2018-2019数学新学案同步必修四人教A版（浙江专用版）讲义：第一

§1.3 三角函数的诱导公式(一)

学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)． 知识点一 诱导公式二

思考 角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？

答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二

sin?π＋α?＝－sin α， cos?π＋α?＝－cos α， tan?π＋α?＝tan α.

知识点二 诱导公式三

思考 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？

答案 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式三

sin?－α?＝－sin α， cos?－α?＝cos α， tan?－α?＝－tan α.

知识点三 诱导公式四

思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？

答案 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式四

sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.

梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：

2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．

1．诱导公式中角α是任意角．( × )

提示 正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义． 2．sin(α－π)＝sin α.( × )

提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 41

3．cos π＝－.( √ )

32

提示 cos

π4ππ1π＋?＝－cos ＝－. ＝cos??3?332

4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．( × ) 提示 在角度制和弧度制下，公式都成立．

类型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题 例1 求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；(2)sin

43π11π

－?；(4)cos(－1 920°；(3)sin?)． ?6?4

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－

3. 2

3π 11π

2π＋? (2)sin＝sin?4??4π3π

π－? ＝sin＝sin??4?4π2

＝sin＝.

42

43π7π－?＝－sin?6π＋? (3)sin?6??6??π7ππ1

π＋?＝sin＝. ＝－sin＝－sin??6?662(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°)

1

＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 2

反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化．

(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．

(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos?31π

?－6??；(3)tan(－945°)． 考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－

3

2

. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－3

2

. (2)方法一 cos??－31π6??＝cos31π

6＝cos??4π＋7π6?? ＝cos??π＋π6??＝－cos π6＝－3

2. 方法二 cos??－31π6??＝cos??－6π＋5π

6?? ＝cos??π－π6??＝－cosπ6＝－32

. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命题角度2 给值求值或给值求角问题

例2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π

2，则θ等于( A．－π6 B．－π3 C.π6 D.π3

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案 D

解析 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，

可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π

2

，

)

ππ

即tan θ＝3，|θ|<，∴θ＝. 23

π?5ππ3

－α＝，求cos?＋α?－sin2?α－?的值． (2)已知cos??6?3?6??6?考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 5π?π

＋α＝cos?π－?－α?? 解 因为cos??6???6??π?3－α＝－， ＝－cos??6?3

πππ

α－?＝sin2?－α?＝1－cos2?－α? sin2??6??6??6?＝1－?

3?22

＝， ?3?3

2＋35π?π?322??所以cos?6＋α?－sin?α－6?＝－－＝－.

333反思与感悟 (1)解决条件求值问题的策略

①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．

1

跟踪训练2 (2017·大同检测)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )

311

A．1 B．－1 C. D．－ 33考点 诱导公式二、三、四 题点 诱导公式二 答案 D

解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)， 则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)， sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β) 1

＝－sin β＝－. 3

类型二 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式：

tan?2π－α?sin?－2π－α?cos?6π－α?(1)；

cos?α－π?sin?5π－α?(2)

1＋2sin 290°cos 430°

.

sin 250°＋cos 790°

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 ·sin?－α?cos?－α?

cos?2π－α?

解 (1)原式＝ cos?π－α?sin?π－α?－sin α?－sin α?cos αsin α

＝－＝－tan α.

cos αcos α?－cos α?sin α

1＋2sin?360°－70°?cos?360°＋70°?

sin?180°＋70°?＋cos?720°＋70°?sin?2π－α?

＝

(2)原式＝

1－2sin 70°cos 70°|cos 70°－sin 70°|

＝＝ －sin 70°＋cos 70°cos 70°－sin 70°sin 70°－cos 70°

＝－1.

cos 70°－sin 70°

＝

引申探究

若本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．

cos[α－?n＋1?π]·sin[?n＋1?π－α]解 当n＝2k时，

－tan α·?－sin α?·cos α

原式＝＝－tan α；

－cos α·sin α当n＝2k＋1时，

－tan α·sin α·?－cos α?

原式＝＝－tan α.

cos α·?－sin α?反思与感悟 三角函数式的化简方法

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．

tan?nπ－α?sin?nπ－α?cos?nπ－α?

(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． π

(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan . 4跟踪训练3 化简下列各式： cos?π＋α?·sin?2π＋α?(1)； sin?－α－π?·cos?－π－α?cos 190°·sin?－210°?(2). cos?－350°?·tan?－585°?

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 －cos α·sin α解 (1)原式＝ －sin?π＋α?·cos?π＋α?＝

cos α·sin α＝1.

sin α·cos α

cos?180°＋10°?·[－sin?180°＋30°?]

(2)原式＝ cos?－360°＋10°?·[－tan?360°＋225°?]

－cos 10°·sin 30°

＝

cos 10°·[－tan?180°＋45°?]

－sin 30°1＝＝. －tan 45°2

1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π 考点 公式二、三、四 题点 公式四 答案 C

解析 tan(π－α)＝－tan α＝－4. 2．sin 585°的值为( ) A．－

2233

B. C．－ D. 2222

考点 公式二、三、四

题点 公式二 答案 A

解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－2

. 2

3．(2018·牌头中学月考)利用诱导公式化简： sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________. 考点 公式二、三、四 题点 公式四 答案 sin x －sin x

4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______． 考点 公式二、三、四 题点 公式二 答案 －3

解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°) 3＝tan 60°＝－＝3，即a＝－3. a5．化简：

cos?α－π?

·sin(α－2π)·cos(2π－α)．

sin?5π＋α?

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 cos?π－α?

解 原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)

sin?π＋α?－cos α

·sin α·cos α＝cos2α. －sin α

1．明确各诱导公式的作用

诱导公式 公式一 公式二 公式三 作用 将角转化为0～2π之间的角求值 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 将负角转化为正角求值 ＝

公式四

2.诱导公式的记忆

π将角转化为0～之间的角求值 2这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．

3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．

一、选择题

1．(2017·绍兴期末)cos(π＋x)等于( ) A．cos x C．sin x

考点 公式二、三、四 题点 公式二 答案 B

解析 由诱导公式得cos(π＋x)＝－cos x.

π5π3

α－?＝，则sin?－α?的值为( ) 2．(2017·绵阳检测)已知sin??4?2?4?1133

A. B．－ C. D．－ 2222考点 公式二、三、四 题点 公式四 答案 C

5π?π

－α＝sin?π－?α－?? 解析 sin??4???4??π3α－?＝. ＝sin??4?2

B．－cos x D．－sin x

3．已知sin(π＋α)＝3

5，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )

A．－45 B.45 C．－35 D.35 考点 公式二、三、四 题点 公式二 答案 B

解析 因为sin(π＋α)＝3

5，且sin(π＋α)＝－sin α，

所以sin α＝－3

5，

又因为α是第四象限角， 所以cos(α－2π)＝cos α＝1－sin2α

＝

1－??－35??2＝45

. 4．(2017·天津一中期末)化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( A．1 B．2sin2α C．0 D．2

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案 D

解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( ) 1－k2A.k

．－1－k2Bk

C.k

k

1－k2 D．－

1－k2 考点 公式二、三、四 题点 公式三 答案 B

解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，

∴sin 80°＝1－k2

，则tan 80°＝1－k2

k

. ∴tan 100°＝－tan 80°＝－

1－k2

k

. )

6．已知n为整数，化简sin?nπ＋α?

cos?nπ＋α?

所得的结果是( )

A．tan nα B．－tan nα C．tan α

D．－tan α

考点 公式二、三、四 题点 公式二 答案 C

解析 当n＝2k，k∈Z时，sin?nπ＋α?

sin?2kπ＋α?cos?nπ＋α?＝cos?2kπ＋α?

＝

sin α

cos α

＝tan α； 当n＝2k＋1，k∈Z时，sin?nπ＋α?sin?2kπ＋π＋α?

cos?nπ＋α?＝cos?2kπ＋π＋α?

＝

sin?π＋α?

－cos?π＋α?＝sin α－cos α

＝tan α.故选C.

7．若sin(π－α)＝log1

84，且α∈??－π2，0??，则cos(π＋α)的值为( A.5

3

B．－

53

C．±53

D．以上都不对

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案 B

解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log22

232－＝－3，

α∈??－π

2，0??， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin2α

＝－

1－45

9＝－3

. 二、填空题

8．化简cos?－α?tan?7π＋α?

sin?π－α?＝________.

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用

) 答案 1

cos?－α?tan?7π＋α?cos αtan?π＋α?解析 ＝

sin αsin?π－α?sin α

cos α

cos αcos αtan α

＝＝＝1.

sin αsin α9.

cos?－585°?

的值是________．

sin 495°＋sin?－570°?

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案

2－2

cos?360°＋225°?

解析 原式＝ sin?360°＋135°?－sin?210°＋360°?＝

sin 135°－sin 210°

cos?180°＋45°?cos 225°

＝

sin?180°－45°?－sin?180°＋30°?

－2－cos 45°2＝＝＝2－2. sin 45°＋sin 30°21

＋22

10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数，若f(2 017)＝－1，则f(2 018)＝________. 考点 公式二、三、四 题点 公式二 答案 1

解析 ∵f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β) ＝asin(π＋2 017π＋α)＋bcos(π＋2 017π＋β) ＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β) ＝－f(2 017)，

又f(2 017)＝－1，∴f(2 018)＝1.

7π23π?－33π?，则a，b，c的大小关系是________． －?，b＝cos 11．已知a＝tan?，c＝sin?6??4?4考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用

题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案 b＞a＞c

7ππ3

解析 ∵a＝－tan＝－tan ＝－，

663ππ2

6π－?＝cos ＝， b＝cos?4??4233ππ2

c＝－sin＝－sin＝－，

442∴b＞a＞c. 三、解答题

43

，－?. 12．已知角α的终边经过单位圆上的点P?5??5(1)求sin α的值；

cos?2π－α?tan?π＋α?

(2)求·的值．

sin?π＋α?cos?3π－α?

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 解 (1)∵点P在单位圆上， 3

∴由正弦的定义得sin α＝－.

5

cos αtan αsin α1

(2)原式＝·＝＝，

cos αcos α－sin α－cos αsin α·45

由余弦的定义得cos α＝，故原式＝.

54四、探究与拓展

??sin πx，x<0，1111

－?＋f??的值为________． 13．已知f(x)＝?则f??6??6??f?x－1?－1，x>0，?

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案 －2

1111π

－?＝sin?－? 解析 因为f??6??6?ππ1

－2π＋?＝sin＝； ＝sin?6??6211??5??－1?－2 f?＝f－1＝f?6??6??6?π15－?－2＝－－2＝－， ＝sin??6?221111

－?＋f??＝－2. 所以f??6??6?sin?π＋α?cos?2π－α?tan?－α?14．已知f(α)＝.

tan?－π－α?sin?－π－α?(1)化简f(α)；

1

(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；

531π

(3)若α＝－，求f(α)的值．

3

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 －sin αcos α?－tan α?

解 (1)f(α)＝＝－cos α.

?－tan α?sin α1

(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，

51

∴sin α＝－.又α是第三象限角，

52626∴cos α＝－.∴f(α)＝. 5531π5π

(3)∵－＝－6×2π＋，

3331π5π－?＝－cos?－6×2π＋? ∴f?3??3??＝－cos

5ππ1

＝－cos ＝－. 332

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/56cp.html