2022-2022学年高中数学人教A版选修4-5学业分层测评9 二维形式的

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学业分层测评（九）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为() A．1 B．2

C. 2

D.4

【解析】∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，

∴ax＋by≤ 2.

【答案】 C

2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()

A．ab≤1

2B．ab≥

1

2

C．a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3

【解析】∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，

∴a2＋b2≥2.

【答案】 C

3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是()

【导学号：32750050】A．P≤Q B．P

C．P≥Q D.P>Q

【解析】设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，

则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|

＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2

＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，

∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.

【答案】 A

4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()

A．[－25，25] B．[－210，210]

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C ．[－10，10] D.(－5，5)

【解析】 (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2.

∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20.

∴－25≤a －b ≤2 5.

【答案】 A

5．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则? ????a ＋1a 2＋? ??

??b ＋1b 2的最小值为( ) A ．1

B ．2 C.252

D.72

【解析】 ? ????a ＋1a 2＋? ??

??b ＋1b 2

＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b 2＝(a 2＋b 2)? ??

??1＋1a 2b 2＋4. ∵a ＋b ＝1，ab ≤? ??

??a ＋b 22

＝14， ∴a 2＋b 2＝12

(a 2＋b 2)·(1＋1) ≥12·(a ＋b )2＝12，1＋1a 2b 2≥1＋42＝17，

∴? ????a ＋1a 2＋? ??

??b ＋1b 2

≥172＋4＝252. 【答案】 C

二、填空题

6．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．

【解析】 由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·??????? ????232＋? ????122)＝(3x 2＋2y 2)·? ??

??43＋12≤6×116＝11， 于是2x ＋y ≤11.

【答案】 11

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7．设xy ＞0，则? ????x 2＋4y 2·? ??

??y 2＋1x 2的最小值为________． 【解析】 原式＝?

?????x 2＋? ????2y 2??????? ????1x 2＋y 2≥? ??

??x ·1x ＋2y ·y 2＝9(当且仅当xy ＝2时取等号)．

【答案】 9

8．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y 的最小值为________．

【解析】 (x ＋2y )? ??

??9x ＋2y ＝[(x )2＋(2y )2][? ????3x 2＋? ????2y 2]≥? ????x ·3x ＋2y ·2y 2＝25，当且仅当x ·2y ＝2y ·3x

，即x ＝245，y ＝85时，“＝”成立．又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258.

【答案】 258 三、解答题

9．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2

≤a 2cos 2θ＋b 2

sin 2θ. 【证明】 设m ＝? ??

??a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则|a ＋b |＝????

??a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m ·n |≤|m ||n |＝

? ????a cos θ2＋? ????b sin θ2·1 ＝ a 2cos 2θ＋b 2

sin 2θ，

∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2

sin 2θ.

10．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.

【证明】 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，

所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/57sq.html