传递函数零极点对系统性能的影响

现代工程控制理论实验报告

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实验三：传递函数零极点对系统性能的影响

一、 实验内容及目的

实验内容：

通过增加、减少和改变高阶线性系统

1.05的零极2（s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1)点，分析系统品质的变化，从中推导出零极点和系统各项品质之间的关系，进而总结出高阶线性系统的频率特性。 实验目的：

（1） 通过实验研究零极点对系统品质的影响，寻找高阶线性系统

的降阶方法，总结高阶系统的时域特性。

（2） 练习使用MATLAB语言的绘图功能，提高科技论文写作能力，

培养自主学习意识。

二、实验方案及步骤

首先建立MATLAB脚本文件，使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化的高阶线性系统的响应曲线。之后在以下六种情况下绘出响应曲线，分别分析其对系统输出的影响。

（1） 改变主导极点，增减、改变非主导极点，加入非负极点，绘

出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。

（2） 在不引入对偶奇子的前提下，加入非负极点，绘出多组线性

系统在阶跃信号下的响应曲线。

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（3） 引入对偶奇子，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲

线。

（4） 探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线的形成与零极点

之间的关系。

三、实验结果分析

1、研究极点对系统品质的影响 （1）改变主导极点，得到的输出曲线如下：

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将系统品质以表格方式列于下方。 主导极点 -1.5 -0.5 13.7898 0.97341 5.9175 1.05 -0.25 28.038 0.91429 11.765 1.0524 Mp（超调量/%） 1.7437 衰减率 稳定时间 最终稳定值 0.93935 1.58 1.05 从两张图片中不难发现，在极点都是负数的条件下，当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大的变化。

从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时，超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标的变化速率随着主导极点离原点的距离减小而增大。衰减率则出现轻微的先增大后减小的趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近的过程中，衰减率存在极值。

将两幅图片中发现的规律总结如下： （1） 主导极点对系统品质有很大影响。

（2） 在极点都小于零的条件下，主导极点的代数值越小，系

统的准确性越好、快速性也越好。

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（2）增减、改变非主导极点，得到的输出曲线如下：

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将系统品质以表格形式列于下方： 主导极点 余下极点 -0.5 -100 -0.5 -8 -0.5 -2 -0.5 -2，-8 Mp（超调量%） 16 衰减率 稳定时间 最终稳定值 15.8336 13.05332 13.4002 0.99828 5.8675 1.0536 0.98925 0.99102 0.99703 5.2675 1.0527 5.38 1.0523 5.7425 1.0535 首先观察figure2，对比figure1不难发现，对于极点为-0.5、-2、-8对应的曲线，当去掉极点-8时曲线的变化程度明显没有去掉极点-2时剧烈。这种现象意味着极点-8对系统输出的影响要弱于极点-2。

再观察figure3，将极点-8改为-100，曲线几乎没发生什么变化，这说明-8对极点的影响程度与-100相差无几。

从这些现象中可以推断出，在极点都为负数的前提下，某个极点越远离原点，其对系统的影响越小，当其距离远到一定程度时，可以将这个极点省去，实现系统降阶。

另外从系统品质的变化中可以发现，对于一个高阶线性系统，当它的非主导极点越靠近负半轴，稳定时间越短，衰减率越小，超调量越大，对应的快速性越好，稳定性越差，准确性越来越差但最终的稳定值几乎不变。

总结从这三张图片中发现的规律如下：

（1） 越远离原点的负极点对系统输出的影响越小。

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（2） 主导极点相同时，非主导极点越靠近负半轴方向，系统

准确性性越差，稳定性越差，但快速性在增加。

（3） 比较主导极点与非主导极点对输出曲线的影响程度：

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4张图片中的前两张图片改变的都是非主导极点，输出曲线变动程度较小；而下面两张图片改变的是主导极点，输出曲线的变化程度较大。

从中可以总结出，主导极点对系统输出的影响程度明显大于非主导极点对系统输出的影响程度。

（4） 引入非负极点，得到的输出曲线如下：

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可以发现，当系统的传递函数存在非负极点时，系统的输出曲线都是不稳定的。且其发散的剧烈程度随着非负极点的增大而增大。

2、研究零点对系统品质的影响 （1）在不引入对偶奇子的前提下，引入非负零点得到的输出曲线如下：

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两张图片，分别引入了零点0和零点1，可以发现系统的输出曲线出现负值，对于一般情况下的系统这种输出是不允许。因此在这种情况下，不再进行进一步分析。

（3） 在不引入对偶奇子的前提下，引入非负零点得到的输出曲线如下：

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引入零点的三条曲线对应的品质如下 零点 F15 -1 F17 -10 5.7675 13.4866 0.99731 F18 -100 5.8675 13.4022 0.99819 Ts（稳定时间） 5.0275 MP（超调量） 25.0488 FAI（衰减率） 0.98244 首先观察三张图像，加入零点-1对曲线的影响程度明显比加入零点-100或-10的曲线影响程度大。而且虽然-10到-100零点改变程度明显比-1到-10大，但由-10到-100曲线的各项品质的变化明显弱于-1到-10。可见，零点越靠近负实轴方向，对曲线的影响程度越小。

其次观察各项品质随零点的变化。零点-100代数值最小，稳定时间最大，超调量最小，衰减率最大；零点-1代数值最大，稳定时间最小，超调量最大，衰减率最小。可见，负零点代数值越小，稳定时间越大，超调量越小，衰减率越大；

总结发现的规律如下：

（1） 对于负零点，零点代数值越小，对系统的影响越小，

一定程度下可以忽略，实现降阶。

（2） 对于负零点，零点代数值越小，系统的快速性越好，

准确性越好，稳定性越差。

3、研究对偶极子对系统品质的影响 12 / 17

（1）引入对偶奇子，得到的输出曲线如下：

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观察figure2可以发现，对于一个零点为-7.7519，极点为-8、-2、-0.5的高阶线性系统与极点为-2、-0.5的高阶线性系统在阶跃信号下的输出曲线几乎重合。同样对于figure3也是如此。

这说明出现对于具有对偶极子的系统，其响应曲线与将对偶极子去掉的系统的输出曲线几乎相同。

将三张图像对应的系统品质列于下方。

Figure 零点 极点 Ts（稳定时间） MP（超调量） FAI（衰减率） None -8,-2 1.645 0 0 1 -0.43471 None 2 -7.7519 None -8.-0.5 5.38 15.8336 0.99102 1.053 3 -2.045 -8、-2、-0.5 5.39 15.7152 0.99122 1.053 -8、-2、-0.5 -2、-0.5 -8、-2、-0.5 1.5 0.43471 1 1.0198 5.7425 13.5332 0.99703 1.0535 5.74 13.5416 0.99698 1.0535 Ys（稳定值） 1.2975

观察表格中的数据可以发现，当对偶极子之中的极点不是系统的主导极点时，这时系统输出的各项品质与去掉这对对偶极子的系统的输出品质相差不多。

因此可以进一步推导出，为了对高阶系统进行降阶，可以

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去掉那些不包括主导极点的对偶极子。 4、探究单调、振荡曲线与极点之间的关系 得到的输出曲线如下：

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首先观察三张图片，系统输出曲线虽然都是稳定曲线，但其中有慢爬曲线，也有非慢爬曲线。为了寻找其中的规律，现将其零极点与曲线形式以表格形式列在下方。 零点 F1 none F17 none -8,-2, F30 none F26 none F18 none F29 none 特征多项式-8,-2, 的根 -8,-0.25, -8,-2, -0.50.866i ?-0.25?-0.25 0.6614i -0.58?-0.5 0.866i -0.25 曲线形式 慢爬 非慢爬 非慢爬 非慢爬 慢爬 （其中蓝色部分对应相应的主导极点） 非慢爬

不难发现，其中所有慢爬曲线的主导极点对应的根都有虚部，

而所有的非慢爬曲线的主导极点对应的根都是实根。因此可以总结为，对于没有零点且所有极点都是负数的系统在阶跃信号下的

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系统，当主导极点对应的根有虚部时，系统的输出是有超调的、最终能稳定的曲线，当主导极点对应的根没有虚部时，系统的输出曲线是单调曲线。

四、实验中存在的问题

1、当对

1.05类似的高阶系统，引入非负零点时

（s2+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1)曲线会发散，那什么时间会出现那种先平稳后上下震荡的曲线（如图下图figure1），什么时间会出现那种类似单调的发散曲线（如下图figure2）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5837.html