2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷及考点分析答案详解

2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．（4分）已知A．

B．

，那么下列等式中，不成立的是（ ） C．

D．4x=3y

2．（4分）在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（ ）

A．0.2km B．2km C．20km

D．200km

3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ） A．

B．

C．

D．

4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

5．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） A．C．

B．若 D．

，则

6．（4分）对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（ ） ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=﹣2；

③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． A．4

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，c=8，则b= ．

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B．3 C．2 D．1

8．（4分）计算：= ．

9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是 cm．

10．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC上的点，若CF=4，且EF∥AD，AE：BE=2：3，则CD的长等于 ．

11．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，若△AOB的面积等于6，则△AOD的面积等于 ．

12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若

，则

可表示为 ．

13．（4分）已知抛物线C的顶点坐标为（1，3），如果平移后能与抛物线y=+2x+3重合，那么抛物线C的表达式是 ． 14．（4分）sin60°?tan45°﹣cos60°?cot30°= ．

15．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是 ．

16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE= ．

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17．（4分）如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过 米．

18．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F，则线段AF的长为 ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，AD=4，DB=5． （1）求AC的长； （2）若设

=，试用

的线性组合表示向量

．

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20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣6）、B（4，﹣6）、C（6，0）三点．

（1）求这个二次函数的解析式； （2）分别联结AC、BC，求tan∠ACB．

21．（10分）如图所示，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且AC=17米，现有一只小狗睡在台阶的FG这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得广告牌AB在地面上的影长AE=10米，过了一会，当α=45°，问小狗在FG这层是否还能晒到太阳？请说明理由（

取1.73）．

22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．

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23．（12分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G． （1）求证：AE=AF； （2）若

，求证：四边形EBDF是平行四边形．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A． （1）求直线BC及该抛物线的表达式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．

25．（14分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）． （1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；

（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

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（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．

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2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．（4分）已知A．

B．

，那么下列等式中，不成立的是（ ） C．

D．4x=3y

【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案． 【解答】解：A、∵∴B、∵∴C、∵∴D、∵

，

=，此选项正确，不合题意；

，

=﹣，此选项错误，符合题意；

，

=，此选项正确，不合题意；

，

∴4x=3y，此选项正确，不合题意； 故选：B．

【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．

2．（4分）在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（ ）

A．0.2km B．2km C．20km

D．200km

【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：解得x=200000cm=2km．

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=，

∴这条道路的实际长度为2km． 故选：B．

【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．

3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可． 【解答】解：∵AD=1，BD=3， ∴当

=， =时，

=

，

∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC，

根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC， 故选：D．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（ ）

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A． B． C． D．

【分析】先根据题意画出图形，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：根据三角函数的定义： A、sinA=，错误； B、cosB=，错误； C、tanA=，正确； D、cotB=，错误． 故选：C．

【点评】要注意，在三角形中，∠A、∠B、∠C所有对的边为a、b、c．

5．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） A．C．

B．若 D．

，则

【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可； 【解答】解：A、正确．根据去括号法则可得结论； B、错误．因为

，模相等，平面向量不一定共线，故结论错误；

C、正确．根据模的性质即可判断； D、正确．根据数乘向量的性质即可判断； 故选：B．

【点评】本题考查平平面向量、模、数乘向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．

6．（4分）对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（ ） ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=﹣2；

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③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． A．4

B．3

C．2

D．1

【分析】根据抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴，则可判断①、②，由解析式可求得抛物线的顶点坐标及与x轴的交点坐标，则可判断③；利用抛物线的对称轴及开口方向可判断④；则可求得答案． 【解答】解： ∵y=﹣（x+2）2+3，

∴抛物线开口向下、对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故①、②都正确；

在y=﹣（x+2）2+3中，令y=0可求得x=﹣2+∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为x=﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，

∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确； 综上可知正确的结论有4个， 故选：A．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，c=8，则b= 4 ． 【分析】根据比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求，注意线段的长为正数．

【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项， ∴b2=ac=16， 解得b=±4， 又∵线段是正数， ∴b=4．

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＜0，或x=﹣2﹣＜0，

故答案为4．

【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．

8．（4分）计算：

= ．

【分析】根据平面向量的加法法则计算即可． 【解答】解：故答案为

；

=6﹣12﹣5+5=﹣7．

【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．

9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是

﹣5 cm．

【分析】根据黄金分割的概念得到AP=

AB，把AB=10cm代入计算即可．

【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP， ∴AP=

AB，

而AB=10cm， ∴AP=故答案为：

=﹣5．

；

【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的

10．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC上的点，若CF=4，且EF∥AD，AE：BE=2：3，则CD的长等于 ．

倍．

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【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，可得AD∥EF∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，证得，继而求得答案．

【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD， ∴AD∥EF∥BC， ∴∴

=

=，

∵CF=4， ∴DC=4故答案为：

=

． ．

【点评】此题考查了梯形的性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

11．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，若△AOB的面积等于6，则△AOD的面积等于 2 ．

【分析】由AD∥BC，AD=2，BC=6，可得解决问题；

【解答】解：∵AD∥BC，AD=2，BC=6， ∴△ADO∽△CBO， ∴

=

=，推出S△AOD=S△AOB，即可

==，

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∴S△AOD=S△AOB=2． 故答案为2．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若

，则

可表示为

．

【分析】根据三角形法则求出再根据=即可解决问题；

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∵∴∴

==

，OB=OD， +

，

=﹣ =

=

﹣；

，

故答案为

【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．

13．（4分）已知抛物线C的顶点坐标为（1，3），如果平移后能与抛物线y=+2x+3重合，那么抛物线C的表达式是

．

【分析】先设原抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线y=论．

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+2x+3重合可知a=，再由二次函数的顶点坐标为（1，3）即可得出结

【解答】解：先设原抛物线的解析式为y=a（x+h）2+k， ∵经过平移后能与抛物线y=∴a=，

∵二次函数的顶点坐标为（1，3），

∴这个二次函数的解析式是y=（x﹣1）2+3． 故答案为：y=（x﹣1）2+3．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．

14．（4分）sin60°?tan45°﹣cos60°?cot30°= 0 ． 【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案． 【解答】解：原式=故答案为：0．

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

15．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是 （﹣3，0） ．

【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．

【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为（5，0），

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）． 故答案为：（﹣3，0）．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键．

16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，

×1﹣×

=0． +2x+3重合，

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AC=6，那么CE= ．

【分析】只要证明△ACD∽△BCE，可得【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=2，

∵BE、AD分别是边AC、BC上的高， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠C=∠C， ∴△ACD∽△BCE， ∴∴=

=

， ，

=，由此即可解决问题．

∴CE=， 故答案为；

【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

17．（4分）如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过 2.4 米．

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【分析】点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，利用tanA=tan∠BCB′=

=

得到

，然后设B′B=x米，则B′C=2.4x米，在Rt△B′CB中，利用

勾股定理求得答案即可．

【解答】解：如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A， ∵tanA=

，

=

，

∴tan∠BCB′=

∴设B′B=x米，则B′C=2.4x米， 在Rt△B′CB中，∵∠B′=90°， ∴B′B2+B′C2=BC2， 即：x2+（2.4x）2=2.62， 解得x=1（负值舍去）， ∴BD=B′C=2.4米． 故BD的长为2.4米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平移的性质，勾股定理，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度适中．

18．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上

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和直线AC交于点F，则线段AF的长为 ．

【分析】利用题意画出图形，根据旋转的性质得到AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，∠ADF=∠C=90°，则利用等腰三角形的性质得BD=DE=4，设DF=x，AF=y，接着证明△FDA∽△FCB，利用相似比得到解关于x、y的方程组即可．

【解答】解：如图，∵△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），

∴AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，∠ADF=∠C=90°， ∴BD=DE=4， 设DF=x，AF=y， ∵∠AFD=∠BFC， ∴△FDA∽△FCB， ∴

=

=，

=

=，则4y=3x+12，4x=3y+9，然后

∴4y=3x+12，4x=3y+9， ∴4y=3?∴y=

，

．

+12，

即线段AF的长为故答案为

．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

第17页（共30页）

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，AD=4，DB=5． （1）求AC的长； （2）若设

=，试用

的线性组合表示向量

．

【分析】（1）由∠ACD=∠B，公共角∠CAD=∠BAC，可证△CAD∽△BAC，利用相似比求AC．

（2）由AD：BD=4：5，可得

=

，即可求得答案

，又由

+

【解答】解：（1）∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC， ∴△CAD∽△BAC， ∴

，即

，解得AC2=36，

即AC=6（舍去负值）， 故AC=6；

（2）∵AD：BD=4：5， ∴AD：AB=4：9， ∴∴

，

+

=

，

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．

第18页（共30页）

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