高考数学二轮专题复习第三部分题型技法考前提分题型专项训练7解析几何新人教A版

题型专项训练7 解析几何(解答题专项)

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1.已知抛物线Γ:y=2px(p>0)的焦点为F,A(x0,y0)为Γ上异于原点的任意一点,D为x轴正半轴上的点,且有|FA|=|FD|.若x0=3时,D的横坐标为5. (1)求Γ的方程;

(2)直线AF交Γ于另一点B,直线AD交Γ于另一点C.试求△ABC的面积S关于x0的函数关系式S=f(x0),并求其最小值. 2.

如图,过抛物线C:x=2py(p>0)的焦点F的直线交C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且x1x2=-4. (1)求p的值;

(2)R,Q是C上的两动点,R,Q的纵坐标之和为1,RQ的垂直平分线交y轴于点T,求△MNT的面积的最小值.

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3.

已知抛物线C的方程为x=2py(p>0),焦点F,点A(-1,1),B(-2,1),满足=λ. (1)求抛物线C的方程;

(2)过点A作斜率为正的直线交抛物线C于不同于B的两点M,N,若直线BM,BN分别交直线l:x+2y+1=0于P,Q两点,求|PQ|最小时直线MN的方程.

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4.已知抛物线C:y=2px(p>0)上的点(2,a)到焦点F的距离为3. (1)求抛物线的方程.

(2)设动直线l与抛物线C相切于点A,且与其准线相交于点B,问在坐标平面内是否存在定点D,使得以AB为直径的圆恒过定点D?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

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5.已知抛物线C:y=4x,P为C上一点且纵坐标为2,Q,R是C上的两个动点,且PQ⊥PR.

(1)求过点P,且与C恰有一个公共点的直线l的方程; (2)求证:QR过定点.

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6.已知抛物线C:x=2py(p>0),直线l:y=x+1与抛物线C交于A,B两点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2(其中O为坐标原点),且k1·k2=-. (1)求p的值;

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(2)如图,已知点M(x0,y0)为圆:x+y-y=0上异于O点的动点,过点M的直线m交抛物线C于E,F两点.若M为线段EF的中点,求|EF|的最大值.

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答案

题型专项训练7 解析几何(解答题专项)

1.解:(1)由题意知F,D(5,0),因为|FA|=|FD|,

由抛物线的定义得3+,

解得p=2,所以抛物线Γ的方程为y=4x.

(2)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>1),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,由xD>1,得xD=x0+2,故D(x0+2,0).

设直线AB的方程为x=ty+1,联立y=4x,得y-4ty-4=0. 设B(x1,y1),则y0y1=-4,从而x0x1==1,

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∴x1=,y1=-.

由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=(x0+1)+=x0++2,由于kAD=-,则直线AD的方程为

y-y0=-(x-x0),

由于y0≠0,可得x=-y+2+x0. 代入抛物线方程得y+y-8-4x0=0, 设C(x2,y2),所以y0+y2=-,

可求得y2=-y0-,x2=x0++4,所以点C到直线AB:x=ty+1的距离为

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d= = ==4.

则△ABC的面积为S=|AB|·d=×4≥16, 当且仅当x0=,即x0=1时等号成立. 所以△ABC的面积的最小值为16.

2.解:(1)设MN:y=kx+,由消去y,得x-2pkx-p=0.(*)

由题设,x1,x2是方程(*)的两实根,

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所以x2

1x2=-p=-4,故p=2.

(2)设R(x3,y3),Q(x4,y4),T(0,t),因为T在RQ的垂直平分线上,所以|TR|=|TQ|. 得+(y2

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3-t)=+(y4-t), 又=4y3,=4y4,

所以4y2

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3+(y3-t)=4y4+(y4-t), 即4(y3-y4)=(y3+y4-2t)(y4-y3). 而y3≠y4,所以-4=y3+y4-2t. 又因为y3+y4=1,所以t=,故T. 因此S△MNT=·|FT|·|x1-x2|=|x1-x2|. 由(1)得x1+x2=4k,x1·x2=-4.

S△MNT= ==3≥3.

因此,当k=0时,S△MNT有最小值3. 3.解:(1)由已知可知:F,A,B三点共线,

故F(0,1),即=1,所以p=2, 故抛物线C的方程为x2

=4y.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=k(x+1)+1(k≠0). 由消去y,得x2

-4kx-4k-4=0,

∴

设直线BM的方程为y=k1(x+2)+1, 由解得点P的横坐标xP=.又k1=(x1-2),

∴xP=--2.

同理点Q的横坐标xQ=--2.

∴|PQ|=|xP-xQ|= = =,

当且仅当k=,即k=1时等号成立. 所以当k=1时,|PQ|的最小值为, 此时直线MN的方程为x-y+2=0.

4.解:(1)由条件知2+=3,即p=2,所以抛物线的方程为y2

=4x.

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