读书报告

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我主要读了《常微分方程》和马知恩的《种群生态学的数学建模与研究》两本书。通过近三个月的读书、学习，我对微分方程的稳定性以及一些简单的微分方程模型已有了进一步的了解和认识，并学习了有关微分方程模型在种群中的应用的知识。一下是我对所学知识的简单总结：

1、微分方程稳定性理论

微小的干扰因素对于物质系统运动的影响，对不同的运动是不一样的。对于一些运动，这种影响并不显著，因而受干扰的运动与不受干扰的运动相差很小；反之，对于另外一些运动，干扰的影响就可能很显著，以至于干扰力无论多么小，受干扰的运动与不受干扰的运动随着时间的推移而可能相差很大。这就提出了干扰对运动的影响程度的研究，从而建立了运动的稳定性理论。李雅普诺夫给运动的稳定性以精确的数学定义并系统地解决了运动稳定性问题，创造了解决稳定性问题的两种方法。第一种方法是寻求扰动微分方程组的通解或特解，以级数形式将他们表达出来，最简单的级数形式是任意常数的正整数幂级数，而在该基础上研究稳定性问题。第二种方法则不需考虑扰动微分方程组的级数形式，而仅借助于一个称为李雅普诺夫函数的辅助函数与扰动微分方程组所计算出来的全导数的符号性质来直接推断稳定性问题，亦称李雅普诺夫直接法。以下简单介绍利用第二种方法来判断方程组的稳定性问题。

1.1 平衡点

假设我们考虑动力系统有下列方程组

dy?g?t,y? （1） dt其中y??y1,y2,?,yn??Rn,g(t,y)在区域G*??t,y?y?D*?Rn,t?t0内连续且满足解的唯一性条件。

如果对于某个常数点y0?D*,有g(t,y0)?0,则称点y0是系统（1）的平衡点或平衡位置，且称y?y0是系统（1）的平凡解。 设在t?t0时刻过初始点y0的解为

y??(t,t0,y0)??(t) （2）

T??则我们关心的是：在时刻t?t0过y0邻域内任一点y1的解y(t,t0,y1)与解（2）当t增加时是否还在解(2)的邻域内；换句话说，即是否有：任给??0,???0,当如果对一切t?t0,上面的等式均成立，y1?y0??时，y(t,t0,y1)??(t)??(t?t0)。则称解y??(t)是稳定的；否则称其是不稳定的.

为了讨论方便，先作变换，令

x?y??(t) 则有

dxdyd?(t)???g(t,y)?g(t,?(t))?g[t,x??(t)]?g[t,?(t)]?f(t,x) dtdtdt显然有f?t,0??0，故系统（1）变为

dx?f(t,x) （3） dt于是可知y??(t)是系统（1）的解对应于（3）的解。这样，研究方程组（1）的任一特y=?(t)的稳定性问题可转化为研究系统（3）的平凡解x?0的稳定性问题。 1.2 稳定性的定义

对于系统（3）的零解的稳定性定义，通常是指李雅普诺夫下的稳定性意义下的稳定性定义。假设系统（3）右端函数满足条件： （1） f?t,0??0,

（2） 存在H，使的在GH??t,x?x?H.t?t0,x?Rn上有连续的偏导数。 在f(t,x)的假设下，x?0是系统（3）的平凡解且系统（3）满足解的存在唯一性、延拓、解对参数的连续性、可微性等条件。下面给出稳定性的定义。

定义1 ???0,????(t0,?)?0,若当x0??时，有 x(t,t0,x0)??(?t?t0) 则称方程组（3）的零解是稳定的。

定义2 如果方程组（3）的零解是稳定的，且有这样的?0?0,使当x0??0时，满足初始条件x(t0)?x0的解x(t,t0,x0),均有limx(t,t0,x0)?0，则称方程组（3）

t?????的零解是渐近进稳定的。

定义3 ??0?0,???0,若?xo?0,满足x0??,且?t1?t0，有

x(t1,t0,x0)??0

则称方程组（3）的零解是不稳定的。

定义4 若x?0渐近稳定，且存在域D0当且仅当x0?D0时满足初始条件

x(t0)?x0的解x?t?均有limx(t,t0,x0)?0，则域D0称为（渐近）稳定域。若稳定

t???域为全空间，即?0???，则称零解x?0为全局渐近稳定或简称全局稳定。

定义5 在定义1中，若?与?的选取无关，则称零解是一致稳定的。 1.3 关于李雅普诺夫函数（V函数）

李雅普诺夫第二方法的特点是不必求出微分方程的解，而借助于构造一个具有特是性质的函数，结合方程组本身来讨论稳定性。此函数即李雅普诺夫函数。

考虑纯量函数V?x??V?t,x??满足如下条件： （1） V?0??0?V?t,x??0?，

（2） 在定义域DH?{x|x?H}(GH?{(t,x)|x?DH,t?t0}) 上有定义、连续

和有连续的一阶偏导数；如果要求全局稳定，只需要取H=+∞即可。 定义6 如果对?x?DH\\?0?,均有V?x??0,则称V?x?是定正函数；如果?V?x? 是定负函数，则称V?x? 是定负函数；定正和定负函数统称为定号函数。

定义7 如果对?x?DH,均有V?X??0,则称V?x?是常正函数；如果

?V?x?是常负函数，则称V?x? 是常负函数；常正和常负函数统称为常号函数。

定义8 称不是常号的函数为变号函数。

定义9 设?(x)是定正函数，若V?t,x???(x)，则称V?t,x?是定正函数；如果?V?t,x?是定正函数，则V?t,x?称定负函数。 1.4 稳定性的基本定理

1.4.1 李雅普诺夫稳定性定理

dx?f(x) （4） 考虑驻定系统dt其中f?x?在DH?{x|x?H}（H>0常数）上有定义，且系统（4）的解满足

存在唯一性条件，并且有f?0???0?,

f?x???f1?x1,x2,?,xn?,f2?x1,x2,?,xn?,?,fn?x1,x2,?,xn?? 设纯量函数V?X?在DH上有定义、连续且有一阶偏导数和V?0??0.取函数

TV?x?沿着系统（4）解的全导数为

nndV?Vdxi?V????fi(x1,x2,?,xn)?GrandV(x)?f(x)??(x) （5） dti?1?xidtii?1?xi显然?(x)在DH上有定义、连续且满足?(x)?0.

定理1 对于方程组（4）的解x?0，如果存在V?x?，满足 （1） V?x?定正（定负），

（2） 由（5）式定义的?(x)?0??0?， 则方程组（4）的零解是稳定的。

定理2 对于方程组（4）的解x?0,如果存在V?x?，满足 （1）V?x?定正（定负），

（2）由（5）式定义的?(x)定负（定正），

则系统（4）的解x?0是渐进稳定的。

1.4.2 李雅普诺夫不稳定性定理

定理3 对于系统（4）的解x?0,如果存在V函数，满足 （1）V是定号函数，

（2）由（5）式定义的?(x)?0??0?，但在原点的任一邻域内至少有一点x0，使V?x0??0??0? 则称系统（4）的解x?0是不稳定的。 定理4 对于系统（4）的解x?0,如果存在V函数，满足 （1） V??V???x?，其中??0是常数，

（2） ??x??0或?(x)常号，且存在任意小的x，使得V??0，则称系统（4）的解是不稳定的。 1.4.3 非驻定系统的稳定性定理

考虑非驻定系统

dx?f(t,x) （6） dt其中f?t,x?在I0?DH(I0?(t0,??))上有定义、连续且满足解的唯一存在性条件，对一切t?t0,有f?t,0??0.

考虑纯量函数V?t,x?,使得V?t,x?在I0?DH上有定义，连续和有连续的一阶偏导数，且对一切t?t0均有V?t,x??0.

定理5 对于系统（6）的解x?0,如果存在函数V?t,x?，满足 （1） V?t,x?定正（定负），

（2） V?t,x??0??0?，则系统（6）的解是稳定的。

定理6 对于系统（6）的解x?0,如果存在函数V?t,x?，满足 （1） V?t,x?定正（定负），

（2） 当x?0时V?t,x?一致趋于零，

（3） V?t,x??0??0?，则系统（6）的解是一致稳定的。

2、种群生态学中的简单微分方程模型

生态数学模型不仅是对生态系统进行定性分析和定量研究的理论基础之一，而且是解决生态学实际问题，优化管理农、林、牧、渔业生态系统，提高生态经济效益的技术手段之一。例如：在传染病动力学中，提出预防疾病流行而制定免疫接种的最优策略：在渔业养殖与森林管理中如何进行养殖、收获、种植和砍伐的优化方案，使得既能保持持续生产又能有最好的收益：在植保研究中提出防治害虫的最优管理策略，包括合理使用农药或培养天敌的优化方案：在环境保护中，用以研究如何更有效地保护生物的多样性等等。

下面我将介绍一些简单的种群生态学模型的建立过程： 2.1 单种群模型

2.1.1 马尔萨斯(Malthus)模型

假定只有一个种群，N?t?表示t时刻生物总数，r表示出生率，t0表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为

?dN?t??rN?t?,?dt??N?t??N0t?t0?(1)不难得到其解为N?t??N0er(t?t0).

2.1.2 密度制约模型

由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

dN?t?N?t??rN?t?(1?)dtK(2)

其中K为最大容纳量，可以看出当N?t??K时，种群的规模不再增大。这个模型就是著名的Logistic模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K个

1个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的，在t时刻个体共消耗了总资源

K的

N?t?N?t?此时资源剩余1?，因此Logistic模型表明：种群规模的相对增长

KK率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

称为密度制约。显然当不考虑密度制约因素时，Logistic方程就变成了Malthus模型。

由方程(2)可见，种群规模有两个平衡态N?t??0;N?t??K，易知其解曲线的分布如下图

(可由函数单调性讨论得到)

2.2 两种群相互作用的模型 Volterra模型

（1）. 无捕捞情况下的模型

假定，若不存在捕食者y?t?时，食饵种群规模x?t?的增长符合马尔萨斯方程，即

dx?t??ax?t? dt其中a?0为增长率，当捕食者存在y?t?时，单位时间内每个捕食者对食饵的吞食量与食饵种群规模x?t?成正比，比例常数为b?0从而有

dx?t??ax?t??bx?t?y?t? dt再假定捕食者吞食食饵以后，立即转化为能量，供给捕食种群的繁殖增长(略去时滞)，设转化系数为?，捕食种群的死亡率与种群规模成正比，比例系数为d。于是有

dy?t???bx?t?y?t??dy?t? dt这样，Volterra便得到由捕食者与食饵所构成的两种群相互作用的数学模型

?dx?ax?bxy??dt??dy?cxy?dy??dt(3)

其中c??b。这是一个非线性微分方程，我们对它进行定性讨论。

A: 确定平衡点(驻点，稳定点)

?ax?bxy?0da由?解得两个平衡位置O(0,0);M(,)

cb?cxy?dy?0B: 考虑各个平衡点的稳定性 对O(0,0)，考虑其一次线性近似系统

?dx?ax??dt ?dy???dy??dt得到其特征方程为(??a)(??b)?0，得到特征根?1?a?0;?2??b?0，易知具有正实部的特征根，所以有常微分方程的知识知平衡点O(0,0)是不稳定的。

dada对平衡点M(,)，作变换x?x?,y?y?，将坐标系平移，系统(3)化为

cbcbbd?dx??y?bxy??dtc??dy?acx?cxy?b?dt(4)

可用同样的方法讨论其稳定性。 易知其稳定但非渐近稳定。

同号——结点 相异（非零）实根

实根 异号——鞍点(不稳定)

临界结点（正的不稳定，负的稳定） 重（非零）实根 退化结点（正的不稳定，负的稳定） 实部不为零——焦点 复根 实部为零——中心(稳定但非渐近稳定)

由matlab给出系统(3)的数值模拟： 假定a?1,b?0.1,c?0.02,d?0.5

可由simulink仿真模拟出其解曲线的图形

从而验证了稳定而非渐近稳定 (2) 考虑捕捞情况下的模型

假定由于海上捕捞，食饵与捕食者的数量分别以hx和hy的速率减少，其中h反映了捕捞能力，它由渔船的规模、设备与技术水平、下网次数等因素所确定h?a，于是在捕捞情况下，系统(3)就变为

?dx??a?h?x?bxy??dt??dy?cxy??d?h?y??dt(5)

可以判断其平衡点及其稳定性的情况

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/56jg.html