2014高考广东卷文科数学真题及答案解析1
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2014高考广东卷文科数学真题及答案解析
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合M??2,3,4?,N??0,2,3,5?,则M?N( )
A. ?0,2? B. ?2,3? C. ?3,4? D. ?3,5? (2)已知复数z满足(3?4i)z?25,则z?( )
A.?3?4i B. ?3?4i C. 3?4i D. 3?4i
????(3)已知向量a?(1,2),b?(3,1),则b?a?( )
A. (?2,1) B. (2,?1) C. (2,0) D. (4,3)
?x?2y?8?(4)若变量x,y满足约束条件?0?x?4则z?2x?y的最大值等于( )
?0?y?3?A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 5.下列函数为奇函数的是( )
xA.2?132x B.xsinx C.2cosx?1 D.x?2 x26.为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
inA?sinB”7.在?ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a?b”是“s的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
x2y2x2y2??1与曲线??1的( ) 8.若实数k满足0?k?5,则曲线
165?k16?k5A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
9.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1?l2,l2∥l3,l3?l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1?l4 B.l1∥l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定
10.对任意复数w1,w2,定义?1??2??1?2,其中?2是?2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:
①(z1?z2)?z3?(z1?z3)?(z2?z3);②z1?(z2?z3)?(z1?z2)?(z1?z3); ③(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3);④z1?z2?z2?z1;
则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11—13题)
11.曲线y??5e?3在点?0,?2?处的切线方程为________.
x12.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取字母a的概率为________.
13.等比数列?an?的各项均为正数,且a1a5?4,则
log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.
(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为
2?cos2??sin?与?cos??1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,
建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2的直角坐标为________
15.(几何证明选讲选做题)如图1,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且
EB?2AE,AC与DE交于点F则
?CDF的周长?______
?AEF的周长
三.解答题:本大题共6小题,满分80分 16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?Asin(x?(1) 求A的值;
(2) 若f(?)?f(??)?3,??(0,
17(本小题满分13分)
某车间20名工人年龄数据如下表: 年龄(岁)
19 28 29 30 31 32 40 合计
工人数(人)
1 3 3 5 4 3 1 20
?3),x?R,且f(5?32 )?122?2),求f(?6??)
(1) 求这20名工人年龄的众数与极差;
(2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图; (3) 求这20名工人年龄的方差.
18(本小题满分13分)
如图2,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠,折痕EF∥DC.其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF. (1) 证明:CF⊥平面MDF (2) 求三棱锥M-CDE的体积.
19.(本小题满分14分)
设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,且Sn满足
2Sn?n2?n?3Sn?3n2?n?0,n?N?.
????(1)求a1的值;
(2)求数列?an?的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有
1111????.
a1?a1?1?a2?a2?1?an?an?1?3
20(本小题满分14分)
x2y2已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的一个焦点为
ab(1)求椭圆C的标准方程;
?5,0,离心率为
?5。 3(2)若动点P?x0,y0?为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
21.(本小题满分14分) 已知函数f(x)?13x?x2?ax?1(a?R) 3(1) 求函数f(x)的单调区间;
(2) 当a?0时,试讨论是否存在x0?(0,)
1211(,1),使得f(x0)?f() 22
参考答案
选择题
1-5BDBCA 6-10 CADDB 填空题
11. 5x?y?2?0 12.
2 513. 5 14. ?1,2?
15. 3
解答题 16.(1)
?5?32?f(x)?Asin(x?),且f()?.
3122
5?5??3?232 ?f()?Asin(?)?Asin?A??.12123422
?A?3.
(2)
??f(x)?3sin(x?),且f(?)?f(??)?3.
3
???f(?)?f(??)?3sin(??)?3sin(???)
33
?????????? ?3??sin?cos?cos?sin???sincos??cossin???33??33????
?
?3?2sin?cos?3sin??3. 3 3??sin??.且??(0,) 32
6?cos??1?sin2??.
3
???????? ?f(??)?3sin??????3sin?????3cos??663??6?2?
17. 解:(1)由图可知,众数为30.极差为:40-19=21. 1 9 2 3
8 8 8 9 9 9 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2
4 1
(2)根据表格可得:
19?28?3?29?3?30?5?31?4?32?3?40?30201?19?30?2?3?28?30?2?3?29?30?2?5?30?30?2?4?31?30?2??41?30?2?s2?20?13.05x???
18.解:证明:(1) ?PD?面ABCD,且PD?面PCD. ?面PCD?面ABCD,交线为CD.
又?四边形ABCD为矩形,AD?CD,AD?面ABCD
?MD?面PCD,又由于CF?面PCD
?MD?CF.
?MF?CF,且MD?MF?M
?CF?面MDF
解: ?MD?面PCD(2) 1?V??S?CDE?MD.M?CDE
3
?CF?面MDF,DF?面MDF.
?CF?DF
?在RT?PCD中,CD?1,PC?2
??PCD?60?,且CD?1
113?CF?,故PF?2??. 222 3?MF?. 2 10又?CF?MF,故利用勾股定理得:CM?
2
10619.解:(1)由 ?在RT?MDC中,CM?,CD?1,得DM?. 22又?F点位于CP的三分点,且PD?33.41133?S?CDE?CD?DE??1??.224812?VM?CDE?S?CDEDM?.316?E为PD的三分点,故DE?
2Sn?n2?n?3Sn?3n2?n?0,n?N?,令n?1,得S12?(?1)S1?6?0, 2即a1?a1?6?0.解得a1?2或a1??3,由于数列?an?为正项数列,所以a1?2;
????2(2)由Sn?n2?n?3Sn?3n2?n?0,n?N?,因式分解得?Sn?3?Sn?n2?2n?0
??????由数列?an?为正项数列可得Sn?n2?2n?0,即Sn?n2?2n,当n?2时,
2an?Sn?Sn?1?n2?2n???n?1??2?n?1???2n,由a1?2可得,?n?N?,an?2n
??(3)由(2)可知
11?
an?an?1?2n?2n?1??n?N?1111?11???????
an?an?1?2n?2n?1??2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?当n?1时,显然有
111??;
a1?a1?1?63当n?2时,
11??a1?a1?1?a2?a2?1??1
an?an?1??111?111???= ??2n?12n?1?322n?13?11?1111??????2??2?1?2?3557所以,对一切正整数n,有
1111????.
a1?a1?1?a2?a2?1?an?an?1?3c5?得:a?3,b?2.a320.解:(1) 22xy椭圆方程为:??194由c?5,e?设两个切点分别为A、B (2)①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A、B两点分别位于
椭圆长轴与短轴的端点,P点坐标为(?3,?2)
②当两条 切线斜率均存在时,设椭圆切线斜率为k,过点P的椭圆切线方程为y-y0?k(x?x0)?y-y0?k(x?x0)?联立?x2y2,得?1??4?922(9k2?4)x2?(18ky0?18k2x0)x?9k2x0?18kx0y0?9y0?36?0△?0?9k?4?(kx0?y0)?(x?9)k?2x0y0k?y?4?02y0?4设PA、PB斜率分别为k1、k2,则k1?k2?2x0?92y0?4又PA、PB互相垂直,?k1?k2?2?-1x0?922化简得x0?y0?13(x0??3)2220220
22又?P(?3,?2)在x0?y0?13上?点P在圆x?y?13上.
22
13f'?x??x2?2x?af'?x??0221.解:(1)由f?x??x?x?ax?1,求导得,令
3即x2?2x?a?0,??4?4a,
'① 当??0,即a?1时,f?x??0恒成立,f?x?在R上单调递增; 2② 当??0,即a?1时,方程x?2x?a?0的两根分别为:
x1??1?1?a,x2??1?1?a,
?当x???1?当x???1?当x???,?1?1?a,f?'?x??0,f?x?单调递增;
1?a,?1?1?a,f'?x??0,f?x?单调递减; 1?a,??,f'?x??0,f?x?单调递增。
??(3) 当a?0时,由(1),令x1??1?1?a?1,解得a??3.
①当a??3时,1??1?1?a,由(1)的讨论可知f?x?在?0,1?上单调递减,此时不存在x0??0,?????1?2??1??1?,1?,使得f?x0??f?? ?2??2?
②当?3?a?0时,在?1?1?a,11??1?1?a,f?x?在0,?1?1?a递减,递增, f?1??f?????1125?1?1x?(0,)(,1),使得,依题意,要存在fx?a???0?2224?2?22525?1?1,于是有f???a??0,解得a??122224??1f(x0)?f(),只需f?1??2?
25?a?0即为所求。 12
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