高中数学等比数列的概念与通项公式教学设计北师大版必修5

3.1 等比数列的概念及通项公式

教学目标︰

1、通过实例，理解等比数列的概念

通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程.

2、 探索并掌握等比数列的通项公式

通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式.

教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探

索并掌握等比数列的通项公式.

教学难点：等比数列通项公式的推导. 教学过程：

一、创设情境,引入新课

在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列.

新课导入(一）：小明和小强打赌，说：如果我有一张足够大的纸，我只要不断的对折，我就可以沿着这张纸爬上珠穆朗玛峰。你觉得可能吗？

【学生】激发学生学习热情，通过观察，分析，理解题意，2，2，2，2，2……2 ① （二）：公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？ 【学生】思考、讨论，用现代语言叙述.

【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？

【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，

1

2

3

4

5

28

1111，，，，…。 ② 24816【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②，说说它们有什么共同特点？引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.我们可以发现： 数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____； 数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

也就是说这个数列有一个共同的特点：从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。

我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题，等比数列.

【设计意图】目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子，观察所给各个数列的共同特点，进一步归纳出等比数列的定义. 二、探究新课 1、等比数列的定义

【教师】类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下个定义？ 【学生】独立思考，类比等差数列的定义。给等比数列下定义.

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示.

【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢？如果我们第n项用an表示，那么它的前一项该怎么表示，那么比怎么表示？这里的n的取值范围呢？ 【学生】讨论，交流。得到

an?1a?q(n?N?)或n?q(n?2,n?N?) anan?1.

【老师】请同学们打开课本，看看课本上是怎样给等比数列下定义的，和刚才那位同学下的定义一样吗？有什么不同？

【学生】阅读课本，仔细对比，找出不同。学生发现课本中有q≠0这个条件.

思考：等比数列的定义中，可否去掉“q≠0”的条件？为什么？能否将“ ”的条件改写成“ ”？为什么？

【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。

【学生】讨论，辨析，得到结论，不能去掉“q≠0”的条件，因为如果q=0,则分子为0,而每一个分子都可能出现在分母中,则分母为0无意义; 表达式说明在等比数列中的任意项都不能为0.

感悟:等比数列中q≠0,an?0.

【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢？ 【学生1】常数列.

【老师】是吗?有不同意见吗?

【学生2】非零的常数列既是等差又是等比数列.

练习1：判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比q. （1） 2, 8，32，128,… ---不 是

（2） -1,－5，－25，－125,… -- 是 q =5 （3） 2，2，2，2，… --- 是 q =1 （4） 1，-0.5，0.25，-0.125，… --- 是 q = - 0.5 （5） 1, 2，1, 2,1, 2… --- 不是 (6)1,a,a2,a3,a4,?an?1 取决于a能否等于0 【老师】思考:公比q的取值范围是什么呢？ 【学生】正数、负数，但是不能为零. 【老师】归纳等比数列的特点：

（1） “从第二项起”每一项与“前一项”之比为同一常数q， （2） 隐含：任一项an?0且q?0（3）q=1时，数列为常数列. 2、等比数列的通项公式及推导

【老师】已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，你能写出这个等比数列的第n项an 吗？

通项公式的推导：方法一：归纳法 方法二：叠乘法 得出通项公式an?a1?qn?1，

(a1?0,q?0)

【设计意图】让学生体会通项公式的产生过程，加深理解.

3、例题讲解

a3?12,a4?18，求：a（1）数列的首项和公比；（2）6. {a}n例1.已知等比数列中，

【设计意图】让学生在应用中熟悉掌握等数列的定义，及通项公式.

比

{a}变式：

已知等比数列n中，

1a3?12,公比q?,2求a6.

【老师】已知数列的某一项和公比，如何求【学生】可先求出首项，再求

a6？

a6.

a6.

【老师】很好！可不可以不求首项比，直接求

13a3?a1?q2,a6?a1?q5,?a6?a3?q3?12?()3?22，用这种方法可不求首项。 【学生】

【老师】这种方法法能否推广一下？如已知等比数列为a1，a2，···am，··· ,an···,公比 为q,你能用

am，q来表示an吗?

n?ma?a?qnm【学生】.

【设计意图】进一步熟悉等比数列通行公式的应用. 练一练： 题号 a 1 3 q n a n 48 （1） -2 5 （2） 1 2 3 1 2 ?2 4 1 16 48 （3） 5 （4） 3 2 4 24 例3.已知数列

{an}满足lgan?3n?5，证明：数列{an}是等比数列.

an?1?q?an?Nn【老师】注：要证明一个数列是等比数列，必须证明对任意的

都成立．

【设计意图】进一步熟悉公式. 三、归纳小结

本节课主要学习了： 一个定义：

an?q(n?N*且n?2) an?1n-1

n?ma?a?qnm 两个公式：，an=a1q （n∈N﹡,q≠0），.

两种方法：不完全归纳法、叠乘法. 【老师】通过本节课的学习，你有哪些收获？

【学生1】在本节课中，我学习了等比数列的定义，等比中项的公式，学会了等比数列的推导的两种方法.

【学生2】在本节课中我还学习了类比的思想.

【老师】对比一下等差数列及等比数列.想一想,判断等差数列的单调性可以看公差d： d>0时，数列单调递增； d<0时，数列单调递减；

d=0时，数列为常数列，无单调性.那么等比数列呢？它的单调性与公比q有怎样的关系？ 【设计意图】让学生自己小结，帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯,并适时引入下节内容，提高学生学习兴趣. 四、作业

P课本30面，第8题，并预习课本23面.

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