《离散数学》练习题和参考答案

《离散数学》练习题和参考答案

一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )

(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P?(P?Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( )

(1)(┐P?Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P?Q)→P (4)P→(P?Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P?Q (2) P?Q=>P (3) P?Q=>P?Q

(4)P?(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P?(P?Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)?B(y，x))? ?z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )

北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是

6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死

7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） ?Q?P （2） P??Q （3） P??Q （4）?P?Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)

答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：

(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )

(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ）

(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P?Q)?(?P??Q)化简为（ ），公式 Q?(P?(P?Q))可化简为（ ）。答：?P ，Q?P 14、谓词公式?x(P(x)? ?yR(y))?Q(x)中量词?x的辖域是（ ）。答：P(x)? ?yR(y)

15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ）。

1

答：??x(R(x)?Q(x)) （集合论部分）

16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ ）。

(1) {a}?P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}?P(A) (4) {{a}}?P(A) 答：(2) 17、在0（ ）?之间写上正确的符号。

(1) = (2) ? (3) ? (4) ? 答：(4) 18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（ ）。 答：32

2219、设P={x|(x+1)?4且x?R},Q={x|5?x+16且x?R},则下列命题哪个正确（ ）

(1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q 答：（3） 20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。

(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c} (5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0} 答：A1=A2=A3=A6， A4=A5

21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( ) (1) A=Ф (2) B=Ф (3) A?B (4) B?A 答：（4）

22、判断下列命题哪个为真?( )

(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集

(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B，则A=B 答：（1）

23、判断下列命题哪几个为正确？( )

(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}} (4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}} 答：（2），（4）

24、判断下列命题哪几个正确？( )

(1) 所有空集都不相等 (2) {Ф}?Ф (4) 若A为非空集，则A?A成立。 答：（2）

25、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B( )C。 于）

26、判断下列命题哪几个正确？( ) (1) 若A∪B＝A∪C，则B＝C (2) {a,b}={b,a} (3) P(A∩B)?P(A)∩P(B) （P(S)表示S的幂集）

(4) 若A为非空集，则A?A∪A成立。 27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：

2

答：=（等答：（2）

(1) A?B，B?C=> A?C (2) A?B，B?C=> A∈B (3) A∈B，B∈C=> A∈C 答：（1） （二元关系部分）

28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求(1)R (2) R-1 。 答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R

?1={<1,1>,<2,4>}

29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( ) 答：A上的恒等关系

30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、对称性和传递性

31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、反对称性和传递性

32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)R?R (2) R-1 。 答：R?R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝ 33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R= {( )}。 答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>, <1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}

34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R (2) R-1 。 答：（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R

?1={<1,1>,<2,4>,(36>}

35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R-1的关系矩阵。

??100??000??000???00000?010??1???000?00100???0?答：R的关系矩阵=??000?? R

?1的关系矩阵=

??000000??

36、集合A={1,2,?,10}上的关系R={|x+y=10,x,y?A}，则R 的性质为（ ）。

(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的 （代数结构部分）

37、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )答：2，6

38、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )答：9，3

（半群与群部分）

39、设〈G,*〉是一个群，则

(1) 若a,b,x∈G，a?x=b，则x=( )；

(2) 若a,b,x∈G，a?x=a?b，则x=( )。 答： （1） a?1?b b

40、设a是12阶群的生成元， 则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。

3

。 ； 2） 答：

（

6,4

41、代数系统是一个群，则G的等幂元是( )。 答：单位元

42、设a是10阶群的生成元， 则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。 答：5，10

43、群的等幂元是( )，有( )个。 答：单位元，1

44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。 答：循环群，任一非单位元

45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则

(1) 若c?a=b，则c=( )；(2) 若c?a=b?a，则c=( )。 b

46、是的子群的充分必要条件是( )。

答：是群 或 ? a，b ?G， a?b?H，a-1?H 或? a,b ?G，a?b-1?H

47、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。 位元，0

48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。 49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）

(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 (1) 不可能是群 (2) 不一定是群

(3) 一定是群 (4) 是交换群 51、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。

(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶 （格与布尔代数部分）

52、下列哪个偏序集构成有界格（ ） (1) （N,?） (2) （Z,?）

(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),?) 53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4的倍数 (4) 2的正整数次幂 （图论部分）

54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图 (2) 树 (3) 平面图 (4) 连通图 55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( ) (1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1}

4

答：（1） b?a?1 (2)

答：1，单答：k

(3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}

56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。 答：所有结点一次且恰好一次

57、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。 答：以v为起点的边的条数， 以v为终点的边的条数 58、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定

59、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。

n(n?1)答：

2, n-1

60、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。 答：m=n-1

61、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 答：所有边一次且恰好一次

62、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。 答：2n-2

63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 答：(1)

64、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 答：n(n-1),2n-2

65、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 答：它是连通图

66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 答：（3）

67、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 答：2

68、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 答：1，树

69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 答：（1）

70、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。

5

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q??R)?(?P?Q?R)

?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(?P??Q??R)

(原公式否定的主合取范式) (P?Q?R)

?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(P??Q??R)

?(P??Q?R)?(P?Q??R)?(P?Q?R)(主析取范式)

16、(P?Q)?(P?R) 解、(P?Q)?(P?R)

?(?P?Q)?(?P?R) (合取范式)

?(?P?Q?(R??R)?(?P?(?Q?Q)?R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(?P?Q?R) ?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)(主合取范式)

(P?Q)?(P?R)

?(?P?Q)?(?P?R) ??P?(Q?R)(合取范式)

?(?P?(Q??Q)?(R??R))?((?P?P)?Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)

?(?P?Q?R)?(P?Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(P?Q?R)

(主析取范式)

三、证明：

1、P→Q，?Q?R，?R，?S?P=>?S 证明：

(1) ?R 前提 (2) ?Q?R 前提 ?Q （1），（2） P→Q 前提 ?P （3），（4） ?S?P 前提 (7) ?S （5），（6）

2、A→(B→C)，C→(?D?E)，?F→(D??E),A=>B→F 证明：

(1) A 前提

11

(2) A→(B→C) 前提

(3) B→C （1），（2） (4) B 附加前提 C （3），（4） C→(?D?E) 前提 ?D?E （5），（6） ?F→(D??E) 前提 F （7），（8） B→F CP

3、P?Q， P→R, Q→S => R?S 证明：

(1) ?R 附加前提 (2) P→R 前提 (3) ?P （1），（2） (4) P?Q 前提 (5) Q （3），（4） (6) Q→S 前提 (7) S （5），（6） (8) R?S CP，（1），（8）

4、(P→Q)?(R→S)，(Q→W)?(S→X)，?(W?X)，P→R => ?P 证明：

（1） P 假设前提 （2） P→R 前提 （3） R （1），（2） （4） (P→Q)?(R→S) 前提 （5） P→Q （4） （6） R→S （5） （7） Q （1），（5） （8） S （3），（6） （9） (Q→W)?(S→X) 前提 （10） Q→W （9） （11） S→X （10） （12） W （7），（10） （13） X （8），（11） （14） W?X （12），（13）

12

（15） ?(W?X) 前提

（16） ?(W?X)?(W?X) （14），（15）

5、(U?V)→(M?N), U?P, P→(Q?S)，?Q??S =>M 证明：

(1) ?Q??S 附加前提 P→(Q?S) 前提 ?P （1），（2） U?P 前提 U （3），（4） U?V （5） (U?V)→(M?N) 前提 M?N (6),(7) M （8）

6、?B?D，(E→?F)→?D，?E=>?B 证明：

(1) B 附加前提 (2) ?B?D 前提 (3) D （1），（2） (4) (E→?F)→?D 前提 (5) ?(E→?F) （3），（4） (6) E??F （5） (7) E （6） (8) ?E 前提 (9) E??E （7），（8） 7、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明：

（1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3） （5） R （2），（4） （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6） （8） S （2），（7） （9） Q→S CP，（2），（8）

13

（10） P→(Q→S) CP，（1），（9） 8、P→?Q，?P→R，R→?S =>S→?Q 证明：

（1） S 附加前提 （2） R→?S 前提 （3） ?R （1），（2） （4） ?P→R 前提 （5） P （3），（4） （6） P→?Q 前提 （7） ?Q (5），（6） （8） S→?Q CP，（1），（7） 9、P→(Q→R) => (P→Q)→(P→R) 证明：

(1) P→Q 附加前提 (2) P 附加前提 (3) Q (1),(2) (4) P→(Q→R) 前提 (5) Q→R (2),(4) (6) R (3),(5) (7) P→R CP,(2),(6) (8) (P→Q) →(P→R) CP,(1),(7)

10、P→(?Q→?R)，Q→?P,S→R,P =>?S 证明：

（1） P 前提 （2） P→(?Q→?R) 前提 （3） ?Q→?R (1)，(2) （4） Q→?P 前提 （5） ?Q (1)，(4) （6） ?R (3),(5) （7） S→R 前提 （8） ?S (6)，(7)

11、A，A→B， A→C， B→(D→?C) => ?D 证明：

（1） A 前提 （2） A→B 前提

14

（3） B (1)，(2) （4） A→C 前提 （5） C (1)，(4) （6） B→(D→?C) 前提 （7） D→?C (3)，(6) （8） ?D (5)，(7)

12、A→(C?B)，B→?A，D→?C => A→?D 证明：

（1） A 附加前提 (2) A→(C?B) 前提

(3) C?B （1），（2） B→?A 前提 ?B （1），（4） C （3），（5） D→?C 前提 ?D （6），（7） A→?D CP，（1），（8） 13、(P?Q)?(R?Q) ?（P?R）?Q 证明、

(P?Q)?(R?Q)

?(?P?Q)?(?R?Q) ?(?P??R)?Q

??（P?R）?Q

?(P?R)?Q

14、P?(Q?P)??P?(P??Q) 证明、 P?(Q?P)

??P?(?Q?P) ??(?P)?(?P??Q) ??P?(P??Q)

15、（P?Q）?（P?R），?(Q?R)，S?P?S 证明、

(1) （P?Q）?（P?R） 前提

（2） P? (Q?R) (1) （3） ?(Q?R) 前提

15

（4） ?P （2），(3) (5) S?P 前提 (6) S (4),(5) 16、P??Q，Q??R，R??S? ?P 证明、

(1) P 附加前提 （2） P??Q 前提 （3） ?Q （1），（2） （4） Q??R 前提 (5) ?R （3），（4） (6 ) R??S 前提 （7） R （6） （8） R??R （5），（7）

17、用真值表法证明Ｐ?Ｑ? (Ｐ?Ｑ)?(Ｑ?Ｐ) 证明、

列出两个公式的真值表：

P Q P?Q （P?Q）?（Q?P） F F T T F T F F T F F F T T T T 由定义可知，这两个公式是等价的。 18、P→Q?P→(P?Q) 证明、

设P→(P?Q)为F，则P为T，P?Q为F。所以P为T，Q为F ，从而P→Q也为F。所以P→Q?P→(P?Q)。 19、用先求主范式的方法证明(P→Q)?(P→R) ? (P→（Q?R） 证明、

先求出左右两个公式 的主合取范式 (P→Q)?(P→R) ?(?P?Q)?(?P?R)

?(?P?Q?(R??R)))?(?P?(Q??Q)?R)

? (?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R) ? (?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)

(P→（Q?R）) ?(?P?（Q?R）)

16

?(?P?Q)?(?P?R)

?(?P?Q?(R??R))?(?P?(Q??Q)?R)

? (?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R) ? (?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)

它们有一样的主合取范式，所以它们等价。 20、(P→Q)??(Q?R) ??P 证明、

设(P→Q)??(Q?R)为T，则P→Q和?(Q?R)都为T。即P→Q和?Q??R都为T。故P→Q，?Q和?R)都为T，即P→Q为T，Q和R都为F。从而P也为F，即?P为T。从而(P→Q)??(Q?R) ??P 21、为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效? 前提: (1) 若A队得第一，则B队或C队获亚军; 若C队获亚军，则A队不能获冠军; 若D队获亚军，则B队不能获亚军; A 队获第一;

结论: (5) D队不是亚军。 证明、

设A：A队得第一;B: B队获亚军;C: C队获亚军;D: D队获亚军;则前提符号化为A?（B?C），C??A，D??B，A；结论符号化为 ?D。

本题即证明 A?（B?C），C??A，D??B，A??D。 （1） A 前提 （2） A?（B?C）前提 （3） B?C （1），（2） （4） C??A 前提 （5） ?C （1），（4） （6） B （3），（5） （7） D??B 前提 （8） ?D （6），（7）

22、用推理规则证明P?Q, ?(Q?R),P?R不能同时为真。 证明、

(1) P?R 前提 (2) P (1) (3) P?Q 前提 (4) Q (2),(3) (5) ?(Q?R) 前提

17

(6) ?Q??R (5) (7) ?Q (6) (8) ?Q?Q (4),(7)

(集合论部分)

四、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明： 1、A? (B－C)＝(A?B)－(A?C) 证明：

(A?B)－(A?C)= (A?B) ?A?C=(A?B) ?（A?C） =(A?B?A)?(A?B?C)= A?B?C=A?（B?C） =A?（B-C）

2、(A－B)?(A－C)=A－(B?C) 证明：

(A-B)?(A-C)=(A?B)?(A?C) =A? (B?C) =A?B?C= A-(B?C)

3、A?B=A?C，A?B=A?C，则C=B 证明：

B=B?(A?A)=(B?A)? (B?A) =(C?A)? (C?A)=C?(A?A)=C 4、A?B=A?(B-A) 证明：

A?(B-A)=A?(B?A)=(A?B)?(A?A) =(A?B)?U= A?B 5、A=B ? A?B=? 证明：

?设A=B，则A?B=（A-B）?（B-A）=???=?。

?设A?B=?，则A?B=（A-B）?（B-A）=?。故A-B=?，B-A=?，从而A?B，B?A，故A=B。

6、A?B = A?C，A?B=A?C，则C=B 证明：

B=B?(A?B)= B?(A?C)= (B?A)?(B?C) = (A?C)?(B∩C)= C?(A?B) = C?(A?C) =C

18

7、A?B=A?C，A?B=A?C，则C=B 证明：

B=B?(A?A)=(B?A)?(B?A) =(C?A)?(C?A)=C?(A?A) =C

8、A－(B?C)＝(A－B)－C 证明：

A－(B?C)= A?B?C =A?(B?C)=(A?B)?C =(A-B)?C=(A-B)-C

9、(A－B)?(A－C)=A－(B?C) 证明： (A-B)?(A－C) =(A?B)?(A?C) =(A?A)?(B?C) =A?B?C=A－(B?C) 10、A-B=B，则A=B=? 证明：

因为B=A-B，所以B=B?B=（A-B）?B=?。从而A=A-B=B=?。 11、A=(A-B)?(A-C)?A?B?C=? 证明：

? 因为(A-B)?(A-C) =(A?B)?(A?C) =A?(B?C)

=A?B?C= A-(B?C)，且A=(A-B)?(A-C)， 所以A= A-(B?C)，故A?B?C=?。

? 因为A?B?C=?，所以A-(B?C)=A。而A-(B?C)= (A-B)?(A-C)，

所以A=(A-B)?(A-C)。 12、(A-B)?(A-C)=??A?B?C 证明：

? 因为(A-B)?(A-C) =(A?B)?(A?C) =A?(B?C)

=A?B?C= A-(B?C)，且(A-B)?(A-C)=?， 所以?= A-(B?C)，故A?B?C。

19

? 因为A?B?C，所以A-(B?C)=A。而A-(B?C)= (A-B)?(A-C)，

所以A=(A-B)?(A-C)。 13、(A-B)?(B-A)=A ? B=? 证明：

? 因为(A-B)?(B-A)=A，所以B-A?A。但(B-A)?A=?，故B-A=?。

即B?A，从而B=?（否则A-B?A，从而与(A-B)?(B-A)=A矛盾）。

? 因为B=?，所以A-B=A且B-A=?。从而(A-B)?(B-A)=A。

14、(A-B)-C?A-(B-C) 证明：

?x?(A-B)-C，有x?A-B且x?C，即x?A，x?B且x?C。

从而x?A，x?B-C，故x?A-(B-C)。从而(A-B)-C?A-(B-C) 15、P(A)?P(B)?P(A?B) （P(S)表示S的幂集） 证明：

?S?P(A)?P(B)，有S?P(A)或S?P(B)，所以S?A或S?B。

从而S?A?B，故S?P(A?B)。即P(A)?P(B)?P(A?B) 16、P(A)?P(B)=P(A?B) （P(S)表示S的幂集） 证明：

?S?P(A)?P(B)，有S?P(A)且S?P(B)，所以S?A且S?B。

从而S?A?B，故S?P(A?B)。即P(A)?P(B)?P(A?B)。

?S?P(A?B)，有S?A?B，所以S?A且S?B。

从而S?P(A)且S?P(B)，故S?P(A)?P(B)。即P(A?B)?P(A)?P(B)。 故P(A?B)=P(A)?P(B)

17、（A-B）?B=（A?B）-B当且仅当B=?。 证明：

? 当B=?时，因为（A-B）?B=（A-?）??=A，（A?B）-B=（A??）-? =A，所以（A-B）?B=（A?B）-B。 ? 用反证法证明。假设B??，则存在b?B。因为b?B且b? A?B，所以b?（A?B）-B。而显然b?（A-B）?B。

故这与已知（A-B）?B=（A?B）-B矛盾。

五、证明或解答：

（数理逻辑、集合论与二元关系部分）

1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言： (1) ?x?y（xy=1）; (2) ?x?y(xy=1); (3) ?x?y (xy=0); (4) ?x?y（xy=0）;

20

?1??2（1）?24334??1???

?1??4?233324??1???1??=?123344??2??

?1??4（2）??1??4=?25253232464653536??1???1??4=??1??6?23253532414652536??1???

?1??4?22332544325546536??6??

6??1??

26??1???6??1???4??1=?21、试求出8阶循环群的所有生成元和所有子群。 解：

设G是8阶循环群，a是它的生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要条件是k与8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。

因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G 的阶数的因子，故G的子群只能是1 阶的、2阶的、4 阶的或8阶的。因为|e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是该子群中a的最小正幂，故G的所有子群除两个平凡子群外，还有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。

22、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试问是循环群吗？解：

是循环群。因为是无限阶的循环群，则它只有两个生成元。1和3是它的两个生成元。因为an=na-2(n-1)，故1n=n-2(n-1)=2-n。从而对任一个k?I,k=2-(2-k)=12-k，故1是的生成元。又因为1和3 关于*互为逆元，故3 也是的生成元。

23、设是群，a?G。令H={x?G|a·x=x·a}。试证：H 是G 的子群。 证明：

? c，d?H，则对?c，d?HK，c·a=a·c,d·a=a·d。故(c·d) ·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a) ·d=(a·c) ·d=a·(c·d)。

从而c·d?H。

由于c·a=a·c,且·满足消去律，所以a ·c-1=c-1·a。故c-1?H。 从而H 是G的子群。

24、证明：偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。 证明：

设是偶数阶群，则由于群的元素中阶为1 的只有一个单位元，阶大于2 的元素是偶数个，剩下的元素中都是阶为2 的元素。故偶数阶群中阶为2 的元素一定是奇数个。 25、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。 证明：

设是有限群，则?a?G，有|a|=|a-1|。且当a 阶大于2时，a?a-1。故阶数大于2 的元素成对出现，从而其个数必为偶数。

26、试求中每个元素的阶。 解：

0是中关于+6的单位元。则|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。

26

27、设是群，a,b?G，a?e，且a4·b=b·a5。试证a·b?b·a。 证明：

用反证法证明。

假设a·b=b·a。则a4·b= a3·（a·b）= a3·(b·a)=(a5·b)·a =(a2·(a·b))·a=（a2·（b·a））·a=((a2·b)·a)·a=(a·(a·b))·(a·a) =(a·(b·a))·a2=((a·b)·a)·a2 =((b·a)·a)·a2=(b·a2)·a2 =b·(a2·a2)=b·a4。

因为a4·b= b·a5，所以b·a5= b·a4。由消去律得，a=e。 这与已知矛盾。

28、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试证：为群。 证明：

（1）?a,b,c?I，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c) =a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。 （2）记e=2。对?a?I，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I关于运算*的单位元。

（3）对?a?I，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。 综上所述，为群。

29、设为半群，a?S。令Sa={ai | i?I+ }。试证是的子半群。 证明：

?b，c?Sa，则存在k,l?I+，使得b=ak,c=al。从而b·c=ak·al=ak+l。因为k+l?I+，所以b·c?Sa，即Sa关于

运算·封闭。故是的子半群。 30、单位元有惟一逆元。 证明：

设是一个群，e是关于运算?的单位元。 若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。

因为e是关于运算?的单位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。 即单位元有惟一逆元。

31、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则e?0。 证明：

用反证法证明。假设e=0。

对A的任一元素a，因为e和0是A上关于二元运算*的单位元和零元， 则a=a*e=a*0=0。即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|>1矛盾。 从而假设错误。即e?0。

32、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。 证明：（用反证法证明）

设在素不少于两个的群中存在零元?。对?a?G, 由零元的定义有 a*?=?。

27

? 是群，?关于*消去律成立。? a=e。即G中只有一个元素，这与|G|?2矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。

33、证明在一个群中单位元是惟一的。 证明：

设e1,e2都是群〈G,*〉的单位元。 则e1=e1*e2=e2。 所以单位元是惟一的。

34、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。 证明：

?x?G，因为a是〈G，*〉的生成元，所以存在整数k，使得x=a。

k故x=((a)

k?1)

?1=((a

?1))

k?1=(a

?1)

?k。从而a-1也是〈G，*〉的生成元。

35、在一个偶数阶群中一定存在一个2阶元素。 证明：

群中的每一个元素的阶均不为0 且单位元是其中惟一的阶为1的元素。因为任一阶大于2 的元素和它的逆元的阶相等。且当一个元素的阶大于2 时，其逆元和它本身不相等。故阶大于2 的元素是成对的。从而阶为1的元素与阶大于2 的元素个数之和是奇数。

因为该群的阶是偶数，从而它一定有阶为2 的元素。

36、代数系统是一个群，则G除单位元以外无其它等幂元。 证明：

设e是该群的单位元。若a是的等幂元，即a*a=a。

因为a*e=a，所以a*a=a*e。由于运算*满足消去律，所以a=e。 即G除单位元以外无其它等幂元。

37、设是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a?x=b。 证明：

因为a-1*b∈G，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以对于a,b∈G，必有x∈G，使得a?x=b。 若x1,x2都满足要求。即a?x1=b且a?x2=b。故a?x1=a?x2。 由于*满足消去律，故x1=x2。

从而对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a?x=b。

38、设半群中消去律成立，则是可交换半群当且仅当?a,b?S，（a·b）2=a2·b2。 证明：

??a,b?S，（a·b）2=(a·b)·(a·b)=((a·b)·a)·b

=(a·(a·b))·b=((a·a)·b)·b=(a·a)·(b·b)=a2·b2;

? ?a,b?S，因为（a·b）2=a2·b2，所以(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)。故a·((b·a)·b)=a·(a·(b·b))。

由于·满足消去律，所以(b·a)·b=a·(b·b)，即(b·a)·b=(a·b)·b。从而a·b=b·a。故·满足交换律。 39、设群除单位元外每个元素的阶均为2，则是交换群。

28

证明：

对任一a?G，由已知可得a*a=e，即a-1=a。

对任一a,b?G，因为a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a，所以运算*满足交换律。 从而＜G,*＞是交换群。

40、设*是集合A上可结合的二元运算，且?a,b?A,若a*b=b*a，则a=b。试证明： （1）?a?A,a*a=a，即a是等幂元； （2） ?a,b?A,a*b*a=a; （3） ?a,b,c?A,a*b*c=a*c。 证明：

（1）?a?A,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。 （2）?a,b?A,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a), (a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。 故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。

（3） ?a,b,c?A,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c 且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。 由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c， 故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c 且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c， 即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。 从而由已知条件知，a*b*c=a*c。

41、设是群，作f:G?G,a?a-1。证明：f是G的自同构?G是交换群。 证明：

? 设f 是G的自同构。对?a，b?G，a·b=(b-1·a-1)-1=(f(b) ·f(a))-1=(f(b·a))-1=((b·a)-1)-1=b·a。故

运算·满足交换律 ，即G是可交换群。

?因为当a?b时，a-1?b-1，即f(a)?f(b)，故f是G到G中的一个单一函数。又对?a?G，有f(a-1)=(a-1)-1=a。

故f是G到G上的满函数。从而f是G到G上的自同构。

对?a，b?G，因为G是可交换群，故f(a·b)=(a·b)-1=(b·a)-1=a-1·b-1=f(a)·f(b)。故f满足同态方程。 从而f是G 的自同构。

42、若群的子群满足|G|＝2|H|，则一定是群的正规子群。 证明：

由已知可知，G关于H 有两个不同的左陪集H，H1和两个不同的右陪集H，H2。因为H?H1=?且H?H1=G，H?H2=?且H?H2=G，故H1=G-H=H2。

对?a?G，若a?H，则aH=H,Ha=H。否则因为a?G-H，故aH?H,Ha?H。从而aH=Ha=G-H。故H是G的不变子群。 43、设H和K都 是G的不变子群。证明：H?K也是G 的不变子群。

29

证明：

因为H和K都 是G的不变子群，所以H?K是G 的子群。对?a?G，h?H?K，有a·h·a-1?a·H·a-1，·h·a-1?a·K·a-1。因为H和K都 是G的不变子群，所以a·h·a-1?H且a·h·a-1?K。从而a·h·a-1?H?K。故H?K是G 的不变子群。

44、设群G的中心为C（G）={a?G|?x?G,a·x=x·a}。证明C（G）是G的不变子群。 证明：

先证C（G）是G的子群。

?a,b?C（G），对?x?G,有a·x=x·a ，b·x=x·b。故（a·b）·x= a·(b·x)= a·(x·b)=(a·x)·b=(x·a)·b=x·(a·b),

a-1·x=x·a-1。从而a·b，a-1?C（G）。 故C（G）是G 的子群。 再证C（G）是G的不变子群。

?h?C(G)，对?a?G，记b=a·h·a-1。下证b?C(G)。因为h?C(G)，所以b=(a·h) ·a-1=（h·a）·a-1=h·(a·a-1)=h?C(G)。

故C（G）是G的不变子群。

45、设是没有非平凡子群的有限群。试证：G是平凡群或质数阶的循环群。 证明：

若G是平凡群，则结论显然成立。

否则设的阶为n。任取a?G且a?e,记H=（a）(由a生成的G的子群)。显然H?{e}，且G没有非平凡子群，故H=G。从而G一定是循环群，且a是G 的生成元。

若n是合数，则存在大于1 的整数k,m，使得n=mk。记H={e,ak,(ak)2,?,(ak)m-1}，易证H是G 的子群，但1<|H|=m

综上所述，G是平凡群或质数阶的循环群。

46、设H和K都是G 的有限子群，且|H|与|K|互质。试证：H?K={e}。 证明：

用反证法证明。

若H?K?{e}。则H?K是一个元素个数大于1的有限集。 先证H?K也是G的子群，从而也是H和K的子群。

?a,b? H?K,则a,b? H且a,b?K。因为H和K都 是G的子群，故 a·b,a-1? H且a·b,a-1? K。从而a·b?

H?K,a-1? H?K。故H?K是G的子群，从而也是H和K的子群。 由拉格朗日定理可知，|H?K|是|H|和|K|的因子，这与已知矛盾。 47、素数阶循环群的每个非单位元都是生成元。 证明：

设是p阶循环群，p是素数。

对G中任一非单位元a。设a的阶为k,则k?1。

由拉格朗日定理，k是p的正整因子。因为p是素数，故k=p。即a的阶就是p，即群G的阶。故a是G的生成元。

30

48、若是可交换独异点，T为S中所有等幂元的集合，则是的子独异点。 证明：

? e?e=e，?e?T，即T是S的非空子集。 ? a,b?T,? 是可交换独异点,

?(a?b)?(a?b)=((a?b)?a)?b

=(a?(b?a))?b=（a?(a?b)）?b =((a?a)?b)?b=(a?a)?(b?b) =a?b,即a?b?T。

故是的子独异点。

n49、设是群，且a∈G的阶为n，k∈I，则|ak|＝(k,n)，其中(k,n)为k和n的最大公因子。 证明：

nk记p=(k,n),q=(k,n),｜ak｜＝m。由n和p的定义，显然有(ak)p=e。故m?p且m|p。 又由于akm=e，所以由定理5.2.5知，n|km。即p|qm。但p和q 互质，故p|m。

n由于p和m都是正整数，所以p=m。即｜ak｜＝(k,n)。 50、设是有限群，|G|＝n，则?a∈G，|a|?n。 证明：

?a?G，由封闭性及|G|=n可知a,a2,?,an,an+1中必有相同的元素，不妨设为ak=am,k

而|a|?m-k?n。

51、设G＝(a)，若G为无限群，则G只有两个生成元a和a-1； 证明：

?b?G＝(a)，则?n?I,使b=an。故b=(a-n)-1=(a-1)-n,从而a-1也是G的生成元。

若c是G的生成元，则?k,m?I，分别满足c=ak和a=cm。从而c= (cm)k= cmk。若km?1，则由消去律可知c的阶是有限的，这与|G|无限矛盾。从而km=1，即k=1,m=1或k=-1,m=-1。故c=a或c=a-1。 从而G只有两个生成元a和a-1。

52、设G＝(a)，{e}?H?G，am是H中a 的最小正幂，则 （1） H＝(am)；

（2） 若G为无限群，则H也是无限群； 证明：

（1）?b?H, ?k?I, 使得b=ak。令k=mq+r, 0?r

31

由于0?r

（2）因为{e}?H，故H的生成元为am （m?0）。因为G是无限群，所以a的阶是无限的，从而am的阶也是无限的，故H也是无限群。

53、设G＝(a)，|G|＝n，则对于n 的每一正因子d，有且仅有一个d阶子群。因此n阶循环群的子群的个数恰为 n的正因子数。 证明：

n?对n 的每一正因子d，令k=d,b=ak, H={e,b,b2,?,bd-1}。

因为|a|=n,所以bd=(ak)d=akd=an=e且|b|=d。 从而H中的元素是两两不同的，易证H?G。 故|H|=d。所以是G的一个d阶子群。

n设H1是G的任一d阶子群。则由定理5.4.4知，H1＝(am)，其中am是H1中a 的最小正幂，且|H|=m。因为|H|=d，

n所以m=d=k，即H=H1。从而H是G的惟一d阶子群。

?设H是G的惟一的d阶子群。若d=1 ,则结论显然成立。否则H＝(am)，其中am是H中a 的最小正幂。由定理5.4.4

n知，d=m。故d是n的一个正因子。

54、设h是从群到的群同态，G1和G2的单位元分别为e1和e2，则 （1） h(e1)=e2；

（2） ?a?G1，h(a-1)=h(a)-1； （3） 若H?G1，则h(H)?G2；

（4） 若h为单一同态，则?a?G1，|h(a)|=|a|。 证明：

(1) 因为h(e1)?h(e1)=h(e1?e1)= h(e1)= e2?h(e1),所以h(e1)=e2。 (2) ?a∈G1，h(a)?h(a-1)=h(a?a-1)= h(e1)= e2, h(a-1)?h(a)=h(a-1?a)= h(e1)= e2,故h(a-1)=h(a)-1。

(3) ?c,d∈h(H),?a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。故c?d=h(a)?h(b)

=h(a?b)。因为H?G，所以a?b ∈H ，故c?d∈h(H)。又c-1=(h(a))-1=h(a-1)且a-1∈H，故c-1∈h(H)。由定理5.3.2知h(H)?G2。

(4) 若|a|=n,则an=e1。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。从而h(a)的阶也有限，且|h(a)|?n。 设|h(a)|=m,则h(am)= (h(a))m= h(e1)=e2。因为h是单一同态，所以am=e1。即|a|?m。 故|h(a)|=|a|。

32

若a的阶是无限的，则类似于上述证明过程可以得出，h(a)的阶也是无限的。 故结论成立。

55、有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶。 证明：

设|G|=n，?a?G，则|a|=m。令H={e,a,a2,?,am-1}。

则H是G的子群且|H|=m。由Lagrange定理知|H|能整除|G|，故a的阶能整除G的阶。 56、证明：在同构意义下，只有两个四阶群，且都是循环群。 证明：

在4阶群 G中，由Lagrange定理知，G中的元素的阶只能是1，2或4。阶为1 的元素恰有一个，就是单位元e. 若G有一个4阶元素，不妨设为a，则G=（a）,即G是循环群 ，从而是可交换群。

若G没有4阶元素，则除单位元e外，G的其余3个阶均为2。不妨记为a,b,c。因为a,b,c的阶均为2，故a-1=a,b-1=b,c-1=c。从而a?b?a, a?b?b, a?b?e,故a?b=c。同理可得a?c=c?a=b, c?b=b?c=a, b?a=c。 57、在一个群中，若G中的元素a的阶是k，即|a|=k，则a-1的阶也是k。 证明：

因为| a |=k，所以ak=e。即（a-1）k=(ak)-1=e。 从而a-1的阶是有限的，且|a-1|?k。 同理可证，a的阶小于等于|a-1|。 故a-1的阶也是k。

58、在一个群中，若A和B 都是G的子群。若A?B=G，则A=G或B=G。 证明：

用反证法证明。

若A?G且B?G，则有a?A,a?B且b?B,b?A。因为A，B都是G的子群，故a,b?G，从而a*b?G。 因为a?A,所以a

?1?A。若a*b?A,则b= a

?1*(a*b)?A，这与a?B矛盾。从而a*b?A。

同理可证a*b?B。

综合可得a*b?A?B=G，这与已知矛盾。从而假设错误，得证A=G或B=G。 59、设e是奇数阶交换群的单位元，则G的所有元素之积为e。 证明：

设G=<{e,a1,a2,?,a2n},*>，n为正整数。

因为G的阶数为奇数2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2 阶元素，即除了单位元e以外，G的所有元素的阶都大于2。故对G中的任一非单位元a，它的逆元a

?1不是它本身，且G中不同的元素有不同的逆元。

由此可见，G中的2n个非单位元构成互为逆元的n对元素。因为G 是交换群，故G的所有元素之积可变成单位元和n对互为逆元的元素之积的积，从而结果为e。

60、设S=Q?Q，Q为有理数集合，*为S上的二元运算：对任意(a,b)，(c,d)?S,有 (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),

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求出S关于二元运算*的单位元，以及当a?0时，(a,b)关于*的逆元。 解：

设S关于*的单位元为(a,b)。根据*和单位元的定义，对?(x,y)?S,有 (a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。 即ax=x,ay+b=y,xb+y=y对?x,y?Q都成立。解得a=1,b=0。 所以S关于*的单位元为(1,0)。

当a?0时，设(a,b)关于*的逆元为(c,d)。根据逆元的定义，有 (a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0) (c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)

1b即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。解得c=a,d=-a。

1b 所以(a,b)关于*的逆元为(a,-a)。

61、设是一个群，H、K是其子群。定义G上的关系R：对任意a,b∈G，aRb ?存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，则R是G上的等价关系。 证明：

?a∈G，因为H、K是G的子群，所以e∈H且e∈K。令h=k=e,则a=e*a*a=h*e*k,从而aRa。即R是自反的。 ?a,b∈G，若aRb，则存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。因为H、K是G的子群，所以h-1∈H且k-1∈K。故a=h-1*a*k-1,

从而bRa。即R是对称的。

?a,b,c∈G，若aRb,bRc,则存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。

因为H、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。从而aRc。即R是传递的。 综上所述，R是G上的等价关系。 62、设H是G的子群，则下列条件等价： （1） H是G的不变子群； （2） ?a∈G，a?H?a-1?H； （3） ?a∈G，a-1?H?a?H；

（4） ?a∈G，?h∈G，a?h?a-1?H。 证明：

(1)?(2) ?a∈G，则对h∈H,令h1=a?h?a-1，因为a?h ? a?H且H?a=a?H，所以?h2∈H，使得a?h=h2?a。故h1=（h2?a）?a-1=h2?H。故 a?H?a-1?H。

(2)?(3) ?a∈G，对h∈H,令h1=a-1?h?a，则（h1）-1= a?h-1?a-1。因为h-1∈H，所以（h1）-1= a?h-1?a-1∈a?H?a-1。由（2）可知（h1）-1∈H,从而h1?H。故a-1?H?a?H 。 (3)?(4) 类似于（2）?(3)的证明。

(4)?(1) ?a∈G，对?b∈a?H，则?h∈H，使得b=a?h。故b=(a?h) ?(a-1?a)=(a?h?a-1)?a。由于a?h?a-1

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∈H，所以b∈H?a。即a?H?H?a。

反之对?b∈H?a，则?h∈H，使得b=h?a。故b=(a?a-1) ?(h?a)=a?(a-1?h?a)=a?(a-1?h?(a-1)-1)。由于a-1?h?(a-1)-1∈H，所以b∈a?H。即H?a?a?H。 即H?a=a?H。从而H是G的不变子群。

63、在半群中，若对?a,b?G，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，则是一个群。 证明：

任意取定a?G，记方程a*x=a的惟一解为eR。即a*eR=a。 下证eR为关于运算*的右单位元。 对?b?G，记方程y*a=b的惟一解为y。

?是半群，?运算*满足结合律。 ?b*eR=(y*a)*eR=y*(a*eR)=y*a=b。

类似地，记方程y*a=a的唯一解为eL。即eL*a=a。 下证eL为关于运算*的左单位元。 对?b?G，记方程a*x=b的惟一解为x。

?是半群，?运算*满足结合律。 ?eL*b=eL*(a*x)=(eL*a)*x=a*x=b。

从而在半群中, 关于运算*存在单位元，记为e。 现证G中每个元素关于运算*存在逆元。

对?b?G，记c为方程b*x=e的惟一解。下证c为b关于运算的逆元。记d=c*b。 则b*d=(b*c)*b=e*b=b。

?b*e=b,且方程b*x=b有惟一解，?d=e。 ?b*c=c*b=e。从而c为b关于运算的逆元。

综上所述，是一个群。

64、设是群， H和K都是G的子群，令HK={h*s | s∈K，h∈H}, KH={s*h |s∈K,h∈H},，是G的子群的充分必要条件是HK=KH。 证明：

?HK是G的子群。?c?HK，则c-1?HK，故存在a?H,b?K ,使得c-1=a·b。因为c=（a·b）-1=b-1·a-1。因为H

和K都是G 的子群，所以a-1?H,b-1?K ，即c?KH。从而HK?KH。 ?c?KH，则存在a?H,b?K ,使得c=b·a。因为c=（a-1·b-1）-1。因为H和K都是G 的子群，所以a-1?H,b-1?K ，即a-1·b-1?HK。因为HK是G的子群，所以c=（a-1·b-1）-1?HK。从而KH?HK。 故HK=KH。

?HK=KH。对?c，d?HK，有

a1,a2?H,b1,b2?K ,使得

c=a1·b1 ,d=a2·b2。则

c·d=( a1·b1)·(a2·b2)=(( a1·b1)·a2)·b2=( a1·(b1·a2))·b2。因为b1·a2?KH=KH，所以存在a3?H,b3?K ,使得b1·a2 =a3·b3。从而c·d=( a1·（b1·a2）·b2=(a1·（a3·b3）)·b2=(a1·a3)·(b3·b2)。因为H和K都是G的子群，故a1·a3?H, b3·b2?K。从而c·d?HK。

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