华约自主招生模拟试卷及参考答案

“华约”自主招生模拟试题

数学

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分)

????????????????????1.已知P为?ABC内部任一点(不包括边界),且满足(PB?PA)(PB?PA?2PC)?0,

则?ABC一定为【 】.

A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 2.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若MA?MP,则P点形成的轨迹的长度为【 】. A.7 B.37 C.3 D.

223.设有一个体积为54的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为【 】.

A.1 B.2 C.3 D.4

4.计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n时按下这个按键,就会等可能的将其替换为0~n?1中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么在这个过程中,9,99,999都出现的概率是【 】.

A.10 B.10 C.10 D.10 5.若直线

?4?5?6?7xyxy??1与??1的交点在

sin??sin?sin??cos?cos??sin?cos??cos?直线y??x上,则sin??cos??sin??cos??【 】.

A.0 B.1 C.?1 D.2 6.若函数f(x)?1111??f(x)?f()?【 】. ,则

1?2lgx1?4lgx1?8lgxx A.1 B.2 C.3 D.4

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144,则sin??cos??【 】. 5434 A. B. C.1 D.?

5557.若cos4??，AA??8.顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD?A?B?C?D?中,AB?1间的球面距离为【 】. A.

2,则A,C两点

? ? B.

? ? C.

2? 4334 D.2? 29.若将适合?3?x?y?3,且使得关于t的方程(x?y)t?(3x?y)t?21?0没x?y有实数根的点(x,y)所成的集合记为N,则由点集N所成区域的面积为【 】. A.

81838183 B. C. D. 4455x2y2??1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆10.已知椭圆43于点P,Q,则?F1PQ内切圆面积的最大值是【 】. A.

259169? B.? C.? D.? 16252516二、解答题(本大题共5小题,满分70分)

211.设f(x)?x?bx?c.若|x|?2时,f(x)?0,且f(x)在区间(2,3]上的最大值为1,

22求b?c的最大值和最小值.

x2y242512.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,两准线间的距离为.

52ab(1)求a,b之值；

(2)设点A坐标为(6,0),B为椭圆C上的动点,以A为直角顶点,作等腰直角?ABP(字母A,B,P按顺时针方向排列),求P点的轨迹方程.

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13.已知数列{an}中相邻的两项a2k?1,a2k是方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两实根. (1)求数列{an}的前2n项和S2n.

1|sinn|(?1)f(2)(?1)f(3)(?1)f(4)(?1)f(n?1)?3),且Tn?(2)现设f(n)?(, ?????2sinna1a2a3a4a5a6a2n?1a2n求证:

15?Tn?. 624x2y214.已知焦点在x轴上的椭圆2?2?1过点A(1,0),椭圆与曲线x?|y|的交点为B,C.

ab现有以A为焦点,过B,C且开口向左的抛物线,其顶点坐标为M(m,0),当椭圆的离心率满足

15.已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为

2?e2?1 时,求实数m的取值范围. 31,某植物研究所进 3行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽,则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设?表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值. (1)求随机变量?的数学期望E?；

(2)记“不等式?x??x?1?0的解集是实数集”为事件A,求事件A发生的概率P(A).

2

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“华约”自主招生模拟试题答题纸

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分)

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、解答题(本大题共5小题,满分70分)

11. 12.

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参考答案

????????????????????????????????1.解：因为PB?PA?AB,PB?PA?2PC?CB?CA,所以已知条件可改写为????????????.容易得到此三角形为等腰三角形. 因此选 D. AB?(CB?CA)?02.解：建空间直角坐标系.设A(0,-1,0), B(0,1,0),S(0,0,3),M(0,0,3),P(x,y,0).2?????3????333于是AM?(0,1,),MP?(x,y,?).由于AM⊥MP,所以(0,1,)?(x,y,?)?0,

2222即y?3.B.

3273

,此为P点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为21?()?.故选 B. 4421若计算器上显示n的时候按下按键,因此时共有1~n?1共n种选择,所以产106

1生给定的数m的概率是.如果计算器上的数在变化过程中除了2011,999,99,9和0以

n4.答:

外,还产生了a1,a2,?,an,则概率为

1111111????????,所以所求概2011a1a2an999999率为p??1111111???????? 2011a1a2an999999 ?1?1??1??1?1?1?1?1??1???1?????????? 2011?2010??2009??1000?999?998?1?1?1??1?1?1????1??1? ?1?????????1????1?1?

?100?99?98??10?9?8?注意到1?1?1??1??1??1??1?1?1??1??1??1?????????????1?1? 2011?2010??2009??1000??999??998?1111???6. 10001001010两式相除即得p?第 8 页 共 13 页

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