平面向量典型例题

平面向量经典例题：

1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于()

A．－2B．－1

3

C．－1 D．－2

3

[答案] C

[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝()

A．－1 B．－ 3

C．－3 D．1

[答案] C

[解析]a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，

∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3.

(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为()

A．－6

11B．－

11

6

C.6

11 D.

11

6

[答案] C

[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，

∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11.

3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为()

A．150°B．120°

C．60°D．30°

[答案] B

[解析]如图，在?ABCD中，

∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，

∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝

3

2，a与b的夹角为60°，则|b|＝()

A.1

2 B.

1

3

C.1

4 D.

1

5

[答案] A

[解析]∵|a－b|＝

3

2，∴|a|

2＋|b|2－2a·b＝

3

4，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，

设|b|＝x，则1＋x2－x＝3

4，∵x>0，∴x＝

1

2.

第 1 页共10 页

第 2 页 共 10 页

4.

若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．

5. 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b

[答案] B

[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)， ∴??? λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴???

λ＝1μ＝－3

，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC

→＝a ，BD →＝b ，则AF →

等于( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋1

3b C.12a ＋14b D.13a ＋23

b [答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴

|AB ||DF |＝|EB |

|DE |

，

∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2

3|CD |，

∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →

＝a ＋23(OD →－

OC →

)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .

6.

若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D

[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5

＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()

－1935＝－19.

7.

若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6

[答案] D

第 3 页 共 10 页

[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12

，y ＝1时成立． 8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x

为( )

A ．－1

B ．0 C.－1＋52 D.1＋52

[答案] A

[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C

共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1.

9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )

A ．最大值为8

B ．最小值为2

C ．是定值6

D ．与P 的位置有关

[答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC

→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，

设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，

∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，

则|AD →|的最小值是( )

A.12

B.32

C. 2

D.22 [答案] D

[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1，

∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，

∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12

， ∴|AD →|≥22

. 10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分

别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12

AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )

第 4 页 共 10 页

A.15

B.14

C.13

D.12

[答案] A [解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF

∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.

11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )

A.12

B ．2

C ．－2

D ．－12 [答案] C

[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，

由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.

12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6 [答案] B

[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →

＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13

AB →·CB → ＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22

＝3. 13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝

________.

[答案] 152 [解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，

〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23

CB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152

. 14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．

[答案] －255。[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255. 15. 已知向量a 与b 的夹角为2π3

，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. [答案] 1

[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3

＝－2，∵(2a ＋λb )

第 5 页 共 10 页

⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.

16. 已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，

n ∈R ＋)，则m n

＝________. [答案] 3

[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，

∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ，

|OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ， 两式相除得：m 3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴m n ＝3. 17. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝

－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．

[答案] 5

[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA

→|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，

∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255

， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255

＝5. (理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)

①sin A ＋cos A ＝15

②AB →·BC →<0 ③b ＝3，c ＝33，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0. [答案] ④

[解析] 若A 为锐角，则sin A ＋cos A >1，∵sin A ＋cos A ＝15

，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →>0，∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理

b sin B ＝

c sin C 得，3sin30°＝33sin C ，∴sin C ＝32，∴C ＝60°或120°，∵c ·sin B ＝332，3<332

<33，∴△ABC 有两解，故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形．

④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0，及A 、B 、C ∈(0，π)，A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角，

∴△ABC 为锐角三角形．

18. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．

(1)若a ⊥b ，求x 的值．

(2)若a ∥b ，求|a －b |.

[解析] (1)若a ⊥b ，

第 6 页 共 10 页 则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，

整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.

(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，则x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2，

当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，

∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝(－2)2＋02＝2，

当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，

∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋(－4)2＝2 5.

19. 已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝(3cos x ，－12

)，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2. (1)求函数f (x )的最小正周期T ；

(2)将函数f (x )的图象向左平移π6

上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的解析式及其对称中心坐标．

[解析] (1)f (x )＝(a ＋b )·a －2＝a 2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12

－2 ＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6

)， ∴周期T ＝

2π2＝π. (2)向左平移π6个单位得，y ＝sin[2(x ＋π6)－π6]＝sin(2x ＋π6

)，横坐标伸长为原来的3倍得， g (x )＝sin(23x ＋π6)，令23x ＋π6＝k π得对称中心为(3k π2－π4

，0)，k ∈Z . 20. (文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，

若m ∥n .

(1)求角B 的大小；

(2)若sin A ＋sin C 的取值范围．

[解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b

＝b －a c ， 即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知cos B ＝12，得B ＝π3

. (2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3

) ＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6

)， ∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3

)， ∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12

，1]， ∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32

，3]． (理)在钝角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .

(1)求角A 的大小；

第 7 页 共 10 页 (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3

－2B )的值域． [解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0，

由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0，

∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴2sin B cos A －sin B ＝0，

∵B 、A ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴A ＝π3

. (2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π6

)＋1， 当角B 为钝角时，角C 为锐角，则

?????

π2<B <π0<2π3－B <π2?π2<B <2π3， ∴5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32

)． 当角B 为锐角时，角C 为钝角，则

????? 0<B <π2π2<2π3－B <π?0<B <π6

， ∴－π6<2B －π6<π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32

)， 综上，所求函数的值域为(12，32

)． 21. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .

(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π3

]，求x ； (2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2

)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值． [解析] (1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x

＝1＋2sin(2x ＋π6

)． 由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－32

， ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4

. (2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1.∵|m |<π2，∴m ＝－π12

，n ＝1. 22. 已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →.

(1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)当x ∈[0，π2

]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，

第 8 页 共 10 页

∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1)

＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4

)， ∴函数f (x )最小正周期T ＝2π.

(2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4

]， ∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π4

)取到最大值 2. 23. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －

32)，且m ⊥n .

(1)求A 的大小；

(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．

(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．

[解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －

32＝0， 即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32

， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A ＝

32，A ＝30°. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，

因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，

由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22

， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14

， 方案二：选择①③，可确定△ABC ，

因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，

又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝

6＋24

， 由正弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14

. (注意：选择②③不能确定三角形)

(理)如图，⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，⊙O 交y 轴于点N ，DP →∥ON →，且DM →＝32

DP →. (1)求点M 的轨迹C 的方程；

(2)设F 1(0，5)、F 2(0，－5)，若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点，

求F 2A →·F 2B →的取值范围．

[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，

第 9 页 共 10 页 ∵DM →＝32DP →，∴??? y ＝32y 0x ＝x 0

，∴??? y 0＝23y x 0＝x ， 代入x 20＋y 20＝4得，x 24＋y 29

＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，显然F 2A →·F 2B →＝－4，

②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB 的方程为：y ＝kx ＋5，

由????? y ＝kx ＋5

x 24＋y 2

9＝1得，(9＋4k 2)x 2＋85kx －16＝0，

不妨设A 1(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则

??? x 1＋x 2＝－85k 9＋4k 2x 1x 2＝－169＋4k 2， F 2A →·F 2B →＝(x 1，y 1＋5)·(x 2，y 2＋5)＝(x 1，kx 1＋25)·(x 2，kx 2＋25)＝(1＋k 2)x 1x 2＋25k (x 1＋x 2)＋20 ＝－16(1＋k 2)9＋4k 2＋－80k 29＋4k 2＋20＝－96k 2－169＋4k 2

＋20 ＝－4＋2009＋4k 2

， ∵k 2≥0，∴9＋4k 2≥9，∴0<2009＋4k

2≤2009， ∴－4<F 2A →·F 2B →≤1649

， 综上所述，F 2A →·F 2B →的取值范围是(－4，1649

]． 24. 在平面直角坐标系内，已知两点A (－1,0)、B (1,0)，若将动点P (x ，y )的横坐标保持不变，纵坐标扩大

到原来的2倍后得到点Q (x ，2y )，且满足AQ →·BQ →＝1.

(1)求动点P 所在曲线C 的方程；

(2)过点B 作斜率为－22

的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且OM →＋ON →＋OH →＝0，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，2y )，

依据题意得，AQ →＝(x ＋1，2y )，BQ →＝(x －1，2y )．

∵AQ →·BQ →＝1，∴x 2－1＋2y 2＝1.∴动点P 所在曲线C 的方程是x 22

＋y 2＝1. (2)因直线l 过点B ，且斜率为k ＝－

22，∴l ：y ＝－22(x －1)， 联立方程组????

? x 22＋y 2＝1y ＝－22(x －1)，消去y 得，2x 2－2x －1＝0.

第 10 页 共 10 页 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，∴?

?? x 1＋x 2＝1，

x 1x 2＝－12，∴y 1＋y 2＝－22(x 1－1)－22

(x 2－1) ＝－22(x 1＋x 2)＋2＝22. 由OM →＋ON →＋OH →＝0得，OH →＝(－x 1－x 2，－y 1－y 2)，即H (－1，－22

)， 而点G 与点H 关于原点对称，∴G (1，22

)， 设线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1和l 2，k GH ＝

22，则有 l 1：y －24＝2(x －12)，l 2：y ＝－2x .联立方程组????? y －24＝2(x －12)，y ＝－2x

解得l 1和l 2的交点为O 1(18，－28

)． 因此，可算得|O 1H |＝

(98)2＋(328)2＝3118， |O 1M |＝(x 1－18)2＋(y 1＋28)2＝3118

. 所以M 、G 、N 、H 四点共圆，且圆心坐标为O 1(18，－28)，半径为3118

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5961.html