电磁感应电路中的电容问题

1 导轨电路中的电容问题

1．两相互平行且足够长的水平金属导轨MN、PQ放在竖直平面内，相距0.4m，左端接有平行板电容器，板间距离为0.2m，右端接滑动变阻器R。水平匀强磁场磁感应强度为10T，垂直于导轨所在平面，整个装置均处于上述匀强磁场中，导体棒CD与金属导轨垂直且接触良好，棒的电阻为1Ω，其他电阻及摩擦不计。现在用与

2

金属导轨平行，大小为2N的恒力F使棒从静止开始运动。已知R的最大阻值为2Ω，g=10m/s。则：

⑴ 滑动变阻器阻值取不同值时，导体棒处于稳定状态时拉力的功

C 率不一样，求导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率。 M N ⑵当滑动触头在滑动变阻器中点且导体棒处于 稳定状态时，一个带电小球从平行板电容器左侧，以某一速度沿两板的正中间且平行

R 于两极板射入后，在两极板间恰好做匀速直线运动；当滑动触头位F 于最下端且导体棒处于稳定状态时，该带电小球以同样的方式和速度射入，小球在两极板间恰好做匀速圆周运动，则小球的速度为多P Q D

大。

解：（1）当棒达到匀速运动时，棒受到的安培力F1与外力F相平衡，即

F=F1=BIL ① （1分）

此时棒产生的电动势E=BLv，则电路中的电流。

EBLvI＝ ＝ ② （1分）

R＋rR＋r

F(R＋r)

由①②式得此时棒的速度 V＝ ③ （1分）

B2L2F2 (R＋r)

拉力功率 P＝FV＝ ④ （1分）

B2L2由④式知回路的总电阻越大时，拉力功率越大，

当R=2Ω时，拉力功率最大，Pm=0.75(W) （1分） (2)当触头滑到中点即R=1Ω时，由③式知棒匀速运动的速度

F(R＋r)v1＝ ＝0.25(m/s) （1分）

B2L2导体棒产生的感应电动势 E1=BLv1=10×0.4×0.25=1(V) （1分）

E1R

电容器两极板间电压 U1＝ ＝0.5(V) （1分）

R＋r

由于棒在平行板间做匀速直线运动，则小球必带正电,此时小球受力情况如图所示，设小球的入射速度为v0,由平衡条件知： F+f=G

U1

即 q ＋qv0B=mg ⑤ （2分）

d当滑头滑至下端即R=2Ω时，棒的速度

F(R＋r)3V2＝22 ＝ (m/s) （1分） BL8

导体棒产生的感应电动势 E2=BLV2=1.5伏 （1分）

E2R

电容器两极板间的电压 U2＝ ＝1伏 （1分）

R＋r由于小球在平行板间做匀速圆周运动,电场力与重力平衡，于是：

U2q ＝mg ⑥ （2分） dU2—U1

联立⑤⑥并代入数值解得 v0＝ ＝0.25(m/s) （1分）

Bd

1

2 小球作圆周运动时洛仑兹力提供向心力,有

v02

qv0B＝m ⑦ （2分）

r

联立⑥⑦解得小球作圆周运动的半径为r＝0.0125 m （2分） 2、 如图所示，光滑的平行导轨P、Q相距l=1m，处在同一水平面中，导轨的左端接有如图所示的电路，其中水平放置的电容器两极板相距d=10mm，定值电阻R1=R3=8Ω，R2=2Ω，导轨的电阻不计，磁感强度B=0.4T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动（开关S断开）时，电容器两极之间质量m=1×10-14kg，带电量q=-1×10-15C的微粒恰好静止不动；当S闭合时，微粒的加速度a=7m/s2向下做匀加速运动，取g=10m/s2, 求：

（1）金属棒所运动的速度多大？电阻多大？

（2）S闭合后，使金属棒ab做匀速运动的外力的功率多大？

解答：（1）带电微粒在电容器两极间静止时，受向上的电场力和向下的重力而平衡，根据平衡条件有mg?qU1，dmgd10?14?10?0.1解得电容器两极间电压为：U1???1V

q10?15 由于微粒带负电，可知上板电势较高，由于S断开，R3上无电流，R1、R2上电压等于U1, 可知电路中

的感应电流，即通过R1、R2的电流强度为：I1?U1?0.1A

R1?R2 根据闭合电路欧姆定律，可知ab切割磁感线运动产生的感应电动势为：E?U1?I1r （1）

S闭合时，带电微粒向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律有：mg?q 可以求得S闭合时电容器两板间的电压为：U2?U2?ma dm(g?a)d?0.3V

q 这是电路中的电流为：I2=

U2?0.15A R2R1R3?R2?r) （2）

R1?R3 根据闭合电路欧姆定律有：E?I2( 将已知量代入（1）（2）式，可求得：E?1.2V，r?2? 由E=BLv得：v?E?3m/s BL （2）S闭合时，通过ab电流I2=0.15A，ab所受磁场力为FB?BI2L?0.06N，ab的速度v=3m/s做匀速

运动，所受外力与磁场力FB大小相等，方向相反，即F=0.06N，方向向右，则外力功率为P=Fv=0.06×3w=0.18w

3.如图所示,在水平方向与纸面垂直的足够大的匀强磁场中,有一足够长的U 形金属框架abcd以v1=2m/s的速度向右做切割磁感线运动,在框架abcd上下两板内产生一个匀强电场.有一个带电油滴以水平速度v2从P点(ap=L/2)向左射入框架内做匀速圆周运动(g=10m/s2).求:

2

3 (1) 油滴必须带什么性质的电荷, 油滴做匀速圆周运动的周期是多少?

(2) 为使油滴不跟框架壁相碰, 油滴速度v2与框架宽度L的比值v2/L应满足什么条件? (3) 为使油滴不离开电场,并且能够在框架内完整地运动一周,速度v2要满足什么条件? 解： 油滴应带负电.

由于框架左边作切割磁感线运动,使上下两板间产生电压 U=BLv b

V1 L U两板间电场强度 E=L=Bv1由油滴做匀速圆周运动的条件得

mg=qE=qBv1

c

a V2@ P d

mg2?m2?v12???qvqBg5s ∴ B=1油滴运动的周期 T=

2mv2mv2qv1v1v2v2????qBv2?mqmgg R RBq（2）∵

g2v1v2Lv24v油滴不跟框架壁相碰应满足条件 2R＜L/2 即g＜2∴ L＜1=1.25s-1

(3)油滴顺时针做圆周运动,若v2的水平速度大小等于v1时未脱离电场,则以后不再会脱离.设当油滴

转至其线速度方向与竖直方向的夹角为θ时油滴速度v2的水平分量大小等于v1, 油滴刚好运动至框架右边缘,(如图所示) 则

V2sinθ=v1

?3??3???????????R?2???2??V2t=

v1t＞Rcosθ

V1 V1 θ V2

?3?1v1??3???v??sin?????1?22?v?v2v221 ?＞v2cosθ即 ?2?＞∴ v1?4、如图所示 , 在虚线框内有一磁感应强度为B的匀强磁场 ,在磁场中的 PQ 和 MN 是两条光滑的平行金属导

轨 , 其电阻不计 , 两导轨间距离为 L, 它们都与水平面成α角 .已知匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直 , 放置在导轨上的金属棒ab 与导轨垂直 , 其质量为m，电阻为r.在导轨的一端接着阻值 为 R 的电阻器 。C、D 为竖直放置的, 间距为 d 的平行板电容器 , 两板间的 JK 是与水平面成θ角的一条绝缘光滑直导轨。当金属棒ab 在导轨上匀速下滑时 , 一个穿在 JK 导轨上的带电小球恰能静止在 JK 导轨上。 求：(1)ab杆下滑的速度。

DCK(2)带电小球所带电荷的电性。

(3)带电小球的比荷。

θ解：(1)E?BLv………………………………………………① 1分 JI?E…………………………………………………② 1分 R?rBPMaαQbNF安?BIL…………………………………………………③ 1分

B2L2v联立①②③得：F安?……………………………… 2分

R?r

3

4 对ab受力分析得：F安?mgsin?………………………④ 2分 ∴ab杆下滑的速度v?mgsin?(R?r)…………………⑤ 2分

B2L2(2)小球带正电。……………………………………………… 3分 (3)设小球的质量为M，电荷量为q，

RE…………………………………………⑥ 2分 R?rU对匀强电场：E?…………………………………………⑦ 2分

d对电路：U?对小球受力分析得：qE?Mgtan?………………………⑧ 2分 联立⑤⑥⑦⑧得：带电小球的比荷

qBLdtan??……………2分 MmRsin?5、如图3-3-4所示，水平放置的两根平行光滑金属导轨相距40cm，质量为0.1kg的金属杆ab垂直于导轨放于

其上，导轨间接行电阻R＝20Ω和电容C＝500PF，匀强磁场方向垂直于导轨平面竖直向下，磁感应强度B＝1.0T，现有水平向右的外力使ab从静止开始以加速度a＝5.0m／s2向右做匀加速运动，不计其他电阻和阻力，求： （1）电容器中的电流; （2）t＝2s时外力的大小． a 解：（1）电容器中电流IC＝△V／△t ④

由上四式可得：IC＝CBLa＝1×10A

（2）V＝at＝10m/s E＝BLV＝4V I＝E/R＝0.2A 远大于电容器的充电

电流。所以电容器电流可忽略不计。由牛顿第二定律：F－BIL＝ma解得：F＝0. 58N

－9

?Q① △Q＝C·△U ② △U＝BL△V ③ a＝?tC R F b 图3-3-4

6、如图所示，一个金属杆被分为两部分，中间串联一个体积可忽略不计的电压表，两平行导轨间的距离为L，在导轨左端串联一个电容器，电容器没有充电，空间存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B．将金属杆放置在光滑的金属导轨上，然后在外力的作用下让金属杆以速度v做匀速运动，导轨、金属杆的电阻均不计．求经过一段较长时间后电压表的读数？

【分析】本题的关键是理解电压表的工作原理和电容器的充放电条件．

在金属杆运动的初始阶段，电容器处于充电过程，随着电容器上的电荷数量的增加，电容器两极间电压也逐渐增大，当电容器两极板问电压等于金属杆两端电压时，电容器停止充电，此时电路中的电流为零．

电压表的读数取决于电压表的内阻与流过电压表电流的乘积，设r为电压表内阻，则有：

因为电路中电流 I为零，所以

，即电压表的示数为0．

，

本题中电压表没有示数，并不表示a、b两点问电压为0，这时 ．那么，为什么a、b

两点问电压不为0而电压表示数却为0呢？这是因为电压表的体积可以忽略不计，即电压表内线圈两端可以认为是同一个点，因此电压表内线圈两端没有电势差，电压表的线圈中没有电流流过，电压表也就示数为0了．

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