常微分方程数值解法

第八章

常微分方程数值解法

摘要：对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能...算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-... 关键词：导,论,算法 类别：专题技术

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常微分方程数值解法

教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。

教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。

教学时数 20学时 教学过程

§1基本概念

1．1常微分方程初值问题的一般提法

常微分方程初值问题的一般提法是求函数y(x),a?x?b，满足

??dy??f(?dxx,y),a?x?b?y(a)??

其中f(x,y)是已知函数，?是已知值。

假设f(x,y)在区域D?{(x,y)a?x?b,y???}上满足条件： （1）f(x,y)在D上连续； （2）

f(x,y)在D上关于变量y满足

Lipschitz条件：

f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2，

a?x?b,?y1,y2 （1.3） 其中常数L称为Lipschitz常数。我们简称条件（1）、（2）的基本条件。

由常微分方程的基本理论，我们有：

定理1 当f(x,y)在D上满足基本条件时，一阶常微分方程初值问题（1.1）、（1.2）对任意给定?存在唯一解y(x)在[a,b]上连续可微。

定义1 方程（1.1）、（1.2）的解y(x)称为适定的，若存在常数??0和K?0，对任意满足条件???及

?(x)???的?和?(x)，常微分方程初值问题

(1.1)(1.2)

?dz??f(x,z)??(x),a?x?b?dx??z(a)?a??（1.4）

存在唯一解z(x)，且y(x)?z(x)?

?K{????}.

适定问题的解y(x)连续依赖于（1.1）右端的f(x,y)和初值?。由常微分方程的基本理论，还有：

定理2 当f(x,y)在D上满足基本条件时，微分方程（1.1）、（1.2）的解y(x)是适定的。

我们在本章中假设f(x,y)在D上满足基本条件，从而（1.1）、（1.2）的解y(x)存在且适定。

一般的一阶常微分方程组初值问题是求解

?d?yi?fi(x,y1,?,yn),i?1,2,?,n,a?x?b （1.5） ?dx??yi(a)??i,i?1,2,?,n（1．5）的向量形式是

?d?y?F(x,y),a?x?b?dx??y(a)??（1.5）′

其中y(x)?(y1(x),?,yn(x))T,F(x,y)?(f1(x,y),?,fn(x,y))T,??(?1,?2,?,?n)T.

记D?{(x,y1,?,yn)a?x?b,yi???,i?1,2,?,n}。 类似于定理1和定理2，我们有：

定理3 若映射F(x,y)满足条件 (1) F(x,y)在D上是从Rn?1

到R上的连续映射;

n(2) F(x,y)在D上关于y满足Lipschits条件;

F(x,y1)?F(x,y2)??Ly1?y2?a?b,y1,y2任意。

则常微分方程组初值问题（1.5）存在的唯一的连续可微解y(x),而且解y(x)是适定的。 高阶常微分方程初值问题一般为

?dndydn?1?,n?1y),a?x?d?ny?f(x,y,dx,dx?dx （1.6） ?i?dy(a)?a,i?0,1,?,n?1i?1??dxi其中f(x,y,u,?,u)是给定多元函数，a1,?an为给定值。引进新的变量函数

dk?1yk(x)?y(x),a?x?b,k?1,2,?,ndxk?1（1.7.）

则初值问题（1.6）化成了一阶常微分方程组初值问题

?d?dxy1?y2??????d?yn?1?yn?dx?dyn?dx?f(x,y1,?,yn)???yi(a)i,i?1,2?,n

通过求解（1.8）得到(1.6)的解y(x)?y1(x)。

a?x?b(1.8)1.2 初值问题数值解基本概念

初值问题的数值解法，是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。 在?a,b?上引入节点?xk?k?0:a?x0?x1???xn?b,hk?xk?xk?1(k?1,?,n)称

n为步长。在多数情况下，采用等步长，即h?b?a,xk?a?kh(k?0,1?,n)。记（1.1）,(1.2)n的为准确解为y(x),记y(xk)的近似值为yk,记f(xk,yk)为fk.。

求值问题数值解的方法是步进法，即在计算出yi,i?k后计算yk?1。数值的方法有单步

与

单步法之分。单步法在计算yk?1时只利用yk而多步法在计算yk?1时不仅要利用yk还要利用前面已算出的若干个

yk?j,j?1,2,?,l?1。我们称要用到yk,yk?1,?,yk?l?1的多步法

为l步方法。单步法可以看作多步法，但两者有很大差别。l步方法只能用于yk,k?l的计算，y0,y1,?,yl?1要用其它的方法计算；而且在稳定性上单性法比l?1的多步法容易分析；此外单步法容易改变步长。

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