力学中的动态问题分析解题方法

宜昌市何老师（15997574932）物理教室方法序列

力学中的动态问题分析解题技巧

一． 知识清单： (1）共点力的平衡

1.共点力：物体受到的各力的作用线或作用线的延长线能相交于一点的力. 2.平衡状态：在共点力的作用下，物体处于静止或匀速直线运动的状态. 3.共点力作用下物体的平衡条件：合力为零，即F合＝0.

4.力的平衡：作用在物体上几个力的合力为零，这种情形叫做力的平衡.

(1)若处于平衡状态的物体仅受两个力作用，这两个力一定大小相等、方向相反、作用在一条直线上，即二力平衡.

(2)若处于平衡状态的物体受三个力作用，则这三个力中的任意两个力的合力一定与另一个力大小相等、方向相反、作用在一条直线上.

(3)若处于平衡状态的物体受到三个或三个以上的力的作用，则宜用正交分解法处理，此时的平衡方程可写成：???Fx?0

?F?0?y（2）物体的动态平衡问题

物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某个力（或某几个力）的大小或方向，发生变化时，物体受到的其它力也会随之发生变化，如果在变化的过程中物体仍能保持平衡状态，我们就可以依据平衡条件，分析出物体受到的各力的变化情况。

二． 解题方法指导 （1）矢量三角形法

①如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中只有一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力中，一个大小、方向均不变化；一个只有大小变化，方向不发生变化的情况。 ②如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力的大小和方向发生变化时，物体受到的另外两个力中只有一个大小和方向保持不变，另一个力的大小和方向也会发生变化的情况下，考虑三角形的相似关系。 (2) 图解法：对研究对象进行受力分析，再根据三角形定则画出不同状态下的力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各力的变化情况。

图解法分析动态平衡问题，往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另一个力方向不变，但大小发生变化，第三个力则随外界条件的变化而变化，包括大小和方向都变化。

解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键

（3）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

? 特征条件：①几何框架三角形中有两条边不变，②另一个物体动态轨迹是圆弧。

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? 解题方法：相似形法最佳。（力矢量三角形跟几何框架三角形相似） ? 结论：一力单调变化，另一力不变。

（4）.平衡方程式法：

平衡方程式法适用于三力以上力的平衡，且有一个恒力，通过它能够建立恒定不变的方程式。根据其中一个力的变化情况，求出另一个力的变化情况。

有不少三力平衡问题，既可从平衡的观点（根据平衡条件建立方程）求解——平衡法，也可从力的分解的观点（将某力按其作用效果分解）求解——分解法，两种方法可视具体问题灵活选用。但平衡法是求解平衡问题的基本方法，特别对三个以上力的平衡问题，分解法失效，平衡法照样适用；都是根据平衡点建立方程来推断力的变化情况。

三． 经典例题

例1、如图1a所 示，绳OA、OB等长，A点固定不动，将B 点沿圆弧向C点运动的过程中绳OB中的张力将[ ]

C

A、由大变小； B、由小变大 C、先变小后变大 D、先变大后变小

解：如图1b，假设绳端在B'点，此时Ｏ点受到三力作用平衡：TA 、书的大小方向不断

'''的变化（图中T'B、T'B T'B ......），但T的大小方向始终不变，TA 的方向不变而大小改

变，封闭三角形关系始终成立.不难看出； 当TA与TB垂直时，即a+?=90时，TB取最小TA 值，因此，答案选C。

例2. 光滑半球面上的小球（可是为质点）

被一通过定滑轮的力F由底端缓慢拉到顶端的过程中（如图所示），试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的变化情况。

TB TA TB’ TB’’ T 图1b T TB’’’

解析：如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力FN总与球面垂直，从图中可得到相似三角形。

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设球面半径为R，定滑轮到球面的距离为h，绳长为L，据三角形相似得：

Fmg?Lh?RFNmg? Rh?R由上两式得：绳中张力：F?mg小球的支持力：

L h?R

又因为拉动过程中，h不变，R不变，L变小，所以F变小，FN不变。

说明：如果在对力利用平行四边形定则（或三角形法则）运算的过程中，力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解。

例3一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( ) A．FN先减小，后增大 B．FN始终不变 C．F先减小，后增大 D．F始终不变

解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．

如图所示，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得 ，FN＝ G，F＝ G 式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小． 答案：B

例4如图2－4－5所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受

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的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为( ) A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1

解析：两球间放劲度系数为k1的弹簧静止时，

小球B受力如右图所示，弹簧的弹力F与小球的重力G的合力与绳的拉力F1等大反向，根据力的三角形与几何三角形相似得 ，由于OA、OB均恒为L，因此F1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k2的弹簧后绳的拉力F2＝F1，B正确． 答案：B

例5如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是( ) A．增大 B．先减小，后增大 C．减小 D．先增大，后减小

解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大． 方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将FAB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出：

FABcos 60°＝FB Csin θ， FABsin 60°＋FB Ccos θ＝FB，

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联立解得FBCsin(30°＋θ)＝FB/2，

显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大． 答案：B

例6如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β ＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N的大小变化情况是( )

A．F逐渐增大，T逐渐

减小，FN逐渐减小 B．F逐渐减小，T逐渐减小，FN逐渐增大 C．F逐渐增大，T先减小后增大，FN逐渐增大

D．F逐渐减小，T先减小后增大，FN逐渐减小

解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是先减小后增大．斜面 对球的支持力FN′逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝FN″sinθ，则F 逐渐增大，水平面对斜面的支持力FN＝G＋FN″·cos θ，故FN逐渐增大． 答案：C

例7. 如图所示，轻绳AO、BO结于O点，系住一个质量为m的物体，AO与竖直方向成α角，BO与竖直方向成β角，开始时（α＋β）＜90°。现保持O点位置不变，缓慢地移动B端使绳BO与竖直方向的夹角β逐渐增大，直到BO成水平方向，试讨论这一过程中绳AO及BO上的拉力大小各如何变化?（用解析法和作图法两种方法求解）

解析：以O点为研究对象，O点受三个力：T1、T2和mg，如下图所示，由于缓慢移动，可认为每一瞬间都是平衡状态。

（1）平衡方程法

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x方向：T2sinβ－T1sinα＝0，（1） y方向：T1cosα＋T2cosβ－mg＝0。（2） 由式（1）得

T1?sin?·T2 （3） sin?式（3）代入式（2），有

sin?cos?T2?T2cos??mg?0，化简得

sin?T2＝

mgsin?（4）

sin(???)讨论：由于α角不变，从式（4）看出：

当α＋β＜90°时，随β的增大，则T2变小； 当α＋β＝90°时，T2达到最小值mgsinα； 当α＋β＞90°时，随β的增大，T2变大。 式（4）代入式（3），化简得 T1＝

sin?mgsin?mgsin?mg·　??。 sin?sin(???)sin?cos??cos?sin?sin?ctg??cos?由于α不变，当β增大时，T1一直在增大。 （2）作图法

由平行四边形法则推广到三角形法则，由于O点始终处于平衡状态，T1、T2、mg三个力必构成封闭三角形，如图（a）所示，即T1、T2的合力必与重力的方向相反，大小相等。

由图（b）看出，mg大小、方向不变；T1的方向不变；T2的方向和大小都改变。开始时，（α＋β）＜90°，逐渐增大β角，T2逐渐减小，当T2垂直于T1时，即（α＋β）＜90°时，T2最小（为mgsinα）；然后随着β的增大，T2也随之增大，但T1一直在增大。

1. 如图所示，电灯悬挂于两墙之间，更换绳OA，使连接点A向上移，但保持O点位置不变，则A点向上移时，绳OA的拉力(答案：D )

A．逐渐增大 B．逐渐减小 B C．先增大后减小 D．先减小后增大 O A 2. 如图所示，质量不计的定滑轮用轻绳悬挂在B点，另一条轻绳一端系重物C，绕过滑轮后，另一端固定在墙上A点，若改变B点位置使滑

轮位置发生移动，但使A段绳子始终保持水平，则可以判断悬点B所受拉力FT的大小变化情况是：B

A．若B向左移，FT将增大

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B．若B向右移，FT将增大

C．无论B向左、向右移，FT都保持不变 D．无论B向左、向右移，FT都减小

3.轻绳一端系在质量为m的物体A上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN的圆环上。现用水平力F拉住绳子上一点O，使物体A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦力F1和环对杆的压力F2的变化情况是（D） A．F1保持不变，F2逐渐增大 B．F1逐渐增大，F2保持不变 C．F1逐渐减小，F2保持不变 D．F1保持不变，F2逐渐减小 4.A、B为带有等量同种电荷的金属小球，现用等长的绝缘细线把二球悬吊于绝缘墙面上的O点，稳定后B球摆起，A球压紧墙面，如图所示。现把二球的带电量加倍，则下列关于OB绳中拉力及二绳间夹角的变化的说法中正确的是：

A.二绳间的夹角增大，OB绳中拉力增大 O B.二绳间的夹角增大，OB绳中拉力减小 C.二绳间的夹角增大，OB绳中拉力不变 B D.二绳间的夹角不变，OB绳中拉力不变 答案：C A 5.如图所示，绳子的两端分别固定在天花板上的A、B两点，

开始在绳的中点O挂一重物G，绳子OA、OB的拉力分别为F1、

F2。若把重物右移到O?点悬挂（O?A?O?B），绳O?A和O?B中的拉力分别为F1和F2，则力的大小关系正确的是： 答案：D

A.F1?F1，F2?F2 B. F1?F1,F2?F2 C. F1?F1，F2?F2 D. F1?F1，F2?F2

O O????????A ???B

6.如图所示，将一根不可伸长的柔软轻绳的两端系在两根立于水平地面上的竖直杆M、N等高的两点a、b上，用一个动滑轮悬挂

一个重物G后挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子的拉力为T1，现将绳子b端慢慢向下移动一段距离，待系统再次达到平衡时，两绳子的拉力为T2，则 答案：B A.T2＞T1 B.T2＝T1 C.T2＜T1

D.由于b点下降高度未知，T1和T2的关系不能确定

7. 如图所示，硬杆BC一端固定在墙上的B点，另一端装有滑轮C，重物D用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A点。若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从A点稍向下移，则在移动过程中

（A）绳的拉力、滑轮对绳的作用力都增大 （B）绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大 （C）绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力增大

（D）绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变 答案 C A 8.重力为G的重物D处于静止状态。如图所示，AC和BC 两段绳子与竖直C 方向的夹角分别为α和β。α＋β＜90°。现保持α角不变，改变β角，使β角缓慢增大到90°，在β角增大过程中，AC的张力T1，BC的

B

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张力T2的变化情况为 ： A．T1逐渐增大，T2也逐渐增大 B．T1逐渐增大，T2逐渐减小 C．T1逐渐增大，T2先增大后减小

D．T1逐渐增大，T2先减小后增大 答案：D

9.如图所示，均匀小球放在光滑竖直墙和光滑斜木板之间，木板上端用水平细绳固定，下端可以绕O点转动，在放长细绳使板转至水平的过程中(包括水平)： A．小球对板的压力逐渐增大且恒小于球的重力 B．小球对板的压力逐渐减小且恒大于球的重力 C．小球对墙的压力逐渐增大

D．小球对墙的压力逐渐减小 答案：D 10．（全国）有一个直角支架AOB，AO是水平放置，表面粗糙．OB竖直向下，表面光滑．OA上套有小环P，OB套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可以忽略．不可伸长的细

绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是：

A．FN不变，F变大 B．FN不变，F变小 C．FN变大，F变大 D．FN变大，F变小

11．如图所示，小船用绳牵引．设水平阻力不变，在小船匀速靠岸的过程中 A、绳子的拉力不断增大B、绳子的拉力保持不变 C、船受的浮力减小  D、船受的浮力不变

12. 一根水平粗糙的直横杆上，套有两个质量均为m的小铁环，两铁F 环上系着两条等长的细线，共同栓住一个质量为M的球，两铁环和球均处于静止状态，如图，现使两铁环间距稍许增大后系统仍处于静止

状态，则水平横杆对铁环的支持力N和摩擦力f的变化是

（A）N不变，f不变 （B）N不变，f变大

（C）N变大，f变大 （D）N变大，f不变 答案：B

13. 如图所示，OA为一遵守胡克定律的弹性轻绳，其一端固定在天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连．当绳处于竖直位置时，滑块A与地面有压力作用。B为一紧挨绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。现用水平力F作用于A，使之向右作直线运动，在运动过程中，作用A的摩擦力：

A．逐渐增大 B．逐渐减小

C．保持不变 D．条件不足，无法判断 答案：C

14.如图所示，当人向左跨了一步后人与物体保持静止，跨后与垮前相比较，下列说法错误的是: 答案：B

A．地面对人的摩擦力减小 B．地面对人的摩擦力增加 C．人对地面压力增大 D．绳对人的拉力变小

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15.如图所示，两个质量都是m的小球A、B用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态。已知竖直墙面光滑，水平地面粗糙，现将A向上移动一小段距离，两球再次平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B球的支持力N和轻杆上的压力F的变化情况是： A.N不变，F变大 B.N不变，F变小

C.N变大，F变大 D.N变大，F变小 答案：B

0

16．如图所示，一个质量为m=2.0kg的物体，放在倾角为θ=30的斜面上静止不动。若用竖

2

直向上的力F=5.0N提物体，物体仍静止（g=10m/s）,则下述结论正确的是 A A．物体受到的合外力减少5.0N B.物体受到的摩擦力减少5.0N C．斜面受到的压力减少5.0N D.物体对斜面的作用力减少5.0N

B 17．如图所示，两个物体A、B的质量均为1kg，各接触面间的动摩擦因数为0.3，同时有F=1N的两个水平力分别作用于物体A和物体B上，则地面对物体B、物体B对物体A的摩擦力分别为 A．6N，3N B。1N，1N C。0，1N D0，2N

18．如图，轻杆A端用光滑水平铰链装在竖直墙面上，B端用水平绳结在墙

F C处并吊一重物P，在水平向右力F缓缓拉起重物P有过程中，杆AB所受压A F 力（D） B A．变大 B.变小 C B C.先变小再变大 D.不变

A P F F

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