泛函分析习题

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(?a

为开集的充要条件是B为闭集.

7.设E及F是度量空间中两个集，如果d(E,F)?0，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F.

8.设B[a,b]表示[a,b]上实有界函数全体，对B[a,b]中任意两元素

f,g?B[a,b]，规定距离为

d(f,g)?sup|f(t)?g(t)|.

a?t?b证明B[a,b]不是可分区间.

9.设X是可分距离空间，f为X的一个开覆盖，即f是一族开集，使得对每个x?X，有f中开集O，使x?O，证明必可从f中选出可数个集组成X的一个覆盖.

10.设X为距离空间，A为X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X，证

y?A明f(x)是X上连续函数.

11.设X为距离空间，F1,F2为X中不相交的闭集，证明存在开集

G1,G2，使得G1?G2??,G1?F1,G2?F2.

12.设X,Y,Z为三个度量空间，g是Y到f是X到Y中的连续映射，

Z中的连续映射，证明复合映射(gf)(x)?g(f(x))是X到Z中的连续映

射.

13.设X是度量空间,f是X上的实函数，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合

{x|x?X,f(x)?c}和集合{x|x?X,f(x)?c}. 都是闭集.

14.证明柯西点列是有界点列.

15.证明§1中空间S,B(A)以及离散空间都是完备的度量空间.

16.证明l?与C(0,1]的一个子空间等距同构.

17.设F是n维欧几里得空间Rn中有界闭集,A是F到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何x,y?F(x?

d(Ax,Ay)?d(x,y),

y)，有

证明映射A在F中存在唯一的不动点.

18.设X为完备度量空间,A是X到X中映射，记 an?supx?x?d(Ax,Ax?)d(x,x?)nn.

若?ann?1???，则映射A有唯一不动点.

19.设A为从完备度量空间X到Y中映射，若在开球U(x0,r) (r?0)内适合

d(Ax,Ax?)??d(x,x?),0???1.

又A在闭球S(x0,r)?{x|d(x,x0)?r}上连续，并且

d(x0,Ax0)??(1??)r.

证明：A在S(x0,r)中有唯一的不动点.

n20.设a?jk,j,k?1,2,?,n为一组实数，适合条件jk?(ai,j?1ij??ij)?1，其中

2当j?k时为1，否则为0.证明：代数方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2, ??????????????ax?ax???ax?bnn22nnn?n11

对任何一组固定的b1,b2,?,bn，必有唯一的解x1,x2,?,xn.

21.设V[a,b]表示[a,b]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算

(x),证明为通常函数空间中的运算.在V[a,b]中定义范数||x||?|x(a)|?VaV[a,b]是

bBanach空间.

22.设X1,X2,?是一列Banach空间，x?{x1,x2,?,xn,?}是一列元素，其中xn?Xn,n?1,2,?,并且?||xn||p??，这种元素列的全体记成X，类

n?1?似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算.若令

?1pp||x||?(?||xn||)n?1，

证明：当p?1时，X是Banach空间.

23.设X是线性赋范空间，X每个(x,y)?X?X，定义||(x,y)||?间.证明X?X?X为两个X的笛卡尔乘积空间，对

22||x||?||y||,则X?X成为赋范线性空

到X的映射：(x,y)?x?y是连续映射.

24.设?是实（复）数域，X为赋范线性空间，对每个(?,x)???X，定义||(?,x)||?|?|?||x||22，则(?,x)??x为??X到X中的连续映射.

25.设C为一切收敛数列所组成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同.在C中令||x||?sup|xi|,x?{xn}?C，证明C是可分的Banach

i空间.

第八章 有界线性算子和连续线性泛函

复习题

1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.

2.求C[?1,1]上线性泛函f(x)???1x(t)dt??0x(t)dt的范数.

?013.设无穷阵(aij)i,j?1,2,?,满足supi?j?1|aij?|?作.l?到l?中算子如

?下：若x?(ξ1,ξ2,?),y?(?1,?2,?),Tx?证明||T||?sup?|aij|.

ij?1?y,则?i???ξ,i?1,2,?.

ijjj?14.设sup|?n|??,在lp(p?1)中定义线性算子：y?Tx,?in?1??ξ,i?1,2,?,ii其中x?(ξ1,ξ2,?,ξn,?),y?(?1,?2,?,?n,?),证明T是有界线性算子，并且

||T||?sup|?n|.

n?15.设X是n维向量空间，在X中取一组基{e,e12,?,en},(t??)n是n?n矩

e??，其中阵，作X到X中算子如下：当x??x?e?时，y?Tx??y??1nnn??11y???t??1???x,??1,2,?,n.若规定向量的范数为||x||?(?|x?|)2，证明上述

2??1n12nn1算子的范数满足m?ax(?|t????1|)2?||T||?(??|t??|)22.

??1??16.设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子，若T的零空间是闭集，T是否一定有界？

7.作

l(1?p???)p中算子

?T如下：当

x?(x1,x2,?)?l??qp时，

??,Tx?(y1,y2,?,yn,?),其中yn??tm?1nmxm,n?1,2,3,?,?(?|tnm|)n?1m?1p/q

1p?1q?1，证明：T是有界线性算子.

|ξj|,x=(ξ1,ξ2,?,ξn)成赋范线性空间，问此赋8.Rn按范数||x||?maxj范线性空间的共轭空间是什么？

9.设C0表示极限为0的实数列全体，按通常的加法和数乘，以及

||x||?sup|ξi|,x=(ξ1,ξ2,?,ξn,?)构成

iBanach空间，证明：(C0)??l1.

第九章 内积空间和希尔伯特空间

复习题：

1.设{xn}是内积空间X中点列，若||xny?X，且对一切||?||x||n(??)有

xn,y?x,y(n??)，证明xn?x(n??).

2.设X1X2,?,Xn?是一列内积空间，令

2X?{{xn}|xn?Xn,?||xn||??},当{xn},{yn}?Xn?1?时，规定

??{xn}??{yn}?{?xn??yn},其中?,?是数，{xn},{yn}??n?1xn,yn,证明：X是内积空间，又当Xn都是Hilbert空间时，证明X也是Hilbert空间.

3.设X是n维线性空间，{e1,e2,?,en}是X的一组基，证明为X上内积的充要条件是存在n?n正定方阵??(a??)，使得

nnnx,y成

?x?e?,?y?e???1??1???,??1a??x?y?.

y||?||x||?||y||,则x?y2224.设X是实内积空间，若||x?，当X是复

内积空间时，这个结论是否仍然成立？

5.证明：内积空间X中两个向量x,y垂直的充要条件是：对一切数a，成立||x?ay||?||x||.

6.设X是Hilbert空间，MM?X,并且M??,证明(M?)?是X中包含

的最小闭子空间.

7.设{en}是L2[a,b]中的规范正交系，说明两元函数列en(x)em(y)

若{en}完全，则两元函(n,m?1,2,3,?)是L([a,b]?[a,b])中的规范正交系，

2数列en(x)em(y)(n,m?1,2,3,?)也是完全的.

8.设

e1,e2,?en为内积空间

X中规范正交系，证明：

X到

span{e1,e2,?,en}的投影算子P为Px????1nx,e?e?,x?X.

9.设X为可分Hilbert空间，证明X中任何规范正交系至多为可数集.

10.设X是内积空间，X?是它的共轭空间，fz表示X上线性泛函

fz(x)?x,z,若X到X?的映射F：z?fz是一一到上的映射，则X是

Hilbert空间.

11.设X和Y为Hilbert空间，?是X到Y中的有界线性算子，N(A)和R(A)分别表示算子A的零空间和值域，证明

N(A)?R(A),N(A)?R(A)R(A)?N(A),R(A)?N(A)????????

12.设T是Hilbert空间X中有界线性算子，||T||?1,证明： {x|Tx?x}?{x|Tx?x}.

13.设H是Hilbert空间，M是H的闭子空间，x0?H，证明：

min{||x?x0|||x?M}?max{|x0,y||y?M,||y||?1}.

??14.设H是复Hilbert空间，M为H的闭子空间，则M为H上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是M?是一维子空间.

15.设T为Hilbert空间X上正常算子，T解，证明：

（1）||T||?||A?B||,

222?A?iB为T的笛卡尔分

（2）||T2||?||T||2.

16.证明：A是实内积空间X上自伴算子时，A?0的充要条件为对所有x?X，成立

Ax,x?0.

17.设U是Hilbert空间L2[0,2?]中如下定义的算子：

(Uf)(t)?ef(t),f?L[0,2?],

it2证明U是酉算子.

218.设?是平面上有界L可集测，L(?)表示?上关于平面L测度平

方可积函数全体，对每个正常算子.

f?L(?)，定义(Tf)(z)?zf(z),z??,证明T2是

第十章 巴拿赫空间中的基本定理

复习题：

1.设X是赋范线性空间，x1,x2,?,xk是X中k个线性无关向量，

?1,?2,?,?k是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：

f||?M（1）f(x?)??v,??1,2,?,k, （2）||

的线性连续泛函f的充要条件为：对任何数t1,t2,?,tk,

kk|?t???|?M||?t?x?|| 都成立.

??1??12.设

X是赋范线性空间，Z是

X的线性子空间，x0?X，又

d(x0,Z)?0，证明存在f?X?，满足条件：

（1）当x?Z时，f(x)?0； （2）f(x0)?d(x0,Z)； （3）||f||?1.

3.证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的. 4.证明Banach空间X自反的充要条件是X?自反.

5.设?0,?1,?,?n,?是一列数，证明存在[a,b]上有界变差函数g(t)，

使?atbndg(t)??n,n?0,1,2,?成立的充要条件为对一切多项式p(t)?nn?c?t??0?,成立着|?c?????0|?M?max|p(t)|.其中Ma?t?b为常数.

p6.设T为lp(p?1)中单向移位算子，即若x?(ξ,ξ,?,ξ,?)?l，则

12nTx?y?{0,ξ1,ξ2,?,ξn,?}，求T?.

7.举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉. 8.证明：在完备度量空间X中存在闭球套定理，即若 且S1?S2S??{x|d(x,x?)???},??1,2,?,

???Sn??,???0(???)，则存在唯一的x??S?；反之，若

??1?在度量空间X中存在闭球套定理，则X是完备度量空间.

ξ1,ξ2,?,ξn,?}?C0,9.设y?{?1,?2,?,?n,?}是一列复数，若对任何x?{级数?ξj?j都收敛，证明：y?l1，其中C0的定义见第八章题9.

j?1?10.设f(t)是[a,b]上的L可测函数，p?1，若对一切g?Lp[a,b]，函数

f(t)g(t)都在[a,b]上L可积，则f?L[a,b]，其中

q1p?1q?1.

11.证明：设X是Banach空间，p(x)是X上泛函，满足条件： （1）p(x)?0； （2）??0时，p(?x)??p(x)；

（3）p(x1?x2)? （4）当x?X,xnx?Xp(x1)?p(x2); ?xp(xn)?时，limn??p(x).证明必有M?0，使对一切

，成立p(x)?M12.设Tn?B(X||x||.

?Y)(n?1,2,?)，其中X是Banach空间，Y是赋范线

性空间，若对每个x?X,{Tnx}都收敛，令Tx?lim证明T是X到Y中Tnx，x??有界线性算子，并且||T||?lim||Tn||.

n??13.设X是可分Banach空间，M是X?中有界集，证明M中每个点列含有一个弱＊收敛子列.

14.证明：空间C[a,b]中点列{xn}弱收敛于x0的充要条件是存在常数

M，使得||xn||?M,n?1,2,?,并且对任何t?[a,b]，成立limxn(t)?x0(t). n??15.设X是赋范线性空间，M为X的闭子空间，若M中点列{xn}，

当n??时弱收敛于x0，那么必有x0?M. 16.证明：

x?{ξ1,ξ2,?}?lpl(p?1)中

p点列

nxn?{ξ,ξ21(n)(n),?},n?1,2,?,弱收敛于

?ξk(n)ξk的充要条件为sup||x||??,且对每个k,limn??.

17.设X是线性空间，||x||1和||x||2是X上两个范数，若X按||x||1及

||x||2都完备，并且由点列{xn}按||x||1收敛于

0，必有按||x||2也收敛于0，

证明存在正数a和b，使a||x||1?||x||2?b||x||1. 18.设T是Banach空间

X到赋范线性空间F中的线性算子，令

n0Mn?{x|||Tx||?n||x||},n?1,2,?,证明：总有M在X中稠密.

19.用闭图像定理证明逆算子定理.

20.设A及B是定义在Hilbert空间X上的两个线性算子，满足

Ax,y?x,By，其中x,y为X中任意向量，证明A是有界算子.

21.设T为定义在复Hilbert空间X上的有界线性算子，若存在常数

?0?0，使Tx,x??0x,x，则称T为正定的.证明：正定算子必有有界

1逆算子T?1，并且||T?1||?

?0.

第十一章 线性算子的谱

复习题： 1.设X征值.

2.设X3.设X?C[0,2?],(Ax)(t)?ex(t),x?X2?C[0,1],(Ax)(t)?tx(t),x?X.证明?(A)?[0,1],且其中没有特

it.证明?(A)?{?||?|?1}.

，试求?(A).

?l,Ax?A(x1,x2,?,xn?)?(x2,x3,?,xn?)4.设F是平面上无限有界闭集，在l2中定{an}是F的一稠密子集，义算子

T：

Tx?T(x1,x2,?,xn,?)?(?1x1,?,?nxn,?),则

?n都是特征

值,?(T)?F,F\\{an}中每个点是T的连续谱.

5.设?为线性算子An的特征值，则?的n次根中至少有一个是算子A的特征值.

6.设A为Banach空间X上的有界线性算子,

?0??(A), 又设{An}||An?A||?0,证明当n充分大后,An也以为X上一列有界线性算子,且limx???0为正则点.

7.设A是Banach空间X上的有界线性算子，当|?|?||A||时，

?R??(A??I)?1???n?0An,||R?||?n?11|?|?||A||.

?R??(???)R?R?8.设A为X上的有界线性算子，则R??,???(A)，其中R?与R?的意义同第七题.

.

9.设A为Hilbert空间H上的有界线性算子，A?为A的共轭算子，证明?(A?)?{?|???(A)}??(A).

10.设T1是X1到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1到X3的全连续算子.

11.设A是l上线性算子，记en2?(0,0,?,0,1,0,?)?????n?1个，Aek=?ajkej，其

j?1?中?|aij|2

i, j?1?12.en的符号同第十一题.作l2上算子U. Ue是l2上全连续算子且?(U)={0}.

=k1kek+1,k=1,2,?证明U13.设(A?)(s)=?0es+t?(t)dt.求A的特征值和特征函数. （提示：记c=?0et?(t)dt） 14.如果积分算子的核为K(s,t)=?k?1n11pk(s)qk(t)，其中{pk}为线性无关

n的函数组，则其非零特征值?相应的特征向量e有形式e=?ckpk，ck是

k?1bn常数. 若记qij=?aqi(x)pj(x)dx，则ck可由下式决定：?ck=?qikci,k=1,2,?,n.

i?115.在14题中，若pi(x)?qi(x),函数.

16.若K(s,t)?cos(s?t),数.

17.解方程?(x)?2?018.解方程?(x)?3?0?pi,qj?0,(i?j).试求特征值和特征

0?s,t??,求积分算子K的特征值和特征函

cos(x?s)?(s)ds?1. xs?(s)ds?3x?2.

2

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