江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三数学模拟试卷(17)（

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷

（17）

一、填空题（共16小题，每小题3分，满分48分） 1．若

，则a+b的值是__________．

2．设集合A={x|ax+2=0}，B={﹣1，2}，满足A?B，则实数a的所有可能取值集合为__________．

2

3．若命题“?x∈R，有x﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__________． 4．已知角α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的__________条件．

5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足|a2﹣a3|=14，a1a2a3=343，则数列{an}的通项公式为__________．

6．设α为锐角，=（cosα，sinα），=（1，﹣1）且?=

7．已知函数f（x）=sin（ωx﹣成一个公差为

）（ω＞0）的图象与x正半轴交点的横坐标由小到大构

，则sin（α+

）=__________．

的等差数列，将该函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象

关于原点对称，则m的最小值为__________． 8．已知

9．已知二次不等式ax+2x+b＞0的解集{x|x

2

，则2x﹣3y的最大值为__________．

2

}，且a＞b，则的最小值为

__________．

10．△ABC中，角A，B满足tan（A+B）=3tanA，则tanB取到最大值时角C=__________．

11．设等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，首项a1＞1，a2014a2015﹣1＞0，＜0，则使Tn＞1成立的最大自然数n=__________．

1

12．已知则|

、是平面内两个相互垂直的单位向量，且（3﹣）?（4﹣）=0，

|的最大值为__________．

13．计算 cos80°的值等于__________．

3

14．函数f（x）=（m﹣4）x+10x在[1，2]上最大值为4，则实数m=__________．

15．设数列{an}前n项的和为Sn，an+1=2Sn，a1=1，求通项an=__________．

16．设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则

的值等于__________．

二、解答题（共6小题，满分47分） 17．已知集合A=

据下列条件，求实数a的取值范围（1）A∩B=A；（2）A∩B≠?

18．已知函数f（x）=sin2x+cos（2x﹣

），x∈R．

，分别根

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b==

，求边c的长．

，B为锐角，且f（B）

19．在△ABC中，AB边上的中线CO=2 （1）若|

|=|

|，求（

2

+）?

2

的值；

（θ∈R），求（

+

）?

的最小值．

（2）若动点P满足=sinθ?+cosθ?

20．如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）． （1）求景观带面积的最大值；

（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即∠EAF）．

2

n（1﹣n）

21．（16分）已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2． ①求a1；

②求证：数列{an}是等比数列；

2+

③是否存在常数a，使得（Sn+1﹣a）=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）对n∈N都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

22．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若在区间[1，e]上，函数y=f（x）的图象恒在直线y=1的上方，求a的取值范围； （3）设g（x）=x﹣2bx+1，当a=时，若对于任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求b的取值范围．

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（17）

一、填空题（共16小题，每小题3分，满分48分） 1．若

，则a+b的值是2．

3

2

考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件． 专题：计算题． 分析：由已知中

，根据复数除法的运算法则，我们结合复数相等

的充要条件易构造出一个关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而即可得到答案． 解答： 解：∵∴a=，b=

∴a+b=2 故答案为：2 点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算及复数相等的充要条件，其中根据复数相等的充要条件易构造出一个关于a，b的方程组，是解答本题的关键．

3

====a+bi

2．设集合A={x|ax+2=0}，B={﹣1，2}，满足A?B，则实数a的所有可能取值集合为{﹣1，0，2}．

考点：集合的包含关系判断及应用． 专题：计算题；集合．

分析：由题意，讨论集合是否为空集，从而求实数a的所有可能取值集合． 解答： 解：若A=?，则a=0；A?B成立； 若A≠?；

若A={﹣1}，则﹣a+2=0，解得a=2； 若A={2}，则2a+2=0，故a=﹣1；

故实数a的所有可能取值集合为{﹣1，0，2}； 故答案为：{﹣1，0，2}．

点评：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．

2

3．若命题“?x∈R，有x﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣4，0）．

考点：特称命题． 专题：简易逻辑．

分析：写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可．

2

解答： 解：命题“?x∈R，有x﹣mx﹣m≤0”是假命题，

2

它的否定命题是“?x∈R，有x﹣mx﹣m＞0”，是真命题，

2

即m+4m＜0； 解得﹣4＜m＜0，

∴m的取值范围是（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0）． 点评：本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．

4．已知角α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要条件．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑．

分析：根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解答： 解：∵角α，β的终边在第一象限， ∴当α=

+2π，β=

，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充

分性不成立， 若当α=

，β=

+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，

故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件， 故答案为：既不必要也不充分条件．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

4

5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足|a2﹣a3|=14，a1a2a3=343，则数列{an}的通项公式为

．

考点：等比数列的性质． 专题：等差数列与等比数列．

分析：由|a2﹣a3|=14得到a2﹣a3=14或a3﹣a2=14，再由a1a2a3=343求得a2，然后求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案．

解答： 解：由|a2﹣a3|=14，得a2﹣a3=14或a3﹣a2=14． 由a1a2a3=343，得

，∴a2=7．

当a2﹣a3=14时，a3=a2﹣14=﹣7不合题意； 当a3﹣a2=14时，a3=a2+14=21， ∴q=3． 则故答案为：

． ．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．

6．设α为锐角，=（cosα，sinα），=（1，﹣1）且?=

考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算． 专题：计算题；三角函数的求值．

分析：先求sin2α的值，从而可求cos2α，由半角公式即可求sin（α+解答： 解：∵?=cosα﹣sinα=∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cosα﹣sinα=∴cos2α=

∵α为锐角，sin（α+

=

?α∈（0，， ）＞0，

），从而cos2α取正值，

，

）的值．

，则sin（α+

）=

．

5

＜m＜时，g（1）＞0，g（2）＜0，

令g（x）=0，解得：x=，

∴在[1，）上，g（x）＞0，f（x）递增，

在[，2]上，g（x）＜0，f（x）递减，

∴f（x）在[1，2]上的最大值是f（）=4，

解得：m=4，m=746，不合题意， 综上：m=﹣2． 故答案为：﹣2．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．

15．设数列{an}前n项的和为Sn，an+1=2Sn，a1=1，求通项an=

．

考点：数列递推式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：an+1=2Sn，a1=1，当n≥2时，an=2Sn﹣1，可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．可得数列{an}从第2项起是等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出． 解答： 解：∵an+1=2Sn，a1=1， 当n≥2时，an=2Sn﹣1，

∴an+1﹣an=2an，即an+1=3an． 又a2=2a1=2，

∴数列{an}从第2项起是等比数列， ∴

（n≥2）．

∴an=，

故答案为：．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题．

11

16．设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则

的值等于﹣1．

考点：函数恒成立问题；正弦定理． 专题：计算题．

分析：作为一个选择题，可以令C取特殊值来求值，作为一个解答题，需将af（x）+bf（x﹣c）=1用和差角公式进行变形，利用恒成立的意义转化成关于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，进而求解．

解答： 解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x﹣c）=2，于是取a=b=，c=π， 则对任意的x∈R，af（x）+bf（x﹣c）=1，由此得一般地，由题设可得f（x）=＜?＜

且tan?=，，

=﹣1．

sin（x+?﹣c）+1，其中0

sin（x+?）+1，f（x﹣c）=

于是af（x）+bf（x﹣c）=1可化为asin（x+?）+bsin（x+?﹣c）+a+b=1，即

asin（x+?）+bsin（x+?）cosC﹣bcos（x+?）sinC+a+b﹣1=0， 所以（a+bcosC）sin（x+?）﹣sinCcos（x+?）++a+b﹣1=0，

由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，

若b=0，则由（1）知a=0，显然不满足（3）式，故b≠0．所以，由（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）．当c=2kπ时，cosc=1，则（1）、（3）两式矛盾，故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=﹣1．由（1）、（3）知a=b=，所以

=﹣1．

点评：本题考查三角函数和差角公式的运用与恒成立条件的转化．解题过程中对不确定的情况要善于分类讨论．

二、解答题（共6小题，满分47分） 17．已知集合A=

，分别根

据下列条件，求实数a的取值范围（1）A∩B=A；（2）A∩B≠?

考点：其他不等式的解法；交集及其运算． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）解分式不等式求出A，再求出B，由条件A∩B=A可得 A?B，考查集合的端点间的大小关系，求得实数a的取值范围．

（2）求出当A∩B=φ时实数a的取值范围，再取补集，即得所求． 解答： 解 （1）由

，可得

≤0，即 x（x+1）≤0，且 x≠﹣1，

解得 ，故A=（﹣1，0]．

∵B={x|[x﹣（a+4）][x﹣（a+1）]＜0}=（a+1，a+4）．

12

∵A∩B=A，∴A?B，∴a+1≤﹣1，且a+4＞0，解得﹣4＜a≤﹣2， 故a的取值范围是（﹣4，﹣2]． ?

（2）由上可得，A=（﹣1，0]，B=（a+1，a+4），当A∩B=φ，a+1≥0 或 a+4≤﹣1， 解得 a≥﹣1 或 a≤﹣5．

故当A∩B≠φ时，﹣5＜a＜﹣1，故a的取值范围（﹣5，﹣1）?．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，两个集合的交集运算，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

18．已知函数f（x）=sin2x+cos（2x﹣

），x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b==

，求边c的长．

，B为锐角，且f（B）

考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；余弦定理． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而根据周期公式求得函数的最小正周期． （2）根据f（B）=解答： 解：（1）

=

∴f（x）的最小正周期（2）∵又∵∴

，故

2

求得B，进而根据余弦定理求得c．

=．

．

．

，

．

2

2

在△ABC中，由余弦定理，得b=a+c﹣2accosB， 即

2

．

∴c﹣c﹣12=0，解得c=4或c=﹣3（舍去）． ∴c=4．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理的应用，三角函数基本性质．注重了对学生基础知识的考查．

19．在△ABC中，AB边上的中线CO=2 （1）若|

|=|

|，求（

2

+）?

2

的值；

（θ∈R），求（

+

）?

的最小值．

13

（2）若动点P满足

=sinθ?+cosθ?

考点：平面向量数量积的运算．

专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 分析：（1）根据图形（

+

）?

=2

?

=2×|

|×|

|×

=2|

|求解即可．

（2）（+）?=2?=﹣2x（2﹣x）=2x﹣4x转化为函数求解即可． |=|

|，O为AB的中点，所以CO⊥AB， |×|

|×

=2|

|=8

2

2

解答： 解：（1）因为|（

+

）?

=2

?

=2×|

（2）因为=sinθ?

2

+COSθ?

2

（θ∈R）

所以C，P，O三点共线， 令|∴（

|=x（0≤x≤2），|+

）?+

=2）?

?

|=2﹣x，

=﹣2x（2﹣x）=2x﹣4x 的最小值﹣2．

2

当x=1时（

点评：本题考查了向量的运算，转化为函数求解，综合性强．

20．如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）． （1）求景观带面积的最大值；

（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即∠EAF）．

考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；解三角形． 分析：（1）设EC=x，CF=y，则x+y+即可求出景观带面积的最大值；

（2）记∠EAD=α，∠FAB=β，α，β∈（0，式，即可得出结论．

14

=a，利用基本不等式，结合△ECF的面积S=xy，

），α+β∈（0，），利用和角的正切公

解答： 解：（1）设EC=x，CF=y，则x+y+由基本不等式，x+y+所以，△ECF的面积S=xy≤当且仅当x=y=

时等号成立

，

≥2

+

=（2+=

=a（※） ）

， ，

故景观带面积的最大值为

（2）记∠EAD=α，∠FAB=β，α，β∈（0，则tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y， 故tan（α+β）=

=

），α+β∈（0，），

由（※）可得，xy=a（x+y）﹣，即xy=2（x+y）﹣2，

代入上式可得，tan（α+β）=1， 所以α+β=所以∠EAF=

，

﹣（α+β）=

，

故当a=2时，视角∠EAF为定值

点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

n（1﹣n）

21．（16分）已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2． ①求a1；

②求证：数列{an}是等比数列；

2+

③是否存在常数a，使得（Sn+1﹣a）=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）对n∈N都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

考点：数列的求和；等比关系的确定；数列与不等式的综合． 专题：计算题．

n（1﹣n）”

分析：（1）由“数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2令n=1可求解．

n（1﹣n）（n﹣1）（2﹣n）

（2）证明：由Tn=2解得T（n﹣1）=2两式相除，整理可得数列{an}是等比数列；

15

（3）由（2）求解得再求得，

代入（Sn+1﹣a）=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）两端验证可即可．

n（1﹣n）

解答： 解：（1）∵数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2．

1（1﹣1）

∴a1=T1=2=1

n（1﹣n）

（2）证明：∵Tn=2．

（n﹣1）（2﹣n）

∴T（n﹣1）=2． 将上面两式相除，

[﹣2（n﹣1）]

得：an=2． ∴an=∵an+1=

（n﹣1）

2

．

（n）

．

∴数列{an}是等比数列；

（3）∵

∴

2

，

∵（Sn+1﹣a）=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）

∴（Sn+1﹣a）=

2

而：（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）=（Sn+2﹣）（Sn﹣）=（Sn+1﹣）=（Sn+2﹣）（Sn﹣）对n∈N都成立

2

+

即：存在常数a=，使（Sn+1﹣a）=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）对n∈N都成立．

点评：本题主要考查数列的类型和数列的通项公式和前n项和公式，还考查了存在性问题，这类问题一般通过具体的探究出来，再证明．

16

2+

22．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若在区间[1，e]上，函数y=f（x）的图象恒在直线y=1的上方，求a的取值范围； （3）设g（x）=x﹣2bx+1，当a=时，若对于任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求b的取值范围．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）由已知得

论，利用导数性质能求出f（x）的单调区间． （2）由题意，对于任意的x∈[1，e]，

恒成立，即

对于任意

，由此根据a的取值范围分类讨

3

2

的x∈[1，e]恒成立．由此利用构造法结合导数性质能求出a的取值范围．

（3）由已知得存在x2∈（0，1]，使得g（x2）≤f（x1）min．利用导数性质列表讨论，能求出b的取值范围． 解答： 解：（1）

．?

若a≤0，则f′（x）＜0恒成立，∴f（x）的减区间为（0，+∞）．? 若a＞0，令f′（x）=0，得当当

（

舍去）．

；

．?

时，f′（x）＜0，∴f（x）的减区间为时，f′（x）＞0，∴f（x）的增区间为

恒成立，

（2）由题意，对于任意的x∈[1，e]，即令

对于任意的x∈[1，e]恒成立．

，

则在x∈（1，e）上恒成立．?

而h（x）在[1，e]上图象不间断，∴h（x）在[1，e]上是单调减函数， ∴h（x）在[1，e]上的最大值为h（1）=1，则

，

因此a＞2?

（3）∵对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2）， ∴存在x2∈（0，1]，使得g（x2）≤f（x1）min．

17

当时，

（

，

舍去）．

+ ↗

，

令f'（x）=0，得列表如下：

x f'（x） ﹣ 0 f（x） ↘ 极小值 ∵f（x）在[1，e]上图象不间断， ∴f（x）在[1，e]上的最小值∴存在x2∈（0，1]，使得

． ?

，即只要

．

令，则，

令φ'（x）=0，得列表如下： x

（舍去）．

φ'（x） ﹣ 0 +

φ（x） ↘ ↗ ∵φ（x）在（0，1]上图象不间断， ∴φ（x）在（0，1]上的最小值∴

，即

． ?（16分）

． ?

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．

18

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/57ta.html