浅谈学习线性代数的心得体会

沈阳药科大学选修课结课论文

沈 阳 药 科 大 学

浅谈学习线性代数的心得体会

学校：沈阳药科大学 姓名：郑亚娟 学号：10106331 专业：药物制剂 年级：2010级 班级：03班

一、内 容 摘 要

线性代数是一门较抽象的数学课程,但是线性代数除了其抽象之外还具有另外一个重要的特点：“实用性”，由于计算机的飞速发展和广泛应用，线性代数已成为越来越多的科技工作者必不可少的数学工具。掌握线性代数的基本概念、基本理论与基本方法，为解决工科各专业的实际问题，为进一步学习相关课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础。

在初步学习了高等数学这门课程后，里面涉及了一些线性代数的求解方法，听老师说，某些题目用线性代数的方法求解更容易，但是由于我们还未系统的学习这门课程，老师也是一带而过，并未深讲。致使我对线性代数这门学科有了浓厚的兴趣，在首先简单了解了这门学科的背景后，发现线性代数是一门丰富多彩充满未知的科学，在看到学校开设了这门课程的选修课后，我义无反顾的叫我们全寝室的人都选修了这门奇妙的课程。

学习线性代数的初步感受就是它的概念多，推理论证多，基本理论与结论多，线性代数在内容上，思想方法上及论证方法上都与“高等数学”有所区别。它具有较强的逻辑性和抽象性，一开始就要高度重视。它又与中学所学的代数有一定的联系，所以有些内容并不是完全陌生的。

我相信只要我每节每章地，一步一个脚印的弄懂、弄通，记住有关的概念和结论，并通过反复的应用（练习）来掌握它，循序渐进掌握这门课程是容易的。

关键词：数学 线性代数 背景 应用 计算方法 感受

二、 绪 论

2.1 线性代数的发展史

由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡，矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不

依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。

“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。

2.2 线性代数在数学中的地位

线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 ① 性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。

② 计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

③ 线性代数这门学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。

④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

2.3 课程主要内容 ㈠ 行列式

①阶与三阶行列式的计算——对角线法则

?x1?2x2?x3??2,??2x1?x2??3x3?1,例: 解线性方程组

??x?x?x?0.123?

解：由于方程组的系数行列式

1?21 D?21?3?1?1???1????2????3????1??1?2?1?1?1???1??11?1

???2??2???1??1???3??1??5?0, 同理可得

1?211?2?2 ?2?21D2?3??10,D3?D3215,D1?11x?3??D?D2?x2?11??5,?1,?2,x??1.1123故方程组的解为: D?1D?1101?1D?100

② 全排列及其逆序数

例：用两种方法求排列16352487的逆序数。 解：方法1 1 6 3 5 2 4 8 7

t?0?3?1?2?1?0?1?0?8

方法2 由前向后求每个数的逆序数。

t ?0?0?1?1?3?2?0?1?8.③ n阶行列式的定义： n阶行列式（定义1）设有n^2个数，排成n行n列的表 ,作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，的形式如下的项,其中为自然数1,2,...,n的一个排列,t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n!个,这n!项的代数和称为n阶行列式。

④ 对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。 ⑤ 行列式的性质及应用 ⑥ 克拉默法则的应用 ㈡ 矩阵

① 矩阵及矩阵的运算

② 逆矩阵的概念和性质及其求法 ③ 分块矩阵的运算法则 ④ 矩阵的初等变换及消元法 ⑤ 线性方程组的解

?x1?2x2?x3?x4?0?例 求解齐次线性方程组 ?2x1?x2?2x3?2x4?0?x?x?4x?3x?0234?1

.解： 对系数矩阵A

?1221?r2?2r1?1221?????A??21?2?2??0?3?6?4?r?r31实施初等行变化 ?1?1?4?3??0?3?6?4???????1???0?0???010?220?5??3?4?3?0????

?1221??4??012?3??0000????r3?r2

r2?(?3) r1?2r2 ?5x?2x?x4?0,3??13即得与原方程组同解的方程组 ??x2?2x3?4x4?0,? 3?

?5x?2x?x4,3??13由此即得 ??x2??2x3?4x4,(x,x可任意取值).34? 3? x3?c1,x4?c2，把它写成通常的参数令形式 ???x1?2c2?c2,?x1??2??3????3?? ?x?24??????24???c1??c2???.x??2c?c,????22233 ??x3??1???0?0??x?x?c,?1???4??3?1???? ??x4?c2,5?5?⑥ 初等矩阵的概念及其应用㈢ N维向量

① N维向量的概念及其表示方法 ② 向量组线性相关性的概念及判定 ③ 向量组的秩与矩阵的关系 ④ 向量空间的概念及其基与维数 ⑤ 线性方程组的解的结构 ㈣ 相似矩阵与二次型

① 矩阵的特征值与特征向量及其求法 ② 相似矩阵及其性质

③ 矩阵对角化的充要条件及其方法 ④ 实对称矩阵的相似对角矩阵 ⑤ 二次型及其矩阵表示

⑥ 线性无关的向量组正交规范化的方法 ⑦ 正交变换与正交矩阵的概念及性质 ⑧ 用正交变换化二次型为标准形

⑨ 用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形

⑩ 惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别

三、 心得体会

从素未谋面到一知半解，或许将来会有相见恨晚。总之到现在为止，经过将近一个30个学时的学习，我对线性代数有了一些小小的感想。

首先，我从一些资料了解到线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间，线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

其次，通过查阅资料、阅读课本及其目录，我知道了线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。

而线代不同于高等数学的是，它几乎从一开始就是一个全新的概念，至少给我的感觉是这样。我们都知道，线性代数研究的范围通常都不是我们能想象到的二维空间，而是上升到n维空间，并且在线性代数的学习过程中，我们几乎都是跟一些新的概念，新的定理打交道，因此理解和记忆起来有相当大的困难，常常是花很久的时间还是理解不了。

给我们上课的姜老师对细节的要求比较高，他会时不时询问学生对知识的理解情况，经常会多次讲解，这真的是一个好现象。不过说实话，由于课时的限制，老师不可能把所有东西都讲解得很透彻，尽管老师尽力讲解了，可每次上完课我仍会有些许疑惑。

第一堂课，姜老师介绍过，线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性。

俗话说得好：“学而不思则罔”。记得姜老师说过，当给你一个信息的时候，尤其是一些不

太明显的信息，你要能立刻理解它的内涵，也就是说能够马上联想到与它等价的一些信息。比如说，告诉你一个矩阵是非奇异矩阵，它包含的信息有：首先明确它是一个n阶方阵，它的秩是n，它便是满秩矩阵，它所对应的n阶行列式不等于零，那么n个n维向量便线性无关，还有这个方阵是可逆方阵， 并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的?，还有一点，在线性代数的学习过程中，有些定理或推论是没有必要去背的，因为它们就是另外某个定理的特殊情况，只要我们稍微思考一下，完全可以自己概括，没有必要多记几个来增加自己的记忆负担。比如说向量组的线性相关性的定理6的推论2：“当m>n时，m个n维向量一定线性无关”，看过定理6后你会觉得这完全就是废话嘛，所以要善于总结提高效率。再有就是在记忆一些定理概念的时候，不一定非得按原文记忆，我们可以按照自己的理解来记忆。在学习线性代数的过程中，联想和思考是非常重要的，通过联想和思考，把学过的知识点串起来，深化理解，我们才能把线性代数学得更好。

到现在为止，我们的线性代数课程已经快接近尾声了，但是我相信大多数同学跟我一样只感受到了线性代数的较强的逻辑性和超强的抽象性，对于所谓的广泛的实用性，并没有太深刻的体会。说得更加“肤浅”一点，从我们的专业相关性来说，我们并不是很清楚线性代数对我们今后的专业学习有多大的帮助，我想这是许多学生对线性代数的学习热情不高的原因之一吧。事实也是这样，工科学生的线性代数课本跟理科学生是不一样的，最明显的区别就是我们工科课本中没有与实际应用相关的问题，都是一些计算证明题，老师在授课的过程中也没怎么提及。不过我想这是因为对我们的要求有所不同吧，毕竟连基本概念都难以理解完全，又怎么谈得上应用呢，不管怎么说都得先把基础打好吧。

开设任何一门学科都有它自己的作用，通过学习它们，我们可以培养各种各样的能力，我相信只要抱着一颗热爱的心认真去学，不管结果怎么样，我们都是收获的。

四、 参考文献

1. 《线性代数》——百度百科

2. 吉志明 数学--不仅仅需要逻辑 - 大学数学 - 2003, 19(5)

3. 吴耀强 关于理工科大学生数学创造性思维培养之探究 - 大学数学 - 2007, 23(5) 4. 同济大学数学教研室编.线性代数(第三版). 北京：高等教育出版社 5. 姜希伟 《线性代数》教学课件

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/57go.html