2014高考广东卷文科数学真题及答案解析1

2014高考广东卷文科数学真题及答案解析

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M??2,3,4?,N??0,2,3,5?,则M?N（ ）

A. ?0,2? B. ?2,3? C. ?3,4? D. ?3,5? （2）已知复数z满足(3?4i)z?25，则z?（ ）

A.?3?4i B. ?3?4i C. 3?4i D. 3?4i

????（3）已知向量a?(1,2),b?(3,1)，则b?a?（ ）

A. (?2,1) B. (2,?1) C. (2,0) D. (4,3)

?x?2y?8?（4）若变量x,y满足约束条件?0?x?4则z?2x?y的最大值等于（ ）

?0?y?3?A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 5.下列函数为奇函数的是（ ）

xA.2?132x B.xsinx C.2cosx?1 D.x?2 x26.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）

A.50 B.40 C.25 D.20

inA?sinB”7.在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a?b”是“s的（ ）

A.充分必要条件 B.充分非必要条件

C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

x2y2x2y2??1与曲线??1的（ ） 8.若实数k满足0?k?5，则曲线

165?k16?k5A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

9.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1?l2,l2∥l3,l3?l4,则下列结论一定正确的是（ ）

A．l1?l4 B.l1∥l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定

10.对任意复数w1,w2,定义?1??2??1?2,其中?2是?2的共轭复数，对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题：

①(z1?z2)?z3?(z1?z3)?(z2?z3);②z1?(z2?z3)?(z1?z2)?(z1?z3)； ③(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3);④z1?z2?z2?z1；

则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11—13题）

11.曲线y??5e?3在点?0,?2?处的切线方程为________.

x12.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，则取字母a的概率为________.

13.等比数列?an?的各项均为正数，且a1a5?4，则

log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为

2?cos2??sin?与?cos??1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，

建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2的直角坐标为________

15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且

EB?2AE,AC与DE交于点F则

?CDF的周长?______

?AEF的周长

三.解答题：本大题共6小题，满分80分 16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?Asin(x?（1） 求A的值；

（2） 若f(?)?f(??)?3,??(0,

17（本小题满分13分）

某车间20名工人年龄数据如下表： 年龄（岁）

19 28 29 30 31 32 40 合计

工人数（人）

1 3 3 5 4 3 1 20

?3),x?R，且f(5?32 )?122?2)，求f(?6??)

（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；

（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差.

18（本小题满分13分）

如图2，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. （1） 证明：CF⊥平面MDF （2） 求三棱锥M-CDE的体积.

19.（本小题满分14分）

设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，且Sn满足

2Sn?n2?n?3Sn?3n2?n?0,n?N?.

????(1)求a1的值；

(2)求数列?an?的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有

1111????.

a1?a1?1?a2?a2?1?an?an?1?3

20（本小题满分14分）

x2y2已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的一个焦点为

ab（1）求椭圆C的标准方程；

?5,0，离心率为

?5。 3（2）若动点P?x0,y0?为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

21.(本小题满分14分) 已知函数f(x)?13x?x2?ax?1(a?R) 3（1） 求函数f(x)的单调区间；

（2） 当a?0时，试讨论是否存在x0?(0,)

1211(,1)，使得f(x0)?f() 22

参考答案

选择题

1-5BDBCA 6-10 CADDB 填空题

11. 5x?y?2?0 12.

2 513. 5 14. ?1,2?

15. 3

解答题 16.（1）

?5?32?f(x)?Asin(x?),且f()?.

3122

5?5??3?232 ?f()?Asin(?)?Asin?A??.12123422

?A?3.

（2）

??f(x)?3sin(x?),且f(?)?f(??)?3.

3

???f(?)?f(??)?3sin(??)?3sin(???)

33

?????????? ?3??sin?cos?cos?sin???sincos??cossin???33??33????

?

?3?2sin?cos?3sin??3. 3 3??sin??.且??（0，） 32

6?cos??1?sin2??.

3

???????? ?f(??)?3sin??????3sin?????3cos??663??6?2?

17. 解：（1）由图可知，众数为30.极差为：40-19=21. 1 9 2 3

8 8 8 9 9 9 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2

4 1

（2）根据表格可得：

19?28?3?29?3?30?5?31?4?32?3?40?30201?19?30?2?3?28?30?2?3?29?30?2?5?30?30?2?4?31?30?2??41?30?2?s2?20?13.05x???

18.解：证明：（1） ?PD?面ABCD,且PD?面PCD. ?面PCD?面ABCD,交线为CD.

又?四边形ABCD为矩形，AD?CD,AD?面ABCD

?MD?面PCD,又由于CF?面PCD

?MD?CF.

?MF?CF,且MD?MF?M

?CF?面MDF

解： ?MD?面PCD（2） 1?V??S?CDE?MD.M?CDE

3

?CF?面MDF,DF?面MDF.

?CF?DF

?在RT?PCD中，CD?1,PC?2

??PCD?60?,且CD?1

113?CF?,故PF?2??. 222 3?MF?. 2 10又?CF?MF,故利用勾股定理得：CM?

2

10619.解：（1）由 ?在RT?MDC中，CM?,CD?1,得DM?. 22又?F点位于CP的三分点,且PD?33.41133?S?CDE?CD?DE??1??.224812?VM?CDE?S?CDEDM?.316?E为PD的三分点，故DE?

2Sn?n2?n?3Sn?3n2?n?0,n?N?，令n?1，得S12?(?1)S1?6?0， 2即a1?a1?6?0.解得a1?2或a1??3，由于数列?an?为正项数列，所以a1?2；

????2（2）由Sn?n2?n?3Sn?3n2?n?0,n?N?，因式分解得?Sn?3?Sn?n2?2n?0

??????由数列?an?为正项数列可得Sn?n2?2n?0，即Sn?n2?2n，当n?2时，

2an?Sn?Sn?1?n2?2n???n?1??2?n?1???2n，由a1?2可得，?n?N?，an?2n

??（3）由（2）可知

11?

an?an?1?2n?2n?1??n?N?1111?11???????

an?an?1?2n?2n?1??2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?当n?1时，显然有

111??;

a1?a1?1?63当n?2时，

11??a1?a1?1?a2?a2?1??1

an?an?1??111?111???= ??2n?12n?1?322n?13?11?1111??????2??2?1?2?3557所以，对一切正整数n，有

1111????.

a1?a1?1?a2?a2?1?an?an?1?3c5?得：a?3,b?2.a320.解：（1） 22xy椭圆方程为：??194由c?5,e?设两个切点分别为A、B （2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于

椭圆长轴与短轴的端点，P点坐标为（?3,?2）

②当两条 切线斜率均存在时，设椭圆切线斜率为k，过点P的椭圆切线方程为y-y0?k(x?x0)?y-y0?k(x?x0)?联立?x2y2，得?1??4?922（9k2?4）x2?(18ky0?18k2x0)x?9k2x0?18kx0y0?9y0?36?0△?0?9k?4?(kx0?y0)?(x?9)k?2x0y0k?y?4?02y0?4设PA、PB斜率分别为k1、k2，则k1?k2?2x0?92y0?4又PA、PB互相垂直，?k1?k2?2?-1x0?922化简得x0?y0?13（x0??3)2220220

22又?P（?3,?2）在x0?y0?13上?点P在圆x?y?13上.

22

13f'?x??x2?2x?af'?x??0221.解：（1）由f?x??x?x?ax?1，求导得，令

3即x2?2x?a?0，??4?4a，

'① 当??0，即a?1时，f?x??0恒成立，f?x?在R上单调递增； 2② 当??0，即a?1时，方程x?2x?a?0的两根分别为：

x1??1?1?a，x2??1?1?a，

?当x???1?当x???1?当x???,?1?1?a,f?'?x??0,f?x?单调递增；

1?a,?1?1?a，f'?x??0，f?x?单调递减； 1?a,??,f'?x??0,f?x?单调递增。

??（3） 当a?0时，由（1），令x1??1?1?a?1，解得a??3.

①当a??3时，1??1?1?a，由（1）的讨论可知f?x?在?0,1?上单调递减，此时不存在x0??0,?????1?2??1??1?,1?，使得f?x0??f?? ?2??2?

②当?3?a?0时，在?1?1?a,11??1?1?a，f?x?在0,?1?1?a递减，递增， f?1??f?????1125?1?1x?(0,)(,1)，使得，依题意，要存在fx?a???0?2224?2?22525?1?1，于是有f???a??0，解得a??122224??1f(x0)?f()，只需f?1??2?

25?a?0即为所求。 12

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