【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第五章 第二节 等差数列及其前n项和演练知能检测 文

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第二节 等差数列及其前n项和

[全盘巩固]

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则数列{an}的公差是( ) 1

A. B.4 C.-4 D.-3 4

解析:选B ∵{an}是等差数列,a4=15,S5=55,

∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11,∴公差d=a4-a3=4.

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27

S3=3a1+3d=9,

解析:选B 设等差数列{an}的公差为d,依题意得 6×5

S=36,6=6a1+ 2

=1,d=2,则a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=45.

3.(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;

an

p3:数列 是递增数列;

n

p4:数列{an+3nd}是递增数列.

解得a1

其中的真命题为( )

A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4

解析:选D ∵{an}是等差数列,∴设an=a1+(n-1)d.∵d>0,∴{an}是递增数列,故

a1-da1-d3

p1是真命题;nan=dn2+(a1-d)n的对称轴方程为n=-当-时,由二次函数

2d2d2

an ana1-d

的对称性知a1>2a2,{nan}不是递增数列,p2=d+,当a1-d>0时, 是

nn

n

递减数列,p3是假命题;an+3nd=4nd+a1-d,4d>0,{an+3nd}是递增数列,p4是真命题.故p1,p4是真命题.

4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.用Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( )

A.21 B.20 C.19 D.18 解析:选B ∵a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99, ∴3a3=105,3a4=99,即a3=35,a4=33. ∴a1=39,d=-2,得an=41-2n.

*

令an≥0且an+1≤0,n∈N,则有n=20.

5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S1=1=4,则的值为( ) 935

A. B..4 423

解析:选A 由等差数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S44,得

S4

S2S6S4

S4S2S4-S2

S2

S69

=3,则S6-S4=5S2,所以S4=4S2,S6=9S2,=.

S44

*

6.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N).若b3=-2,b10=12,

则a8=( )

A.0 B.3 C.8 D.11 解析:选B 因为{bn}是等差数列,且b3=-2,b10=12,

12--*

故公差d==2.于是b1=-6,且bn=2n-8(n∈N),即an+1-an=2n-8.

10-3

所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.

7.在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,则k=________.

-d

解析:a1+a2+…+a7=7a1+=21d,

2

而ak=a1+(k-1)d=(k-1)d,所以(k-1)d=21d,d≠0,故k=22. 答案:22

8.在等差数列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,则a5·a6的最大值为________. 解析:∵a1+a2+…+a10=30,

a1+a

10

即30,a1+a10=6,∴a5+a6=6,

2

a5+a6 2=9.

∴a5·a6≤

2

答案:9

2

9.已知等差数列{an}中,an≠0,若n>1且an-1+an+1-an=0,S2n-1=38,则n=________.

2

解析:∵2an=an-1+an+1,an-1+an+1-an=0,

2

∴2an-an=0,即an(2-an)=0.

∵an≠0,∴an=2.∴S2n-1=2(2n-1)=38,解得n=10. 答案:10

1213*

10.设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N,所有项an>0,且Snn+an-.

424

(1)证明:{an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.

1213

解:(1)证明:当n=1时,a1=S1=a11-,

424

解得a1=3或a1=-1(舍去). 当n≥2时,

112

an=Sn-Sn-1(a2n+2an-3)an-1+2an-1-3).

4422

∴4an=an-an-1+2an-2an-1. 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.

∵an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2).

∴数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1. 11.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求通项公式an; (2)求Sn的最小值;

(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=

,求非零常数c. n+c

解:(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22. 又a3·a4=117,

2

∴a3,a4是方程x-22x+117=0的两实根, 又公差d>0,

∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,

Sn

a1+2d=9,∴

a1+3d=13,

a1=1,

d=4.

∴通项公式an=4n-3.

(2)由(1)知a1=1,d=4,

nn- 1212

∴Sn=na1+d=2n-n=2 n-,

2 4 8

∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.

2

Sn2n-n2

(3)由(2)知Sn=2n-n,∴bn=

n+cn+c

1615

∴b1=b2=b3.

1+c2+c3+c

∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 61152

即2c+c=0, 2+c1+c3+c

11

∴c=-或c=0(舍去),故c=-22

22

12.已知数列{an}是等差数列,bn=an-an+1. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{bn}的通项公式;

(3)在(2)的条件下,若数列{bn}的前n项和为Sn,是否存在实数k,使Sn当且仅当n=12时取得最大值?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.

22222

解:(1)证明:设{an}的公差为d,则bn+1-bn=(an+1-an+2)-(an-an+1)=2an+1-(an+1222

-d)-(an+1+d)=-2d,

2

∴数列{bn}是以-2d为公差的等差数列.

(2)∵a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k,∴13d=13-13k,∴d=1-k,

又13a1+×2d=130,∴a1=-2+12k,

2

∴an=a1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3,

2222

∴bn=an-an+1=(an+an+1)(an-an+1)=-2(1-k)n+25k-30k+5. (3)存在满足题意的实数k.

由题意可知,当且仅当n=12时Sn最大,则b12>0,b13<0,

22

-k+25k-30k+5>0, -即 22

--k+25k-30k+5<0,

k+18k-19>0,∴ 2

k-22k+21>0,

2

解得k<-19或k>21.

故k的取值范围为(-∞,-19)∪(21,+∞).

[冲击名校]

a11 a12 a13

a32 a33

等差数列,若a22=8,则这9个数的和为( )

A.16 B.32 C.36 D.72

解析:选D 依题意得a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=3a12+3a22+3a32=9a22

=72.

2.(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.

31

1.已知数阵 a

a

21

a22 a23

中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成

10a1+45d=0,,得

15a1+105d=25,

解析:由Sn=na1nn-

2

2

解得a1=-3,d=,

3nn-212

则Sn=-3n+n-10n),

233

132

所以nSn=(n-10n),

3132

令f(x)=(x-10x),

3

20 202

则f′(x)=x-=x x,

3 3

20 当x∈ 1, 时,f(x)单调递减;

3 20 当x∈ 时,f(x)单调递增, 3 20

又,f(6)=-48,f(7)=-49,

3

所以nSn的最小值为-49. 答案:-49

[高频滚动] 2

1.已知数列{an}的前n项和Sn=-n+3n,若an+1an+2=80,则n的值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2

2

解析:选A 由Sn=-n+3n,可得an=4-2n,因此an+1·an+2=[4-2(n+1)][4-2(n+2)]=80,即n(n-1)=20,解得n=-4(舍去)或n=5.

2n

2.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x-bnx+2的两个零点,则b10=________.

nn+1

解析:∵an+an+1=bn,an·an+1=2,∴an+1·an+2=2,∴an+2=2an.

nn-1*

又∵a1=1,a1·a2=2,∴a2=2,∴a2n=2,a2n-1=2(n∈N),∴b10=a10+a11=64. 答案:64

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/5761.html

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