2013年广东省华师附中、广东实验中学、广雅中学及深圳中学高三上学期期末联考文科数学

广东省高三上学期期末四校联考文科数学 命题学校：广东实验中学 命题人：杨庆元

一、选择题：

1. 若复数z (x2 1) (x 1)i为纯虚数，则实数x的值为 （ ） A． 1 B．0 C．1 D． 1或1

x2 1 01.A;解析:由 x 1 故选A

x 1 0

2. 已知集合M 1,2,3 ，N 2,3,4 ，则 A．M N B．N M C．M2.C;解析:M

N 2,3 D．MN 1,4

N 1,2,3 2,3,4 2,3 ,故选C.

3. 某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人. 现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为 A．5,10,15 B．3,9,18 C．3,10,17 D．5,9,16 3.B; 解析：高：中：初=15:45:90=1:3:6 4. “

6

”是“cos2

1

”的 2

A． 充分而不必要条件 C． 充分必要条件 4.A;解析： 当

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

631

反之，当cos2 时，有2 2k k k Z ，

236

或2 2k

时，cos2 cos

1

， 2

3

k

6

k Z ，故应选A.

2

y2

1的离心率为 5．已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x m

A．

5或 22

2

B．

3

C． D．或5 22

5.D;解析：m 16 m 4,故选择D。 6. 函数y 2cos(x

2

4

) 1是

A．最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为

的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数

22

6.A；解析：因为y 2cos2(x

2

,所以选A. ) 1 cos 2x sin2x为奇函数,T 242

7．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图 所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A．63 B．64 C．65

7.A

8．设Sn为等比数列 an 的前n项和，已知3S3 a4 2，3S2 a3 2，则公比q A、3 B、4 C、5 D、6 8.B；

9．如图所示，已知三棱柱ABC A1在底面 1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A

D．66

ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

（A

3（B

（C

49.D;解：连结A1D，AD，易知 A1AB为异面直线AB与CC1所成的角,则cos A1AB cos A1ADcos DAB 故选D；

3

，4

10．下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A,B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0,1），如图3.图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的像就是n，记作f(m) n。则在下列说法中正确命题的个数为 （ ） ①

1 1

f 1；②f(x)为奇函数；③f(x)在其定义域内单调递增；④f(x)的图像关于点 ,0 对称。

2 4

A．1 B．2 C．3 D．4

10.B；解析：仅有③④正确。 二、填空题：

11. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

。。。

则第n个图案中有白色地面砖的块数是 ( ) 11. 4.解析：将第n个图案先看做是n个第1个图案，则共有6n个白色图案，再结合第n个图案， n 2 可知共有6n-2(n-1)=4n+2个白色图案。

x2

x),b (1,t)，若函数f(x) a b在区间( 1,1)上存在增区间，则t 的取值范围为12. 已知向量a (e+2

x

_________.

x2

tx,x ( 1,1)， 12.( ,e 1);解析：f(x) e 2

f'(x) ex x t，函数在(x1,x2) ( 1,1)上单调递增，故ex x t,x (x1,x2)时恒成立，故e 1 t

x

13．若

4

x

2

，则函数y tan2xtan3x的最大值为 。

13.-8;解:令tanx t,

4

x

2

t 1,

2tan4x2t4222

y tan2xtanx 8． 22

1 tanx1 t ( 2 ttt244

3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分为12分）

已知函数f(x) 2sin( x)cosx. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间

, 上的最大值和最小值. 62

16解析：（Ⅰ）∵f x 2sin x cosx 2sinxcosx sin2x， ∴函数f(x)的最小正周期为 .

sin2x 1，

623

∴f(x)在区间 , 上的最大值为1

，最小值为 2 62

（Ⅱ）由

x

2x

，∴

17．（本小题满分12分）

袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已1知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是2(1)求n的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．

n117.解：(1)由题意可知：n＝2.

1＋1＋n2

(2) 不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，

事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个． 41

∴P(A)123

18．（本小题满分14分）

已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形， PD 平面ABCD，PD 6,E,F分别为PB,AB中点。

(1)证明：BC 平面PDC; (2)求三棱锥P DEF的体积。

18.解：（1）PD 平面ABCD,BC 平面ABCD PD BC 2分 又底面ABCD是正方形，故BC CD .4分 PD,DC相交 5分 故BC 平面PDC .6分

（2）E为PB中点，故P,B两点到平面DEF的距离相等 8分 故VP DEF VB DEF VE BDF 12分

1

PD 3且EE'//PD，又PD 平面ABCD 2

1

故EE' 平面ABCD，又S BDF 4 2 4

2

1

故VP DEF VE BDF 4 3 4 14分

3

设BD中点E'，则EE' 19．（本小题满分14分） 已知函数f(x) (Ⅰ) 若点(1,

13

x ax2 bx(a,b R) 。 3

11

)在函数y f(x)图象上且函数在该点处的切线斜率为-4,求y f(x)的极大值； 3

(Ⅱ)若y f(x)在区间[－1,2]上是单调减函数,求a b的最小值。

19解：(Ⅰ)∵f (x) x 2ax b, 1分 ∴ 由题意可知：f (1) 4且f(1)

2

11

, 3

1 2a b 4,

a 1

∴ 1 ， 3分 11得：

b 3 a b , 3 3

1322

∴f(x) x x 3x,f (x) x 2x 3 (x 1)(x 3).

3

令f (x) 0，得x1 1,x2 3，

由

∴ 当x=－1时, f(x)取极大值

6分 3

(Ⅱ) ∵y f(x)在区间[－1，2]上是单调减函数，

∴f (x) x2 2ax b 0 在区间[－1，2]上恒成立. 7分 根据二次函数图象可知f ( 1) 0且f (2) 0， 即：

1 2a b 0, 2a b 1 0,

也即 9分

4 4a b 0, 4a b 4 0.

作出不等式组表示的平面区域如图： 11分

1

当直线z a b经过交点P(－, 2)时，

2

z a b取得最小值z

13

2 22

3

∴z a b取得最小值为2

20．（本小题满分14分）

x2y2 已知椭圆2 2 1(a b 0)的左焦点为F(,离心率ab（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：直线OM与ON的斜率之积为 OP OM 2ON，为定值？，若存在，求出F1,F2的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若M在第一象限，且点M,N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN MB；

1

，问：是否存在定点F1,F2，使得PF1 PF22

c

20.解：（Ⅰ）由题设可知： ca 2,c 2分

2 a

故b a c 2 3分

2

2

2

x2y2

1 4分 故椭圆的标准方程为：42

（Ⅱ）设P(xp,yP),M(x1,y1),N(x2,y2)，由OP OM 2ON可得：

xP x1 2x2

.............① 5分

yP y1 2y2

由直线OM与ON的斜率之积为

1

可得： 2

y1y21

，即x1x2 2y1y2 0............② 6分 x1x22

222222 由①②可得：xP 2yP x1 2x2 2 y1 2y2 (x1 2y1) (x2 2y2)

2

2

222

M、N是椭圆上，故x1 2y12 4,x2 2y2 4 22

xPyP

1 ..8分 故x 2y 8，即84

2

P2P

由椭圆定义可知存在两个定点F1( 2,0),F2(2,0)，使得动点P

到两定点距离和为定值; .9分； （Ⅲ）设M(x1,y1),B(x2,y2)

由题设可知x1 0,y1 0,x2 0,y2 0,x1 x2,A(x1,0),N( x1, y1) ..10分 由题设可知lAB斜率存在且满足kNA kNB kMN kMB 1

y1y y

21 .③ 2x1x2 x1

y1y2 y1

1.........④ 12分 x1x2 x1

将③代入④可得：

22

2(y2 y1)y2 y1(x2 2y2) (x12 2y12)

⑤ .13分 kMN kMB 1 1 2

x2 x1x2 x1x2 x1222x2y2(x2 2y2) (x12 2y12)4 4 1，故kMN kMB 1 点M,B在椭圆 0 2242x2 x12x2 x12

所以kMN kMB 1 0 kMN kMB 1 MN MB 14分

21．（本小题满分14分）

n n

已知数列 an ，an (n 1,2,...)，其中 , 是方程x2 x 1 0的两个根.

（1）证明：对任意正整数n，都有an 2 an 1 an；

（2）若数列 an 中的项都是正整数，试证明：任意相邻两项的最大公约数均为1； 21.证明：（1） , 是方程x x 1 0的两个根，

2

n+2 n 1 n n+2 n 1 n

故对任意正整数n，an 2 (an 1 an)

n 2 1

n

2

1

0 0

0

故an 2 an 1 an；

（2）由（1）与更相减损术可得：对任意正整数n，

an 2,an 1 an 1 an,an 1 an,an 1 an,an 1 a2,a1 a2,1 1 故命题成立；

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