（理科）数学联考题

南宁三中、柳铁一中、玉林高中2015～2016学年度上学期高三联考

数学（理）试题

命题人：李春阳 韦国亮 审题人：陈康 2015.9.24

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果集合M?x|y?5x?20，集合N??x|y?log3x?则M?N?（ ）

A．?x|0?x?4?

B．?x|x?4?

C．?x|0?x?4? D．?x|0?x?4?

??2．己知

a?2i?b?i(a,b?R)．其中i为虚数单位，则a?b?（ ） iB．1

C．2

D．-3

A．-1

3．已知等差数列?an?满足：a3?13,a13?33，求a7（ ）

A．19

1，x>0，??

4．设f(x)＝?0，x＝0，

??－1，x<0，

A．1

B．20

C．21

D．22

??1，x为有理数，

g(x)＝?则g(f(π))的值为（ ）

?0，x为无理数，?

B．0 C．－1 D．π

5．由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（ ）

A．

10 3B．4 C．

16 3D．6

6．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1?2)2?y12?5，x2?2y2?4?0，

则(x1?x2)2?(y1?y2)2的最小值为（ ）

A．

5 5121 5B．

1 5 C．D．

115 57．右图是一个算法的流程图，则最后输出的（ ）

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A．6 B．-6 C．9 D．-9

8．定义运算a?b???a(a?b)x，则函数f(x)?1?2 的图象是（ ）

?b(a?b)

9．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积等

于（ ）

75? B．30? 2 C．43? D．15?

12610．求(x?2)(?1)的展开式的常数项是（ ）

xA．

A． 15

B． -15

C．17

D．-17

x2y211．已知F2、F1 是双曲线2?2?1 (a?0，b?0 )的左、右焦点，点F2关于渐近线的对

ab称点恰好落在以F1| 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） 1为圆心，|OF

A．3

B．3

C．2

D．2

?a,x?1, ?x?112．函数f(x)=??1?若关于x的方程2f2(x)?(2a?3)f(x)?3a?0有五个不同的

????1,x?1,??2?实数解x1,x2x3,x4,x5,求x1?x2?x3?x4?x5=（ ）

A．3

B．5

C．3a

D．5 a

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

????13．已知向量a?(1,?2),b?(m,?1)，且a?b，则实数m的值为

x2y2??1的焦距为 14．双曲线

25?k9?k?x?y?3?015．设 x,y 满足约束条件??x?y?0 ,则 ?x?2?范围为 ．

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x2?y2 的最大值为 ．

216．已知数列?an?是递减数列，且对任意的正整数n，an??n??n恒成立，则实数?的取值

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

b、cosA?17．（本题满分12分）在△ABC中，B、C的对边，已知b=2，a、c分别是三个内角A、

（1）若△ABC的面积S=3，求a；

（2）若△ABC是直角三角形，求a与c 18．（本题满分12分） 某校50名学生参加2015年全国数学联赛初

赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式

分成五组：第一组?90,100?，第二组?100,110?，…，第五组

4 5频率组距0.0380.0320.0160.0080.006?130,140?．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．

O90 100 110 120 130 140分数（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中

成绩良好的人数；

（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记x为取得第一组成绩的个数，求x的分布列与数学期望．

19．（本题满分12分）如图，已知正四棱柱ABCD－A底面边长AB?2，侧棱BB1 BCD１１１１中，

的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．

BDE； （1）求证：AC1⊥平面

（2）求二面角E?BD?A1的余弦值。

x2y220．（本题满分12分） 已知椭圆方程C为：2?2?1，(a?b?0)椭圆的右焦点为(1,0)，

ab1离心率为e?，直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA?kOB??3 42（1）椭圆的方程及求?AOB的面积；

（2）在椭圆上是否存在一点P，使OAPB为平行四边形，若存在，求出OP的取值范围，若不存在说明理由.

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21．（本题满分12分）已知二次函数g(x)对?x?R都满足g(x?1)?g(1?x)?x2?2x?1且

19g(1)??1，设函数f(x)?g(x?)?mlnx?（m?R，x?0）．

28（Ⅰ）求g(x)的表达式；

（Ⅱ）若?x?R?，使f(x)?0成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）设1?m?e，H(x)?f(x)?(m?1)x，求证：对于?x1,x2?[1,m]

恒有H(x1)?H(x2)?1.

请考生从第22、23、24题中选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。 22．（本小题满分10分）.如图，在?ABC中，CD是?ACB的角平分线，?ADC的外接圆交BC

于点E，AB?2AC． （Ⅰ）求证：BE?2AD；

（Ⅱ）当AC?3，EC?6时，求AD的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

π

22，?． 在极坐标系中，点O(0,0)， B?4??

（1）求以OB为直径的圆C的直角坐标方程；

（2）若直线l的极坐标方程为?cos???sin??4，判断直线l与圆C的位置关系． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)?|2x?1|?|x?2| （1）求不等式f(x)?3的解集；

（2）若关于x的不等式f(x)?t2?3t在[0,1]上无解，求实数t的取值范围．

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高三联考（理）试题 答案

1． B

2． D 试题分析：由已知得a?2i?(b?i)i??1?bi，根据复数相等的条件得a??1,b?2，

故a?b??3．

3． C 试题分析：由等差数列的求公差的变通公式知：d?an?am，所以

n?md?4． A

a13?a313?3?a?a33?13?2， ?a8?313?23 ?a7?d?23?a7?21选C

213?3?y?x5． C 试题分析：根据题意，作出图形（阴影部分），联立?，

y?x?2?得C(4,2)，?B(2,0)，??OAB??DCB,

则所求阴影部分的面积为S??403?23?2162?42． xdx??x|??4??3?033??226． B 解析：由已知得点(x1,y1)在圆(x?2)?y?5上，点(x2,y2)在直线x?2y?4?0上，

故(x1?x2)2?(y1?y2)2表示(x?2)?y?5的点和直线x?2y?4?0上点的距离平方，而距离的最小值为222?41?4?5?15，故(x1?x2)2?(y1?y2)2的最小值为．

557． D 8． A

9． C 解析：由题意可知该几何体的直观图如下图所示，

可知该几何体的外接球2R?5?32?32?43，故选C． 10． C

11． C 解析：设F2关于渐近线对称点为P, F2P的中点为M，显然M在渐近线上，连PF1,OP

则OM//PF1?PF1?PF2 ?F1F2?2c,PF1?c 点F2到渐近线的距离d?2bca2?b2?b?(2c)2?c2?(2b)2 ?c2?4a2?e?2

3212． B 解析:由2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0得f(x)=或f(x)=a.由已知画出函

数f(x)的大致图象,结合图象不难得知,要使关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,即要使函数y=f(x)的图象与直线y=

3、y=a共有五个不同的交点,结合图象分析不难得2出,x1?x2?x3?x4?x5=5,故选B 13． -2 14． 8

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