12PF PF ?在0m =处取得最大值，此时，2S c =，由212S S =可求出1a =，进而可求离心率的值.

【详解】解：由题意可知(),0M a -，1b =，则直线MN 所在直线的方程为11y x a =+， 因为点P 在线段MN 上，可设,m a P m a +?

? ???

，其中(],0m a ∈-． 设双曲线C 的焦距为2c ，则221c a =+，()1,0F c -，()2,0F c ， 从而1,m a PF c m a +?

?=--- ???，2,m a PF c m a +??=-- ???

， 故()22422221222122a m am a m am a PF PF m c a a

++-++?=-+=． 因为(],0m a ∈-，所以当21

a m a =-+时，12PF PF ?取得最小值， 此时，21221121211a a c S c a a a ????=?-+= ???++?

???． 当212

a a a -

>-+，即1a >时，12PF PF ?无最大值，所以1a >不符合题意； 当212a a a -≤-+，即01a <≤时，12PF PF ?在0m =处取得最大值，此时，2S c =， 因为212S S =，所以2

221

ca c a =?+，解得1a =，符合题意． 综上，1a =，1b =

，c =

C

的离心率c e a

== 故选:A.

- 1 - 【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了向量的数量积，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了二次函数的最值问题.本题的难点在于分析出何时数量积取最值.本题的易错点在于计算.

第Ⅱ卷

二、填空题：将答案填在答题卡中的横线上．

13.已知点()1,2在抛物线2

2y px =上，则该抛物线的焦点坐标为______． 【答案】()1,0

【解析】

【分析】

由()1,2在抛物线上，代入抛物线方程可求出2p =，进而可求出焦点的坐标.

【详解】解：由题意可得24p =，解得2p =，故该抛物线的焦点坐标为()1,0． 故答案为: ()1,0.

【点睛】本题考查了抛物线方程的求解，考查了抛物线焦点坐标的求解.

14.若实数x ，y 满足约束条件2022033x y x y x y -+≥??+-≥??-≤?

，则3z x y =-的最小值为__________.

【答案】11-

【解析】

【分析】

根据不等式组作出可行域，结合可行域求目标函数最值.

【详解】如图，可行域为图中阴影部分，

- 1 -

目标函数3z x y =-在点59,22A ?? ???

处取得最小值，5931122z =-?=-. 故答案为：11-. 【点睛】本题考查线性规划求目标函数最值，考查运算求解能力和数形结合思想，是基础题.

15.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是______．

【答案】27π

【解析】

【分析】

设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ，由题意两个条件可列出关于两个未知数的方程组，进而可求出3r h ==，即可求圆柱的体积.

【详解】解：设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ．由题意可得()22π12π2π22218rh r rh r h ?=?+??+=?

，解得

3r h ==，

则该圆柱的体积是2π27πr h =．

故答案为:27π.

【点睛】本题考查了圆柱体积的求解，考查了圆柱的侧面积.本题的关键是求出圆柱底面圆的半径和高.本题的难点在于轴截面的周长这一条件的理解.

16.若对任意实数(],1x ∈-∞，2211x x ax e

-+≥恒成立，则a =______．

- 1 - 【答案】12

-

【解析】

【分析】 设()()2211x x ax f x x e

-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e

++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥.从而可确定()0g t =，即可求出a 的值.

【详解】解：设()()2211x x ax f x x e -+=≤，则()()()121x x x a f x e

--+????'=． 当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减，

故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102

e a ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()

f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min 21f x f a =+．因为2211x x ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e

++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式

21221a a e ++≥可转化为10t e t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1t g t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，

则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥.因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-

． 故答案为: 12

-. 【点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10t

g t e t =--≤恒成立.本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题

- 1 - 17.在数列{}n a 中，11a =，23a =，11320n n n a a a +--+=（n +∈N 且2n ≥）.

（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；

（2）求数列{}n a 的通项公式.

【答案】（1）见解析；（2）21n n a =-.

【解析】

【分析】

（1）利用定义法证明数列{}1n n a a +-是等比数列；

（2）结合数列{}1n n a a +-的通项公式，利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式.

【详解】（1）证明：∵11320n n n a a a +--+=，

∴()112n n n n a a a a +--=-，

又11a =，23a =，2120a a ∴-=≠； ∴11

2n n n n a a a a +--=-（n +∈N ，且2n ≥）， 故数列{}1n n a a +-是首项和公比都是2的等比数列；

（2）解：由（1）可得12n n n a a +-=，

则112n n n a a ---=（n +∈N ，且2n ≥），

故()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+…

12322221n n n ---=+++++…

122112

n

n -==--（n +∈N ，且2n ≥）， 当1n =时，1a 1=满足上式，

∴21n n a =-.

【点睛】本题考查了等比数列的证明方法——定义法，等比数列通项公式，累加法求求通项公式，特别是累加法求通项要验证首项，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.

18.某中学有教师400人，其中高中教师240人．为了了解该校教师每天课外锻炼时间，现利

- 1 - 用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调查，统计其每天课外锻炼时间（所有教师每天课外锻炼时间均在[]0,60分钟内），将统计数据按[)0,10，[)10,20，[)20,30，…，[]50,60分成6组，制成频率分布直方图如下：假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立，并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼．

（1）试估计本校教师中缺乏锻炼的人数；

（2）从全市高中教师中随机抽取3人，若X 表示每天课外锻炼时间少于10分钟的人数，以这60名高中教师每天课外锻炼时间的频率代替每名高中教师每天课外锻炼时间发生的概率，求随机变量X 的分布列与数学期望．

【答案】（1）176（2）见解析，

310

【解析】

【分析】

（1）由频率分布直方图，分别算出初中、高中教师缺乏锻炼的频率，即可计算该校教师中缺乏锻炼的人数； （2）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，且13,10X B ??~ ???

，分别计算出 ()72901000P X ==，()24311000P X ==，()2721000P X ==，()131000

P X ==，从而可得分布列和数学期望. 【详解】解：（1）由题意可得样本中初中教师缺乏锻炼的频率为()0.0150.020100.35+?=， 样本中高中教师缺乏锻炼的频率为()0.0100.040100.5+?=，

估计该校教师中缺乏锻炼的人数为1600.352400.556120176?+?=+=．

（2）由题意可知高中教师每天课外锻炼时间少于10分钟的频率为0.010100.1?=， 所以高中教师每天课外锻炼时间少于10分钟的概率为110

． X 的可能取值为0，1，2，3，且13,

10X B ??~ ???，

- 1 - 则()20397290101000P

X C ??==?= ???，()2

1319243110101000P X C ??==??= ???， ()2231927210101000P X C ??==??= ???，()333113101000P X C ??==?= ???． X

0 1 2 3 P

7291000 2431000 271000 11000

故72924327130123100010001000100010

EX =?+?+?+?=． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望.本题第二问的关键是分析出13,10X B ??~ ???

.求离散型随机变量分布列的问题时，一般先写出变量的可能取值，然后分别计算每种情况下的概率，即可得到分布列.可借助分布列中概率之和为1来检查分布列是否正确.

19.在梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，ABC 是等腰直角三角形，其中BC 为斜边，若把ACD 沿AC 边折叠到ACP △的位置，使平面PAC ⊥平面ABC ．

（1）证明：AB PA ⊥．

（2）若E 为棱BC 的中点，求二面角B PA E --的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）

306

- 1 - 【解析】

【分析】

（1）由面面垂直，可知AB ⊥平面PAC ，进而可证AB PA ⊥.

（2）A 为坐标原点，AB ，AC 分别为x ，y 轴的正方向，过点A 平行于PC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设1PC =，即可得()2,0,0AB =，()0,1,1AP =，()1,1,0AE =，从而可求出平面PAB 的法向量()0,1,2n =-，平面PAE 的法向量()1,1,2m =-，进而可求二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：因为ABC 是等腰直角三角形，BC 为斜边，所以AB AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC

平面ABC AC =，所以AB ⊥平面PAC ．

因为PA ?平面PAC ，所以AB PA ⊥． （2）解：由（1）知AB AC ⊥，PC ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点， AB ，AC 分别为x ，y 轴的正方向，过点A 平行于PC 的直线为z 轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．

设1PC =，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,2,1P ，()1,1,0E ，

故()2,0,0AB =，()0,2,1AP =，()1,1,0AE =．

设平面PAB 的法向量()111,,n x y z =，则1112020n AB x n AP y z ??==???=+=??

， 令11y =，得()0,1,2n =-．

设平面PAE 的法向量()222,,m x y z =，则2222020

m AE x y m AP y z ??=+=???=+=??， 令21x =，得()1,1,2m =-，则530cos ,56

m n -==-?

- 1 - 由图可知二面角B PA E --为锐角，故二面角B PA E --

【点睛】本题考查了线线垂直的判定，考查了面面垂直的性质，考查了二面角.证明线线垂直时，可利用等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的临边、菱形的对边、线面垂直的性质证明.求二面角的相关问题时，可找到二面角，结合解三角形的知识求解，也可建立空间直角坐标系，结合空间向量求解.

20.已知函数()()sin x f x x ae a =-∈R ．

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；

（2）讨论()f x 在区间ππ,2??-????

上的零点个数． 【答案】（1）20x y ++=．（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）求出()cos 2x

f x x e '=-，从而可知切线的斜率()01f '=-，由直线的点斜式可求切线方程.

（2）设()sin ππ2x x g x x e ??=-≤≤ ???

，通过导数可探究单调性，再结合()π0g -=，3π04g ??-< ???，π04g ??> ???，π02g ??> ???，可得()g x

函数图像，通过讨论当3π42

a <-

或π42a e ->

，当3π42a e =-

或π42a -=或π20a e -<<

，当3π402

e a -<≤

或ππ24e a --≤<时，结合函数图像，可求零点个数. 【详解】解：（1）因为2a =，所以()sin 2x f x x e =-，所以()cos 2x f x x e '=-，

所以()0022f =-=-，()0121f '=-=-，则2y x +=-，故切线方程为20x y ++=．

（2）令()sin 0x f x x ae =-=，得sin x

x a e =，设()sin ππ2x x g x x e ??=-≤≤ ???，

- 1 - 则()cos sin ππ2x x x g x x e -??'=-≤≤ ??

?，由0x e > 恒成立， 令()0g x '>，得3ππ44x -<<；令()0g x '<，得3ππ4x -≤<-或ππ42x <≤， 则()g x 在3ππ,4?

?--????和ππ,42?? ???上单调递减，在3ππ,44??- ???

上单调递增． 因为()π0g -=，3π43π4

3πsin 3π24042g e e -??- ?????-==-< ???，π

4π4πsin π24042g e e -??==> ???， π2π

2πsin π202g e e -??==> ???．则()g x 的简图为

当3π422a e <-或π422

a ->时，()a g x =无解，即()f x 在区间ππ,2??-????上没有零点； 当3π422a e =-或π422

a -=或π20a e -<<时，()f x 在区间ππ,2??-????上有且仅有一个零点； 当3π4202e a -<≤或ππ2422

e a --≤<时，()

f x 在区间ππ,2??-????上有两个零点． 综上，当3π422a e <-或π422

a e ->时，()f x 在区间ππ,2??-????上没有零点； 当3π42a =或π42a -=或π20a e -<<时，()f x 在区间ππ,2??-????上有且仅有一个零点；

- 1 -

当3π40e a <≤

或ππ24e a --≤<时，()f x 在区间ππ,2??-????上有两个零点． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了函数的零点与方程的根，考查了函数单调性的求解，考查了直线方程的求解.本题的难点在于第二问，通过参变分离构造

()sin ππ2x x g x x e ??=-≤≤ ???

.求函数的零点时，若()()()f x g x h x =-，则()f x 的零点个数就等同于()(),g x h x 图像的交点个数.

21.已知椭圆()2222:1x y C a b a b +=>>

的离心率为2

，且四个顶点构成的四边形的面积是

（1）求椭圆C 的方程；

（2）已知直线l 经过点()2,0P -，且不垂直于y 轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为

AB 的中点，直线OM 与椭圆C 交于E ，F 两点（O 是坐标原点）

，求四边形AEBF 的面积的最小值．

【答案】（1）22

184

x y +=（2）8 【解析】

【分析】

（1

）由离心率可知c a =

，由四边形的面积可知12222a b ab ??==222a b c =+

，从而可求a =2b =，进而可得椭圆的标准方程.

（2）设直线l 的方程为2x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线与椭圆联立，由韦达定理可得2242,22m M m m ??- ?++??

，从而可求出直线OM 的方程为2m y x =-，与椭圆方程联立，

可求出EF ==A 到直线OM 的距离为d ，则可知

2d =

2d =

- 1 - 122S EF d =?=221122m m +≥+，即可求出面积的最小值. 【详解】解：（1

）由题意可得222

212222

c a

a b ab a b c ?=?????==??=+???

a =2

b =，

故椭圆C 的方程为22

184

x y +=． （2）由l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为2x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立222184x my x y =-???+=??，整理得()

222440m y my +--=，则12242m y y m +=+，12242y y m =-+， 从而()12122842x x m y y m +=+-=-

+，故2242,22m M m m ??- ?++??． 则直线OM 的斜率为2m -，所以直线OM 的方程为2

m y x =-，即20mx y +=． 联立222018

4mx y x y +=???+=??，整理得22162x m =+

，则EF == 设点A 到直线OM 的距离为d ，则点B 到直线OM 的距离也为d ， 从而2d =． 因为点A ，B 在直线OM 的两侧，所以()()1122220mx y mx y ++<，

所以11221122

2222mx y mx y mx y mx y +++=+--，则2d =． 因为1222y y m -==+，所以2d = 则四边形的面积11222S EF d =?=?=

- 1 - 因为2221111222

m m m +=-≥++（当且仅当0m =时，等号成立），

所以8S ≥=，即四边形AEBF 的面积的最小值是8． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中四边形的面积问题.本题的难点在于第二问中，写出四边形面积的表达式.本题的易错点为计算出错.

（二）选考题：

[选修4-4：坐标参与参数方程]

22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=??=+?

（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为sin 4πρθ??-

= ???. （1）求C 与l 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||

PM PN +的值. 【答案】（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2

）

5

. 【解析】

【分析】 （1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出C 与l 的直角坐标方程；

（2）将直线l 的直角坐标方程化为参数方程，点(2,2)P -在直线上l ，利用参数t 的几何意义，可得11||||

PM PN +的值. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=??

=+?（α为参数）， 所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，

∵直线l

的极坐标方程为sin 4πρθ?

?-= ???

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