货运数学建模论文分解

托运货物获利的研究

摘要

本文运用线性规划，一元线性以及三次回归预测等方法，综合运用Excel,SPSS

等数学软件，解决了托运货物最大获益，未来客户申请量的预测问题以及未来每天最大收益的问题。

对于问题一，首先根据客户申请量，考虑到车辆自身载重、体积的约束和问题提出的约束条件，建立线性规划模型，运用Excel软件求解，最终结果为公司全部批复客户各类物品的申请量， 并得到最大获利为44275元，同时给出了合理的车辆承载方式。

问题二，首先用Excel绘制出一个月客户申请量的折线图，观察其变化趋势，发现其波动性较大不便于求出其符合的函数关系，因此考虑到用此日之前所有申请量之和作为当天数据，绘图并通过观察发现可以分别用线性、二次和三次拟合，得到其拟合系数，并由此求出未来七天的申请量的预测值。

问题三中，要求估算这7天的收益。根据第二问中预测的7天的申请量，并运用第一问中建立的模型，求出7天的批复量，进一步求出公司的获益情况。

在文章最后对模型进行评价及其适用范围做出推广，在实际应用中具有较大的参考价值。

关键字：线性规划 回归预测法 Excel 规划求解 SPSS时间序列 ARIMA预测

1

一、问题重述。

某公司拥有3辆汽车，每辆载重量均为9000kg，可载体积为10.3m，该公司为客户从甲地托运货物到乙地，收取一定费用。托运货物可分为四类：A、鲜活类 B、禽苗类 C、服装类 D、其他类，四类货物可以实现任意混装。托运手续是客户首先向公司提出托运申请，公司给予批复，客户根据批复量交货给公司托运。申请量与批复量均以公斤为单位，例如客户申请量为1000kg，公司根据平均每类每kg所占体积和相应托运单价，批复量可以为0～1000kg内的任意整数，若取0则表示拒绝客户的申请。

问题1、如果某天客户申请量为：A 类 6200kg，B类 5500kg，C 类 4000kg，D 类3000kg，如果要求C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍 (注意：仅在问题1中作此要求)。问公司应如何批复，才能使得公司获利最大？

3问题2、每天各类货物的申请总量是随机量，为了获取更大收益，需要对将来的申请总量进行预测。现有一个月的数据（见附件一），请预测其后7天内，每天各类货物申请量大约是多少？

问题3、一般，客户的申请是在一周前随机出现的，各类申请单立即批复，批复后即不能更改，并且不能将拒绝量（即申请量减批复量）累计到以后的申请量。请根据你对下周7天中各类货物申请量的预测，估算这7天的收益各为多少？

二、问题分析

2.1问题一的分析

问题一要求批复的方法能使公司获利最大，这是一个优化问题。因此可以根据题目所给数据及其约束条件，建立合理的线性规划模型。

2

2.2问题二的分析

问题二中为了使公司获取更大利益，要求利用现有一个月的数据，对将来7天每天的申请总量进行预测。根据题意，每天各类货物的申请总量是随机量，而且需要预测的数据是未来短期内的，可以根据时间与货物申请量之间的发展趋势通过数据分析，从而建立合适的预测模型。 2.3问题三的分析

问题三在问题二预测的基础上再对其进行最优化求解，在已知七天的预测值的情况下，重复运用问题一的方法，改变约束条件，便可求解到七天的最优解，使得收益最大。

三、模型假设

（1） 假设各物品混装后总体积等于混装前体积。 （2） 无论如何混装均可保证货物的完整性。 （3） 每天每辆车只运送一次且当日往返。

（4） 不存在油费及路费问题（即只要运量不变，无论用几辆车其成本不变）。 （5） 所有数据真实可信。

四、符号说明

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 符号 符号说明 第i种货物每千克的体积 第i种货物每千克的托运单价 第t天的申请量 vi pi si ytyA 前t天的申请总量 A类产品前t天的申请总量 B类产品前t天的申请总量 C类产品前t天的申请总量 D类产品前t天的申请总量 yB yC yD 3

五、模型的建立及求解

5.1问题一的模型及求解

考虑到第一问问题中的约束条件，C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍,车的最大载重量及其最大容积，建立线性规划模型如下：

max??xij?j?1i?134pj

?3??xij?ci,i?1?4?j?1?4??vi?xij?10.3,j?1,2,3?i?1??3??4s.t.??xij?v3?3??x2j?v2?x4j?v4?

?j?1??i?1?4??xij?9000,j?1,2,3?i?1?3??x取整，i?1?4ij??j?1??

xij表示第i种货物被j辆货车运输，ci表示第i种货物的申请量。

应用excel软件进行模型求解[1]，结果如下：

列1 最优批复量（kg） 第一辆的承载量(kg) 第二辆的承载量(kg) 第三辆的承载量(kg) 第一辆的承载体积(m3) 第二辆的承载体积(m3) 第三辆的承载体积(m3) 公司获得最大利润（元） A类 6200 6000 200 0 B类 5500 0 5500 0 C类 4000 0 786 3214 D类 总计 3000 18700 3000 9000 0 6486 0 3214 10.2 10.298 9.642 44275 4

结果表明，要使公司获得最大利润，则把申请的货物全部批复，并且第一辆车装A类产品6000kg,B,C产品不装，D产品装3000kg;第二辆车A、B、C、D类产品分别装200kg,5500kg,786kg和0kg;第三辆车只装C产品3214kg。共获益44275元。进一步分析可得，在保持最大收益的同时,第一和第二辆车均接近满车, ,第三辆车是没有装满的,是有剩余空间的,所以四类产品比不一定要按照表格的安排来分配货物，正常情况下，如果一个公司同时将三辆车安排出去送货，为了减少风险，通常将货物同时均分给三辆车去运送。所以，公司应该根据实际情况将货物分配给三辆车。

5.2问题二的模型及求解

对于问题二，首先检查所给数据，确定无异常后，利用excel画出其变化的趋势图（如图一）。

25000 图一 20000 A类 B类 C类 D类 总计 sin 15000 10000 5000 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

根据图一，并不能看出其发展趋势存在特定的函数关系。因为每天各类货物的申

请总量都是随机量，因此考虑将某一天之前的审批量都相加，作为这一天的数据，再

利用excel绘制图像（如图二）。

5

图二 各类总量160000140000120000A类总量B类总量C类总量D类总量总量100000800006000040000200000时间日期

根据曲线趋势判断，可以利用拟合直线或二次,三次方程法建立预测模型[2]。

（1）设一次线性模型为：

yt?a?bxt

相关概念：

?t 离差：et?yt?y离差和：

?e???ytt?1t?1nnt?t? ?y离差平方和：

因为

2???e?y?y??tt

2tt?1t?1nn

n2n2??yt?1t?t????yt?a?bxt??Q?a,b?， ?yt?1且有

?Q?Q??0 ?a?bn??Q??a??2??yt?bxt?a??0?t?1 ?n?Q???2?xt?yt?bxt?a??0?t?1??b则

1n1na??yt?b?xt?y?bx

nt?1nt?1 6

?n??n?n?xtyt???xt???yt??t?1??t?1??b?t?12nn??n?xt2???xt?t?1?t?1?

（2）三次多项式曲线预测模型为：

n??xt?1nnt?x??yt?y?

t??xt?1?x?2?t?b0?b1t?b2t2?b3t3 y设统计的数据为yt,y2,?,yn，令

?t???yt?b0?b1t?b2t2?b3t3`?最小值 Q?b0,b1,b2,b3????yt?y2t?1t?1nn??2即

??y?nb0?b1?t?b2?t2?b3?t3?234??ty?b0?t?b1?t?b2?t?b3?t ?223435??ty?b0?t?b1?t?b2?t?b?t?33456ty?bt?bt?bt?bt?????0123?解此四元一次方程可求出系数b0,b1,b2,b3。

假设各类产品各自的第t天前申请的总量为yt?f(xt),则其第t天的申请量

st?yt?yt?1 。

利用SPSS软件对各类货物曲线分别进行分析：

7

类货物申请总量 日期 由其散点图可以看出,有比较明显的线性关系,所以用SPSS对其进行线性回归得到上图,并且得到相关分析:

Model SummaryR.998R Square.997AdjustedR Square.997Std. Error ofthe Estimate1092.824The independent variable is 日期.

8

ANOVASum ofSquares1E+010334394291E+010df12829Mean Square1.096E+0101194265.329F9179.320Sig..000RegressionResidualTotalThe independent variable is 日期.CoefficientsUnstandardizedCoefficientsBStd. Error2208.54323.0522622.453409.233StandardizedCoefficientsBeta.998 日期(Constant)t95.8096.408Sig..000.000

由Model Summary表格里的相关系数R=0.998,而调整决定系数R2=0.997,且回归估计的标准差S=1092.824可知模型的拟合效果很理想。

从输出的第二个表格:ANOVA方差分析表可以看出回归平方和=33439429.回归方程的显著性检验中,统计量F=9179.320,对应的置信水平为0.000,远低于置信水平0.05,所以可认为显著性水平极高[3]。

由第三个表格:Cofficients回归系数分析表,可以得出回归方程的常数项

a?2622.453,回归系数b?2208.543。由此可知回归方程:

y?2622.453?2208.543x

则预测七天的A类货物申请量(取整处理)为： A类拟合 拟合结果 预测值 1 71087 2209 2 73296 2209 3 75504 2208 4 77712 2208 5 79921 2209 6 82130 2209 7 84339 2209 对每天总量取整后得到每天的预测值,因为回归系数不为整,所以最后经过总量取整的预测值并不总是等于其增长幅度。

B类货物申请总量

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对B类拟合的结果如图所示,根据SPSS输出的表格可以分析得(详见附录),用三次(Cubic)拟合的效果最好,并得其拟合方程为：

yB?1.092x3?61.998x2?4354.403x?2418.382

并预测七天B类货物申请量为： B类拟合 1 2 3 4 5 6 7 拟合结果 105520 109219 113004 116882 120858 124939 129132 预测值 3620 3699 3785 3878 3976 4081 4193

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类货物申请总量 日期 对C类产品的总量用SPSS分析后,可得如图所示三次回归,观察图形以及由SPSS输出的表格可得其拟合方程为：

yC?4.5x3?212.751x2?6880.362x?6927.285

并得预测七天C类货物申请量为： C类拟合 拟合结果 预测值 1 2 3 150155 4 157932 5 166203 6 174993 7 184329 135970 142843 6462 6873 7312 7777 8271 8790 9336 11

类货物的申请总量 日期 对D类产品的总量用SPSS分析后,可得如图所示三次回归,观察图形以及由SPSS输出的表格可得其拟合方程为：

yD?3078.892x?13926.628

并且预测七天D类货物申请量为： D类拟合 拟合结果 预测值 5.3问题三的模型及求解

根据第一问已经建立的模型,第三问的求解只是将第一问的约束条件更改了一部分,将每天的申请量与第一问的特殊条件修改即可。得到新的约束条件:

1 2 3 100211 4 103290 5 106369 6 109448 7 112526 94053 97132 3079 3079 3079 3079 3079 3079 3078 12

max??xij?j?1i?134pj

?3??xij?ci,i?1?4?j?1?4??vi?xij?10.3,j?1,2,3?i?1 s.t.?4??9000,j?1,2,3xij??i?1?3?取整，i?1?4xij???j?1 通过Excel线性规划求解可得七天内最大的收益如下表所示:

时间 第一天装载分配 第二天装载分配 第三天装载分配 第四天装载分配 第五天装载分配 第六天装载分配 车辆分配及批复情况 B类 C类 D类 获得收益（元） 3620 6462 3079 3620 860 0 44427.78 0 3433 0 0 2169 3079 3699 6873 2451.6 3699 823 0 45752.34 0 3433 0 0 2617 2451.6 3785 7311 1016 3785 445 1016 46307.27 0 3433 0 0 3433 0 3878 7776 0 3878 910 0 46748.6 0 3433 0 0 3433 0 3976 8270 0 3976 1404 0 46898.8 0 3433 0 0 3433 0 4082 8394 0 4082 1528 0 46957.5 0 3433 0 0 3433 0 批复量 车1装载 车2装载 车3装载 批复量 车1装载 车2装载 车3装载 批复量 车1装载 车2装载 车3装载 批复量 车1装载 车2装载 车3装载 批复量 车1装载 车2装载 车3装载 批复量 车1装载 车2装载 车3装载 A类 2209 2209 0 0 2209 2209 0 0 2208 2208 0 0 1783 1783 0 0 434 434 0 0 0 0 0 0 13

0 4194 8342 0 0 4194 1476 0 车1装载 46975.5 0 0 3433 0 车2装载 0 0 3433 0 车3装载 由表格可知,从第四天起,随着一些产品申请量的增加,公司已经开始拒绝一些第七天装载分配 批复量 请求了。同时随着申请量的进一步增大,第六天到第七天获得的收益已经相同,这个时候,公司的运输水平决定了公司的收益。因此建议公司准备购买或租赁一批运输用车辆,增强公司的运营能力。观察表格,可以发现,四类产品的批复优先度不一样,经过计算其单位体积获得收益,可得到如下逻辑关系式:

B1607>C1500>A1417>D1120

因此，在受运输力的影响的情况下，优先满足B类产品的需求，优先拒绝D类产品的申请，再尽可能地满足C类及A类产品的需求，以获得最大的收益。

六、模型改进

在第二问中,采取的线性模型使得预测值每天都相等,而二次或三次模型可以更加精确地拟合，同时也避免了造成每天的申请量相等和数据不具有很强的波动性的问题。但本论文所建立的方程模型,都对预测值存在递增的趋势,与实际情况的反复落差可能会有出入。查阅资料可知,在相关问题的求解中,有一种方法是根据时间序列中的ARIMA模型或指数平滑等模型来建立。有SPSS软件可直接求得其结果，具体预测参看附录。其中ARIMA模型解决了销量随时间的随机性,具有一定的可参考性。

七、模型评价与推广

虽然本文中所建的线性模型在短时间内对每天具体的预测可能并不是十分精准,但是如果题目是要求对长时间的预测,例如求解一年的总的各类产品申请量,则精确度会大大提高。同时,对B,C二类产品的三次模型随不能长期预测,但对于短期预测特别适用,能够体现数据的变动。本文对A,B,C,D类产品的申请量根据其实际情况采取了不同的模型对其进行拟合,与现实生活中每类产品有自己不同的需求情况比较契合。

14

另外，此类模型可以进一步推广至股市,在短期类,股市是波动比较大的一组数据,但在一定时间内,例如经济平稳发展的时候,是具有一定的线性规律。也可推广至其他方面，如蔬菜价格的预测等。

八、参考文献

[1] 郑丽敏，Excel数据处理与分析，北京：人民邮电出版社，2011.262-274 [2] 百度文库，数学建模统计预测方法及预测模型，

http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/c43dbf4f69eae009581bec3f.html，2013年8月14日 [3] 丁正生，概率论与数理统计简明教程，北京：高等教育出版社，2005.139-156

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九、附录

B类产品SPSS拟合输出表格:

线性分析:

Model Summary

R .999 R Square .998 Adjusted R Square .998 Std. Error of the Estimate 1326.825

ANOVASum ofSquares3E+010492929923E+010df12829Mean Square2.548E+0101760464.009F14472.198Sig..000RegressionResidualTotalThe independent variable is 日期. Coefficients 日期(Constant)UnstandardizedCoefficientsBStd. Error3366.90627.9871221.625496.860StandardizedCoefficientsBeta.999t120.3002.459Sig..000.020 二次分析:

Model SummaryR.999R Square.999AdjustedR Square.999Std. Error ofthe Estimate1096.257The independent variable is 日期. ANOVA RegressionResidualTotalSum ofSquares3E+010324480673E+010df22729Mean Square1.275E+0101201780.241F10607.026Sig..000The independent variable is 日期. 16

CoefficientsUnstandardizedCoefficientsBStd. Error3714.15395.590-11.2022.992-630.357642.824StandardizedCoefficientsBeta1.102-.106日期日期 ** 2(Constant)t38.855-3.744-.981Sig..000.001.335

三次分析:

Model SummaryR1.000R Square.999AdjustedR Square.999Std. Error ofthe Estimate946.082The independent variable is 日期. ANOVA RegressionResidualTotalSum ofSquares3E+010232718303E+010df32629Mean Square8501268489895070.396F9497.877Sig..000The independent variable is 日期. Coefficients 日期日期 ** 2日期 ** 3(Constant)UnstandardizedCoefficientsBStd. Error4354.403216.310-61.99816.0731.092.341-2418.382787.152StandardizedCoefficientsBeta1.292-.588.301t20.130-3.8573.202-3.072Sig..000.001.004.005

C类分析结果:

17

Model SummaryR.996R Square.992AdjustedR Square.991Std. Error ofthe Estimate3552.502The independent variable is 日期. ANOVA RegressionResidualTotalSum ofSquares4E+0103E+0084E+010df32629Mean Square1.286E+01012620267.05F1018.966Sig..000The independent variable is 日期. Coefficients 日期日期 ** 2日期 ** 3(Constant)UnstandardizedCoefficientsBStd. Error6880.362812.235-212.75160.3554.5001.281-6927.2852955.728StandardizedCoefficientsBeta1.654-1.6341.006t8.471-3.5253.513-2.344Sig..000.002.002.027

D类分析结果:

线性分析:

Model SummaryR.999R Square.997AdjustedR Square.997Std. Error ofthe Estimate1468.437The independent variable is 日期.

18

ANOVASum ofSquares2E+010603765662E+010df12829Mean Square2.131E+0102156305.933F9880.485Sig..000RegressionResidualTotalThe independent variable is 日期. Coefficients 日期(Constant)UnstandardizedCoefficientsBStd. Error3078.89230.975-1392.628549.890StandardizedCoefficientsBeta.999t99.401-2.533Sig..000.017

二次分析:

Model SummaryR.999R Square.997AdjustedR Square.997Std. Error ofthe Estimate1490.414The independent variable is 日期. ANOVA RegressionResidualTotalSum ofSquares2E+010599760252E+010df22729Mean Square1.065E+0102221334.243F4795.710Sig..000The independent variable is 日期. Coefficients 日期日期 ** 2(Constant)UnstandardizedCoefficientsBStd. Error3132.438129.959-1.7274.068-1678.206873.950StandardizedCoefficientsBeta1.016-.018t24.103-.425-1.920Sig..000.674.065 19

三次分析:

Model SummaryR.999R Square.997AdjustedR Square.997Std. Error ofthe Estimate1493.006The independent variable is 日期. ANOVA RegressionResidualTotalSum ofSquares2E+010579557262E+010df32629Mean Square71025897332229066.388F3186.352Sig..000The independent variable is 日期. Coefficients 日期日期 ** 2日期 ** 3(Constant)UnstandardizedCoefficientsBStd. Error2832.021341.35722.10725.365-.513.538-839.2311242.201StandardizedCoefficientsBeta.919.229-.155t8.296.872-.952-.676Sig..000.391.350.505 根据表格给出的相关系数R,决定系数R2,回归估计的标准差S,以及置信水平综合考虑可得出A,B,C,D类更适合的模型。

Excel处理线性规划如图所示:

20

SPSS时间序列ARIMA得到的第二问数据:

时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A类预测 2283.44 2535.57 1251.333 3169.934 1173.914 3301.282 1283.03 3392.729 1447.517 3062.755 1438.326 3084.603 1631.651 B类预测 3431.419 3638.305 3669.324 3068.703 2987.387 3572.724 3420.965 3857.336 2199.178 4058.229 3436.961 3060.053 3686.157 C类预测 4897.843 4912.224 4031.103 4431.913 3948.487 4675.018 3955.879 4174.335 5428.153 6399.815 4740.625 5024.127 4186.388 D类预测 3018.873 3164.265 3740.203 3705.851 4012.304 3544.449 3334.982 3563.902 3854.096 4169.319 3204.134 3671.796 2155.561 21

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2921.577 1681.621 2892.664 1716.037 2892.453 1568.831 2916.124 1732.332 2834.017 1690.972 2843.924 1757.974 2881.52 1743.091 2825.51 1675.012 2857.645 1848.98 2714.62 1855.515 2708.134 1861.952 2701.746 1868.292 3441.259 3278.22 3371.377 3707.438 3128.142 3602.917 3209.733 3932.77 3677.048 3913.11 3813.416 3476.002 3327.125 3400.477 3523.094 3025.586 3179.879 3321.882 3460.934 3423.466 3433.562 3430.842 3431.575 3431.377 4388.051 4576.148 4204.267 3843.157 3703.534 4776.181 3642.559 4886.379 4027.944 3776.38 2950.204 2914.775 3355.147 4260.082 6334.446 5631.54 8101.764 7879.169 7103.98 6530.352 6105.875 5791.769 5559.335 5387.337 2387.678 2945.939 3159.585 3268.681 3237.604 3025.425 3004.66 2943.9 3513.285 3138.306 2860.457 3286.123 3445.925 2402.893 1847.353 2512.503 2742.292 2901.49 2945.277 2972.73 2989.943 3000.735 3007.501 3011.743 22

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