电子教案1

第七章：空间解析几何向量代数

本章知识点

1、几种常用的曲线。 2、曲面极其方程示例。

3、空间曲线（直线）极其方程示例。 4、二次曲面示例。

重点：向量运算、平面及其方程、空间直线及其方程 难点：曲面及其方程

7.1向量及其线性运算 一、向量概念

1、向量的概念 既有大小又有方向的量 向量的模a 零向量

二、向量的线性运算

1、 向量的加减法 1）交换律:a?b?b?a

2）结合律(a?b)?c?a?(b?c)

3)a?0?a,a?(?a)?0

2、向量与数的乘法 结合律：?(?a)?(??)a

分配律：(???)a??a??a

?(a?b)??a??b

1a 单位向量a?0a

定理1 若向量a?0,则向量b与a平行的充要条件是：存在实数?,使得b??a

1

三、 空间直角坐标系

四、利用坐标作向量的线性运算

a??ax,ay,az? b?(bx,bybz)

a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz)

?a???ax,?ay,?az?

五、向量的模、方向角、投影 1、 向量的模与两点间的距离公式

222 向量的模 a?x?y?z

点间距离 d?(x1?x2)??y1?y2??(z1?z3)

2222、向量的模与方向余弦的坐标表示式

?11?a1a2a3??01） 方向余弦{cos?,cos?,cos?}??,,??{a1,a2,a3}?a?a

aa??aaa??2） 两非零向量夹角余弦的计算公式cosa,b?a1b1?a2b2?a3b3ab

?例1已知两点M1(2,2,2)和M2(1,3,0),计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角

2、 向量在轴上的投影

（1）定义 向量a在向量u上的投影 (a)u?acosa,u （2）性质 7.2 数量积 向量积

2

一、两向量的数量积 a?b?abcosa,b

(1)a?a?a

2(2)对非零向量a,b,a?b的充要条件是a?b?0

(3) 非零向量a与b垂直的充要条件是 a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0

例1 试用向量证明余弦定理

例2已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求?AMB

二、 向量的向量积 a?b?absina,b

两非零向量平行的充要条件是 a?b?0 向量叉乘运算律 （1）a?b??b?a

(?a)?b??(a?b)a?(?b)??(a?b) （2）

（3）

(a?b)?c?a?c?b?cc?(a?b)?c?a?c?b

ijk若a?{a1,a2,3},B{b1,b2b3},则a?b?a1a2a3

b1b2b3?x?2y?z?1?0例3 a?{2,1,?1}和b?{1,?1,2}，计算a?b 例 求直线l:?与平面

x?2y?z?1?0?S:x?2y?z?1?0的夹角?

3

7.3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 如果曲面S与三元方程

F(x,y,z)?0(1)

有下述关系：

1. 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)； 2. 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)，

那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。

二、旋转曲面 旋转曲面方程

设平面曲线 l :

绕z轴旋转,则旋转曲线方程为

例 1 试建立顶点在坐标原点O旋转轴为z轴，半顶角为?圆锥面方程。

三、柱面

母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x

轴,准线为 的柱面.

?x2?y2?R2例 2 求以曲线L:?为准线，以a?{1,1,1}为母方向的柱面方程

z?0?

四、 二次曲面

4

我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形状，我们通常采用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。 1 椭球面

方程 2 抛物面

所表示的曲面叫做椭球面。

方程

3 双曲抛物面

（p 和q 同号）所表示的曲面叫做抛物面。

方程 4 双曲面

（p 和q 同号）所表示的曲面叫做双曲抛物面。

方程 所表示的曲面叫做单叶双曲面。

方程 5 椭圆锥面

2222所表示的曲面叫做双叶双曲面。

xa?yb?z

27 .4 空间曲线及其方程 一、 空间曲线一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线。设 F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0

5

是两个曲面的方程，它们的交线为C。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组

（1）

反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。

二、

空间曲线的参数方程

1. t为参数.

1. 方程组 表示怎样的曲线?

三、 曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为

由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为： H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0

表示曲线C在xOy面上的投影,

表示曲线C在yOz面上的投影,

6

表示曲线C在xOz面上的投影。

222??x?y?z?1例 求两球面的交线?在xoy平面上的投影

222??x?y?(z?1)?1

7．5平面及其方程 一、点法式方程：

。

二、一般方程

Ax+By+Cy+D=0，其中{A，B，C}是平面法向，

例 1 求通过x轴和点(4,?3,?1)平面方程

截距式方程：

。

三点式方程：

已知平面过空间三点，，，则平面方程为

7

例2 求过x轴且垂直与平面5x?4y?2z?3?0的平面方程

三、

两平面的夹角

n1?n2n1?n2两平面的夹角 cos??

点到平面的距离

P0?xo,y0,z0? 平面s:Ax?By?Cz?D?0

d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222

7．6空间直线及其方程 一、

空间直线的一般方程

?A1x?B1y?C1z?D1?0 ? ?A2x?B2y?C2z?D2?0二、空间直线的对称式方程与参数方程

对称式方程

x?x0m?y?y0n?z?z0l

?x?x0?mt?参数式方程 ?y?y0?nt?z?z?lt0?t?(??,??)

例1 设直线l的方向向量{0,1,2},且过点(0,1,3),求l的标准方程

8

例2 将直线的一般方程

?x?y?z?1?0 ?

2x?y?3z?4?0?化为对称方程与参数方程

三、两直线的夹角

a?ba?b两直线的夹角 cos??

例3 求直线L1x?11?y?4?z?31和L2:x2?y?2?2?z?1的夹角。

四、直线与平面的夹角

a?nan直线与平面夹角 sin??

第八章：多元函数微分法及其应用

本章知识点

1、多元函数的极限与连续性 2、偏导数的定义与计算 3、多元复合函数求导 4、隐函数求导

5、微分法在几何上的应用 6、多元函数的极值

重点：全微分、多元复合函数求导、多元函数的极值 难点：多元复合函数求导 8.1 多元函数的基本概念 一、

平面点集 n维空间

1、平面点集

(1)邻域 (2)区域 (3)内点 （4）外点 （5）聚点 (6)连通集 (7)有界集

9

2、n维空间

nR?R?R???R??(x1,x2,?,xn)xi?R,i?1,2,?,n?.

二、 多元函数的概念

2定义 设D是R的一个非空的子集，称映射f:D?R为定义在D上的二元函数，通常记为

z?f(x,y) (x,y)

三、多元函数的极限

定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式

的一切点P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|<ε

成立，则称常数A为函数f(x,y)当 x→x0,y→y0时的极限，记作或f(x,y) →A (ρ→0),这里ρ=|PP0|。

sin(x,y)x

例 1 求

(x,y)?(0,2)lim

四、多元函数的连续性

定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D。 如果

则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。

10

例2 求极限I?limxy?1?1xy.

x?0y?0 有界闭区域上连续函数的性质

性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。

性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。

8.2 偏导数

一、偏导数的概念与计算

定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),

如果

存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作

或 fx（x0，y0）。

对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。

例1 求函数z?x?3xy?y在点(1,2)处的偏导数

22xy??22例4 验证函数f(x,y)??x?y?0?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在(0,0)点的偏导数都为0,但在点

(0,0)不连续

11

二、 高阶偏导数

定理 如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 例1 求z?x3y2?3xy3?xy?1的二阶偏导数

在区域D内连续，那末在该

例2 验证函数z?lnx?y22满足方程

?z?x22??z?y22?0

8.3 全微分 1、全微分的概念

定义 如果函数z?f(x,y)在点(x,y)的全增量

?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)

可表示为

?z?A?x?B?y?o(?),

其中A,B不依赖于?x,?y而仅与x,y有关，??(?x)?(?y),则称函数z?f(x,y)在

22点(x,y)可微分，而A?x?B?y.称为函数z?f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz,即

dz?A?x?B?y.

定理1 若函数f(x,y)在点(x,y)可微，则函数f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在，且

fx(x,y)?A,fy(x,y)?B

12

定理2 如果函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数连续，则函数f(x,y)在点(x0,y0)可微

例1 求函数z?x2y?y2的全微分 3、全微分在近似计算中的应用

f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y

例2 求ln(31.03?

40.98?1)的近似值

8.4 多元复合函数的求导法则

1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形。

定理1 如果函数u=φ(t)及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(t), ψ(t)]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：

2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形。

定理2 如果函数u??(x,y)及v??(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z?f[?(x,y),?(x,y)]的两个偏

导数存在，且有

?z?x?z?u?u?x?z?v?v?x ??,

3、 复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元的情形。

定理3 如果函数u??(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,v??(y)在点y

13

可导，z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z?f[?(x,y),?(y)]的两个偏导数存在,且有

?z?x?z?y??z?u?u?x?z?u?u?y,

???zdv?vdy,

例1 设z?eusinv,u?xy,v?x?y,求zx,zy.

dzdt例4 设z?uv?sint,u?et,v?cost,求全导数全微分形式的不变性

.

如果函数u?u(x,y),v?v(x,y),z?f(u,v)分别有连续的偏导数，则复合函数

?z?x?z?yz?f[u(x,y),v(x,y)]的全微分为dz?dx?dy

而

?z?x??z?u?u?x??z?v?v?x ,

?z?y??z?u?u?y??z?v?v?y

8.5 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形

隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0，则方程F(x,y) = 0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足条件y0 = f(x0)，并有

。

上面公式就是隐函数的求导公式。

14

隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0，则方程F(x,y,z) = 0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z = f(x,y)，它满足条件z0 = f(x0,y0)，并有

。

例 1x?y?z?4z?0求

222?z?x22

三、 方程组的情形

隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续的偏导数，又 F(x0,y0,u0,v0)?0，G(x0,y0,u0,v0)?0且偏导数所组

?F?F?v在点P(x,y,u,v)不等于零则有

0000?G?v?(F,G)成的函数的行列式 J???u?G?(u,v)?u

。

?u?x?v?y例 2xu?yv?0,yu?xv?1求,

8.6 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面

15

设空间曲线Г的参数方称为 x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，

这里假定上式的三个函数都可导。在曲线Г上取对应于t=t0的一点M（x0，y0，z0）。 曲线在点M处的切线方程 x?x0y?y0z?z0

???t0????(t0)???(t0)

切线的方向向量称为曲线的切向量。向量 T={φ'（t0），ψ'（t0），ω'（t0）} 就是曲线Г在点M处的一个切向量。

通过点而与切线垂直的平面称为曲线Г在点M处的法平面，它是通过点M（x0，y0，z0）而以T为法向量的平面 法平面的方程

φ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）= 0。 例 求曲线x?t,y?t,z?t在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。 二、 曲面的切平面与法线

设曲面Σ由方程F（x,y,z）= 0给出，M（x0，y0，z0）是曲面Σ上的一点，并设函数F（x,y,z）的偏导数在该点连续且不同时为零。则根据解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平面称为曲面Σ在点M的切平面。这切平面的方程是 Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）= 0 通过点M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是x=3 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。向量 n = {Fx（x0，y0，z0），Fy（x0，y0，z0），Fz（x0，y0，z0）} 就是曲面Σ在点M处的一个法向量。

22223例1 求球面x?y?z?14在点P0(1,2,3)处的切平面方程与法线方程。

16

8.7 方向导数与梯度 一、

方向导数

定理 如果函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微分，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数存在，且有

?f?l(x0.y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos?

二、 梯度

gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j ?f?l(x0.y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos?=gradf(x0,y0)?e

7.8 多元函数极值的求法 一、

多元函数的极值及最大值、最小值

定义 设函数z?f(x,y)的定义域为D,PO(x0,y0)为D的内点，若存在p0的某个邻域U(P0)?D,使得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y),都有

f(x,y)?f(x0,y0),

则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极大值f(x0,yo),点(xo,yo)称为函数f(x,y)的极大值点。

极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。

定理1（必要条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。

定理2（充分条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令

17

fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C， 则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

（1）AC-B>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； （2）AC-B<0时没有极值；

（2）AC-B=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下： 第一步 解方程组

fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，

求得一切实数解，即可求得一切驻点。

第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C。

第三步 定出AC-B的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。

33222

222

例1 求函数f(x,y)?x?y?3x?3y?9x的极值。 2、 多元函数最值问题应用举例

例 2某工厂用钢板制造一个体积为2立方米的有盖长方盒，问怎样选取、宽、高才最省钢板。

例 3有一块宽为24的长方形铁片，把它两边宽为x的边缘分别向上折成一个水槽，问x和?多大时使水槽的横截面面积S最大。 二、 条件极值 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法 要找函数z = f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数

F（x,y）= f(x,y)+λφ(x,y) ，

其中λ为某一常数。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程φ(x,y) = 0联立起来：

18

有这方程组解出x，y及λ，则其中x，y就是函数f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0下的可能极值点的坐标。

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。

至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

第九章：重积分 本章知识点

1、二重积分的概念和性质。 2、二重积分的计算方法。 3、二重积分的应用。

4、三重积分的概念及计算方法。 重点:重积分的计算 难点：重积分的计算

9.1 二重积分的概念与性质 一、 二重积分的概念

为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。 1、平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy>面上的闭区域D>，它在点（x>，y>）处的面密度为ρ（x>，y>），这里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上连续。现在要计算该薄片的质量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =>ρS>）来计算。但ρ（x>，y>）是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域D s i>的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片。在D s i>（这小闭区域的面积也记作D s i

>）上任取一点（x i>，h i>），则ρ（x i>，h i>）D s i>

（i = 1>，2>，?，n）可看作第i>个小块的质量的近似值[插图1]。通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M>，

19

即 >

。

2、曲顶柱体体积

>再设有一立体，它的底是xOy>面上的闭区域D>，它的侧面是以D>的边界曲线为准线而母线平行于z>轴的柱面，它的顶是曲面z = f>（x>，y>），这里f>（x>，y>）? 0>且在D>上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V>。

>由于曲顶柱体的高f>（x>，y>）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D>分成n个小闭区域D s 1 ，D s 2>，?，D s n>，在每个D s i>上任取一点（x i>，h i>），则f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作以f>（x i>，h i>）为高而底为D s i>的平顶柱体的体积>[插图>2]>。通过求和，取极限，便得出 >

。

上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。

> 定义 >设f>（x>，y>）是有界闭区域D>上的有界函数。将闭区域D>任意分成n>个小闭区域

>D s 1 ，D s 2>，?，D s n>，

>其中D s 也表示它的面积。在每个D s （x h ，i>表示第i>个小闭区域，i>上任取一点i>，i>）

作乘积 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >?, n,>），并作和。如果

当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f>（x>，

y>）在闭区域D>上的二重积分，记作，即

>。（*>）

20

>其中f>（x>，y>）叫做被积函数，f>（x>，y>）ds >叫做被积表达式，ds >叫做面积元素，

x>与y>叫做积分变量，D>叫做积分区域，叫做积分和。

>在二重积分的定义中对闭区域D>的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D>，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i>的边长为D xj>和D yk>，则D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds >记作dxdy>，而把二重积分记作 >

>其中dxdy>叫做直角坐标系中的面积元素。

>这里我们要指出，当f>（x>，y>）在闭区域D>上连续时，（*>）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f>（x>，y>）在D>上的二重积分必定存在。 >

二、 二重积分的性质

二重积分与定积分有类似的性质：

>性质1 >被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即

> >（k>为常数）。

>性质2 >函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。例如 >

。

>性质3 >如果闭区域D>被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D>上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D>分为两个闭区域D1>与 D2>，则 >

。

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

21

>性质4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 为D>的面积，则 >

。

>此性质的几何意义很明显，因为高为1>的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。 >性质5 >如果在D>上，f>（x>，y>）? j >（x>，y>），则有不等式 >

。

特殊地，由于

>- | f>（x>，y>）| >? f>（x>，y>）? | f>（x>，y>）|>， > 又有不等式

。

>性质6 >设M>，m>分别是f>（x>，y>）在闭区域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面积，则有 >

。

上述不等式是对二重积分估值的不等式。

>性质7>（二重积分的中值定理） >设函数f>（x>，y>）在闭区域D>上连续，s 是D>的面积，则在D>上至少存在一点（x ，h ）使得下式成立： >

9.2 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。

22

一、 利用直角坐标计算二重积分

下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。

在讨论中我们假定f（x，y）? 0。并设积分区域D可以用不等式 j 1（x）? y ? j 2（x），a?x?b

其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。

我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。 为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形中阴影部分），所以这截面的面积为

。

一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

，

于是，得曲顶柱体的体积为

。

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式

。（1）

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作

。

因此，等式（1）也写成

23

，（1’）

在上述讨论中，我们假定f（x，y）? 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。 类似地，如果积分区域D可以用不等式 ψ1（y）? x ? ψ2（y），c?y?d

其中函数ψ1（y）、 ψ2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有

。

上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作

。

因此，等式（2）也写成

，（2’）

这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。

如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得

。

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分

。

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。

24

例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域。

例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。 二、利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标

变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分按二重积分的定义有

。

，

由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式为

(1)0?r?φ（θ），α?θ?β

。

(2)0?r?φ（θ），0?θ?2π

。

25

由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为

。

在极坐标系中，面积元素ds = rdrdθ，上式成为

。

。

特别地，如果闭区域D如图9-2-8所示，则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是

。

例3 计算

，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。

例4 求球体x+y+z?4a圆柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 9.3三重积分 一、

三重积分的概念

222222

定义 设f(x,y,z)空间有界闭区域?上的有界函数。将?任意分成n个小闭区域

?v1,?v2,?,?vn,

其中?vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在每个?vi上任取一点(?i,?i,?i),作乘积

nf(?i,?i,?i)?vi(i?1,2,?,n),并作和?f(?i,?i,?i)?vi.如果当各个小闭区域直径中的

i?1 26

最大值?趋于零时这和的极限为函数f(x,y,z)在闭区域?上的三重积分。记作

????f(x,y,z)dx.

三、 三重积分的计算

1． 利用直角坐标计算三重积分

???(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?Dxy?.

F(x,y)??z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

??Dz2(x,y)?F(x,y)d?????f(x,y,z)dz?d? ???z1(x,y)?DxyDxy??(x,y)y1(x)?y?y2(x),a?x?b?

????f(x,y,z)dv??badx?y2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

例1 计算三重积分???xdxdydz,其中?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的

?区域。

2． 利用柱面坐标计算三重积分

????f(x,y,z)dxdydz????F(?,?,z)?d?d?dz,

?例2 利用柱面坐标计算三重积分???zdxdydz,其中?是由曲面z?x2?y2与平面

?z?4所围成的闭区域。

3、 用球面坐标计算三重积分

???f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d?,

??2例3 求半径为a的球面与半顶角为a的内接锥面所围成的立体的体积。 9．4. 重积分的应用

27

一、 曲面的面积

曲面S z?f(x,y)

曲面面积 A???1?fx(x,y)?fy(x,y)d?

22D例1 求半径为a的球的表面积。 二、质心、转动惯量、引力

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