【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第五章 第二节 等差数列及其前n项和演练知能检测 文

第二节 等差数列及其前n项和

[全盘巩固]

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是( ) 1

A. B．4 C．－4 D．－3 4

解析：选B ∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，

∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝( ) A．63 B．45 C．36 D．27

S3＝3a1＋3d＝9，

解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，依题意得 6×5

S＝36，6＝6a1＋ 2

＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.

3．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；

an

p3：数列 是递增数列；

n

p4：数列{an＋3nd}是递增数列．

解得a1

其中的真命题为( )

A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4

解析：选D ∵{an}是等差数列，∴设an＝a1＋(n－1)d.∵d>0，∴{an}是递增数列，故

a1－da1－d3

p1是真命题；nan＝dn2＋(a1－d)n的对称轴方程为n＝－当－时，由二次函数

2d2d2

an ana1－d

的对称性知a1>2a2，{nan}不是递增数列，p2＝d＋，当a1－d>0时， 是

nn

n

递减数列，p3是假命题；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d>0，{an＋3nd}是递增数列，p4是真命题．故p1，p4是真命题．

4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.用Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )

A．21 B．20 C．19 D．18 解析：选B ∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99， ∴3a3＝105,3a4＝99，即a3＝35，a4＝33. ∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n.

*

令an≥0且an＋1≤0，n∈N，则有n＝20.

5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1＝4，则的值为( ) 935

A. B.．4 423

解析：选A 由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S44，得

S4

S2S6S4

S4S2S4－S2

S2

S69

＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.

S44

*

6．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N)．若b3＝－2，b10＝12，

则a8＝( )

A．0 B．3 C．8 D．11 解析：选B 因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，

12－－*

故公差d＝＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N)，即an＋1－an＝2n－8.

10－3

所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.

7．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________.

－d

解析：a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋＝21d，

2

而ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，所以(k－1)d＝21d，d≠0，故k＝22. 答案：22

8．在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值为________． 解析：∵a1＋a2＋…＋a10＝30，

a1＋a

10

即30，a1＋a10＝6，∴a5＋a6＝6，

2

a5＋a6 2＝9.

∴a5·a6≤

2

答案：9

2

9．已知等差数列{an}中，an≠0，若n>1且an－1＋an＋1－an＝0，S2n－1＝38，则n＝________.

2

解析：∵2an＝an－1＋an＋1，an－1＋an＋1－an＝0，

2

∴2an－an＝0，即an(2－an)＝0.

∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10. 答案：10

1213*

10．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N，所有项an>0，且Snn＋an－.

424

(1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．

1213

解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a11－，

424

解得a1＝3或a1＝－1(舍去)． 当n≥2时，

112

an＝Sn－Sn－1(a2n＋2an－3)an－1＋2an－1－3)．

4422

∴4an＝an－an－1＋2an－2an－1. 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.

∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．

∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 11．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求通项公式an； (2)求Sn的最小值；

(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝

，求非零常数c. n＋c

解：(1)∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22. 又a3·a4＝117，

2

∴a3，a4是方程x－22x＋117＝0的两实根， 又公差d＞0，

∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，

Sn

a1＋2d＝9，∴

a1＋3d＝13，

a1＝1，

∴

d＝4.

∴通项公式an＝4n－3.

(2)由(1)知a1＝1，d＝4，

nn－ 1212

∴Sn＝na1＋d＝2n－n＝2 n－，

2 4 8

∴当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1.

2

Sn2n－n2

(3)由(2)知Sn＝2n－n，∴bn＝

n＋cn＋c

1615

∴b1＝b2＝b3.

1＋c2＋c3＋c

∵数列{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3， 61152

即2c＋c＝0， 2＋c1＋c3＋c

11

∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－22

22

12．已知数列{an}是等差数列，bn＝an－an＋1. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)若a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k(k为常数)，求数列{bn}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，若数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在实数k，使Sn当且仅当n＝12时取得最大值？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

22222

解：(1)证明：设{an}的公差为d，则bn＋1－bn＝(an＋1－an＋2)－(an－an＋1)＝2an＋1－(an＋1222

－d)－(an＋1＋d)＝－2d，

2

∴数列{bn}是以－2d为公差的等差数列．

(2)∵a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k，∴13d＝13－13k，∴d＝1－k，

－

又13a1＋×2d＝130，∴a1＝－2＋12k，

2

∴an＝a1＋(n－1)d＝(－2＋12k)＋(n－1)(1－k)＝(1－k)n＋13k－3，

2222

∴bn＝an－an＋1＝(an＋an＋1)(an－an＋1)＝－2(1－k)n＋25k－30k＋5. (3)存在满足题意的实数k.

由题意可知，当且仅当n＝12时Sn最大，则b12>0，b13<0，

22

－k＋25k－30k＋5>0， －即 22

－－k＋25k－30k＋5<0，

k＋18k－19>0，∴ 2

k－22k＋21>0，

2

解得k<－19或k>21.

故k的取值范围为(－∞，－19)∪(21，＋∞)．

[冲击名校]

a11 a12 a13

a32 a33

等差数列，若a22＝8，则这9个数的和为( )

A．16 B．32 C．36 D．72

解析：选D 依题意得a11＋a12＋a13＋a21＋a22＋a23＋a31＋a32＋a33＝3a12＋3a22＋3a32＝9a22

＝72.

2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．

31

1．已知数阵 a

a

21

a22 a23

中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成

10a1＋45d＝0，，得

15a1＋105d＝25，

解析：由Sn＝na1nn－

2

2

解得a1＝－3，d＝，

3nn－212

则Sn＝－3n＋n－10n)，

233

132

所以nSn＝(n－10n)，

3132

令f(x)＝(x－10x)，

3

20 202

则f′(x)＝x－＝x x，

3 3

20 当x∈ 1， 时，f(x)单调递减；

3 20 当x∈ 时，f(x)单调递增， 3 20

又，f(6)＝－48，f(7)＝－49，

3

所以nSn的最小值为－49. 答案：－49

[高频滚动] 2

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n＋3n，若an＋1an＋2＝80，则n的值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2

2

解析：选A 由Sn＝－n＋3n，可得an＝4－2n，因此an＋1·an＋2＝[4－2(n＋1)][4－2(n＋2)]＝80，即n(n－1)＝20，解得n＝－4(舍去)或n＝5.

2n

2．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x－bnx＋2的两个零点，则b10＝________.

nn＋1

解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2，∴an＋1·an＋2＝2，∴an＋2＝2an.

nn－1*

又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2，a2n－1＝2(n∈N)，∴b10＝a10＋a11＝64. 答案：64

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5761.html