广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中考试 数学文试题

广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中考试 数学文试题

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知a,b为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是 （ ）

A．a2?b2 B．a2b?ab2 C．

11ba?? D．22ababab2．已知集合A?xy?lg(4?x2)，B?yy?1，则A?B?（ ） A．{x?2?x?1} B．{x1?x?2} C．{xx?2}D．{x?2?x?1或x?2} 3．设x?R, 那么“x?0”是“x?3”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

?????x?y?0?4．在平面直角坐标系中，不等式组?x?y?4?0表示的平面区域面积是（ ）．

?x?1?A．3 B．6 C． 5．下列命题中正确的是（ ）

9 D．9 21A.y?x?的最小值是2

xC.y?2?3x?

B.y?x2?3x?22的最小值是2

44?x?0?的最大值是2?43 D.y?2?3x??x?0?的最小值是xx2?43 6.函数y?x?1?x?1的最小值是 （ ）A. 1 B.2 C.2 D.0

?0.27.已知a?1.521,b?1.3,c?()3,则a,b,c的大小为 ( )

30.7A.c?a?b 8.函数y?elnxB. c?b?a C. a?b?c D. a?c?b

?x?1的图象大致是（ ）

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9.已知函数f(x)是定义在实数集R上得不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

5f()=（ ） xf(x?1)?(1?x)f(x，则)215A．0 B. C.1 D.

2210.设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为 ( ) Ａ.3V

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

11． 满足条件{1,3}?B?{1,3,5}的所有集合B的个数是______。

12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x?2x(x≥0)，若f(3?a2)?f(2a)，则实数a的取值范围是________．

13．若关于x的方程lnx?ax?0只有一个实根，则实数a? 14．给出一列三个命题：

①函数f(x)?x|x|?bx?c为奇函数的充要条件是c?0； ②若函数f(x)?lg(x?ax?a)的值域是R，则a??4,或a?0；

③若函数y?f(x?1)是偶函数，则函数y?f(x)的图象关于直线x?0对称． 其中正确的命题序号是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）已知集合A??x||x?a|?2?，B??x|（Ⅰ）若a?1，求集合A、集合B

（Ⅱ）若A?B?R，求a的取值范围。

216．（本小题满分12分）已知二次函数f(x)?ax?bx(a?0)满足1?f(?1)?2，

2Ｂ.

32V Ｃ.

34V

Ｄ. 23V 2??2x?6??1?. x?2?2?f(1)?5，求f(?3)的取值范围。

17．（本小题满分14分）已知函数f(x)?13x?x2?3x在x1,x2(x1?x2)处取得极值，记3第 2 页 共 13 页

点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)). ⑴求x1,x2的值；

⑵证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点；

18．（本小题满分14分）某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：

39(2x2?29x?107) (5?x?7) Q＝ 198?6x (7?x?8)

x?5 （1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式； （2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.

b?2x19．（本小题满分14分）已知定义域为R的函数f(x)?x是奇函数.

2?a(1)求a,b的值;

(2)用定义证明f(x)在???,???2上为.

2(3)若对于任意t?R,不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立,求k的范围.

20、（本小题满分14分）已知函数f(x)?⑴求f(x)的解析式；

⑵设A是曲线y?f(x)上除原点O外的任意一点,过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B,试问：是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在,求出点

mxx?n2(m,n?R)在x?1处取得极值2.

A的坐标；若不存在,说明理由；

⑶设函数g(x)?x2?2ax?a,若对于任意x1?R,总存在x2?[?1,1],使得g(x2)?f(x1),求 实数a的取值范围.

姓名___________________座号___________________班级__________________

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汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期中考试

高三文科数学 答案卷

一、选择题（50分） 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题（20分）

11．_____________________________ 12．______________________________ 13．_____________________________ 14．______________________________ 15.（本小题满分12分）

16.（本小题满分12分）

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17.（本小题满分14分）

18. （本小题满分14分）第 5 页 共 13 页

姓名___________________座号___________________班级__________________

19. （本小题满分14分）

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20. （本小题满分14分）

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汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期中考试

高三文科数学 参考答案

一、选择题（50分） 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A D C B A D A C 二、填空题（20分） 11．4 12. (-3,1) 13． 三、解答题（80分） 15．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由|x?1|?2，得1?2?x?1?2，即A?(?1,3) 4分 由

1 14．①② e2x?6x?4?1??0?x??4或x??2 x?2x?2即B?(??,?4)?(?2,??) 9分

（Ⅱ）A?B?R???a?2??4??4?a??2，

?a?2??2a的取值范围是?4?a??2 12分

16．（本小题满分12分）

解：法一：设f(?3)?mf(?1)?nf(1)，则有9a?3b?m(a?b)?n(a?b)，即

?m?n?9m?n?3?6??mn?3 ?f(?3)?6f(?1)?3f(1)

又?1?f(?1)?2， 2?f(1)?5， ?12?f(?3)?2 7法二：线性规划

?1?a?b?2由已知得?（*）（1分）

2?a?b?5?f(?3)?9a?3b（2分）

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（*）如图阴影所示直线

平行移动9a?3b?0，可知f(?3)随截距变大而变大，故f(?3)过A点时取最小值，过B点时取最大值。（8分）

由A:??a?b?131?A(,) 此时f(?3)=2（9分）

22?a?b?2?a?b?273?B(,) 此时f(?3)=27（11分）

22?a?b?5由B:?故2?f(?3)?27（12分）

17．（本小题满分12分）解法一：∵f?(x)?x2?2x?a，依题意，

f?(1)?12?2?a?a?1??4

∴a??3，（2分）f(x)?213x?x2?3x 3 由f?(x)?x?2x?3?0，得x1??1,x2?3（3分）

令f?(x)?0,x?3或x??1，f(x)的单调增区间为(??,?1)和(3,??)，

f?(x)?0,?1?x?3，单调减区间为(?1,3)（5分）

所以函数f(x)在x1??1.x2?3处取得极值。 故M(?1,).N(3,?9)（7分） 所以直线MN的方程为y??538x?1 （8分） 313?2y?x?x?3x??332 由?得x?3x?x?3?0 （9分）

?y??8x?1?3? 令F(x)?x?3x?x?3，易得F(0)?3?0,F(2)??3?0，（11分）

而F(x)的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，故F(x)在(0,2)内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点。（12分）

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32解法二：同解法一，可得直线MN的方程为y??8x?1（8分） 313?2y?x?x?3x??332由?得x?3x?x?3?0 （9分） ?y??8x?1?3??x1??1?x2?1?x3?3??解得x1??1,x2?1.x3?3 ?? （11分） 5?11?y1?,?y2??,?y3??9?3?3?所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(1,?

18. （本小题满分14分）解：（1）依题意得：

11) 。 （12分） 339(2x2?29x?107)(x?5)...(5?x?7)198?6xy?{(x?5)....................(7?x?8)x?5?50?10(x?8)?(x?5)...........(x?8)

39?(2x3?39x2?252x?535)...(5?x?7)?{6(33?x)..................................(7?x?8) （5分）

?10x2?180x?650.......................(x?8)32（2）由（1）得：当5?x?7时，y?39?(2x?39x?252x?535)

y'?234(x2?13x?42)?234(x?6)(x?7)

'当5?x?6时，y?0，y?f(x)为增函数 '当6?x?7时，y?0,y?f(x)为减函数

?当x?6时，f(x)max?f(16)?195 （8分）

当7?x?8时，y?6(33?x)??150,156?当x?8时，y??10(x?9)?160

2

（10分）

当x?9时，ymax?160 （12分）

综上知：当x?6时，总利润最大，（13分） 最大值为195 （14分） 19．（本小题满分14分）解： （1）?f(x)为R上的奇函数,?f(0)?0,b?1.

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又f(?x)??f(x)，得a?1 （2分） 经检验a?1,b?1符合题意.（3分） (2)任取x1,x2?R,且x1?x2（4分）

1?2x11?2x2(1?2x1)(2x2?1)?(2x1?1)(1?2x2) 则f(x1)?f(x2)=x ?x2?x1x212?12?1(2?1)(2?1)2(2x2?2x1)=x x21(2?1)(2?1)（6分）

?x1?x2,?2x1?2x2?0,又?(2x1?1)(2x2?1)?0?f(x1)?f(x2)?0,?f(x)为R上的减函数. （8分）

(3)? t?R,不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立, ?f(t2?2t)??f(2t2?k)

?f(x)为奇函数, ?f(t2?2t)?f(k?2t2)（10分） ?f(x)为减函数, ?t2?2t?k?2t2.（11分）

即k?3t2?2t恒成立,而3t2?2t?3(t?)2? 1

?k??.（14分）

3

20. （本小题满分14分）解：⑴∵f(x)?mxx?n2221311 ??.33（13分）

,∴f?(x)?m(x?n)?mx?2x(x?n)22?mn?mx(x?n)22.又

f(x)在x?1处取得极值2.

m(n?1)?4x?(1?n)2?0?f?(1)?0∴?,即?,解得n?1,m?4,经检验满足题意,∴f(x)?2.………

mf(1)?2x?1???1?n?2（4分） ⑵由⑴知f?(x)?x04?4x222(x?1).假设存在满足条件的点A,且A(x0,24x0x0?12),则kOA?24x0?12,

又f?(x024?4(2))?x2202[(2)?1]?16(4?x0)2(x0?4)2.则由kOA?f?(x02),得

42x0?1?16(4?x0)2(x0?4)242?4x0,∴5x0,

2∵x0?0,∴x0?,得x0??42555.故存在满足条件的点A,此时点A的坐标为(25855,9)或

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(?255,?859). ………… （8分）

?4(x?1)(x?1)(x?1)22⑶解法1：f?(x)? ,令f?(x)?0,得x??1或x?1.

当x变化时,f?(x)、f(x)的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (??,?1) ?1 0 (?1,1) 1 0 (1,??) ? 单调递减 ? 单调递增 ? 单调递减 极小值 极大值 ∴f(x)在x??1处取得极小值f(?1)??2,在x?1处取得极大值f(1)?2. 又x?0时,f(x)?0,∴f(x)的最小值为f(?1)??2.

∵对于任意的x1?R,总存在x2?[?1,1],使得g(x2)?f(x1),∴当x?[?1,1]时,g(x)最小值不大于?2.又g(x)?x2?2ax?a?(x?a)2?a?a2.

∴当 a??1时,g(x)的最小值为g(?1)?1?3a,由1?3a??2,得a??1； 当a?1时,g(x)最小值为g(1)?1?a,由1?a??2,得a?3；

当?1?a?1时,g(x)的最小值为g(a)?a?a2.由a?a2??2,即a2?a?2?0,解得a??1或a?2.又?1?a?1,∴此时a不存在. 综上,a的取值范围是(??,?1]?[3,??). ………… (14分) 解法2：同解法1得f(x)的最小值为?2.

∵对于任意的x1?R,总存在x2?[?1,1],使得g(x2)?f(x1),∴当x?[?1,1]时,g(x)??2有解,即x2?2ax?a?2?0在[?1,1]上有解.设h(x)?x2?2ax?a?2,则

???4a2?4(a?2)?4(a?1)(a?2)?0???1?a?1得a??, ??h(?1)?3a?3?0??h(1)??a?3?0或h(?1)h(1)?(3a?3)(?a?3)?0,得a??1或a?3.

∴a??1或a?3时,x2?2ax?a?2?0在[?1,1]上有解,故a的取值范围是

(??,?1]?[3,??).

解法3：同解法1得f(x)的最小值为?2.

∵对于任意的x1?R,总存在x2?[?1,1],使得g(x2)?f(x1),∴当x?[?1,1]时,g(x)?x2?2ax?a??2有解,即(2x?1)a?x2?2在[?1,1]上有解.令2x?1?t,则

x?2t?2t?142,∴at?t?2t?942,t?[?3,1].

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∴当t?[?3,0)时,a?(t?2?)??[(?t)?(?)]??1；当t?0时,得0?4t24t1911994,不成立,∴

a不存在；

当t?(0,1)时,a?(t?2?).令?(t)?t?2?,t?(0,1],∵t?(0,1]时,??(x)?1?4tt1999t2?0,

∴?(t)在(0,1]上为减函数,∴?(t)??(1)?12,∴a??12?3.

41综上,a的取值范围是(??,?1]?[3,??).

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