江苏省前黄高级中学2007届高三数学周练试卷

江苏省前黄高级中学2007届高三数学周练试卷

2007-4-21

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

x2y28．椭圆2?2?1（a?b?0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正

ab三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 （ ）

（A） （B） （C）3?1 （D）4?23 221．设集合A?{(x,y)|4x?y?6}，（ ） B?{(x,y)|3x?2y?7}则满足C?A?B的集合C的个数是13（A）0 (B)1 (C)2 (D)3 2．已知a、b为两个非零向量，有以下命题：①a2

=b2

②a·b=b2

③|a|=|b|且a//b，其中

可以作a=b的必要但不充分条件的命题的 （ ） （A）② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

2sin2x?3．已知f(x)?2tanx?sinx21x，则f(?)的值为 （ ）

2cos122Ａ. 43 Ｂ.

833 Ｃ. 4 Ｄ. 8

4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是2，且当x?(0,1)时，f(x)?log1(1?x)，则f(x)在区间（1，2）上是 （ ）

2 A.增函数且f(x)?0 B.增函数且f(x)?0 C.减函数且f(x)?0 D.减函数且f(x)?0

5．若m是一个给定的正整数，如果两个整数a,b用m除所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作

a?b[mod(m)]，例如：5?13[mod(4)].若22008?r[mod(7)],则r可以为 （ ）

(A)1(B)2(C)3(D)4 6．已知：m,l是直线，?,?是平面，给出下列四个命题：（1）若l垂直于?内的两条直线，则l??；（2）

若l//?，则l平行于?内的所有直线；（3）若m??,l??,且l?m,则???；（4）若l??,且l??,则???；（5）若m??,l??且?//?,则

m//l。其中正确命题的个数是 （ ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

7．二元函数f(x,y)定义域为D?{(x,y)|f(x,y)有意义}，则函数f(x,y)?ln[xln(y?x)]的定义域所

表示的平面区域是

9、一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜

色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有 （ ） (A)308个 (B) 30?257个 C. 30?207个 (D) 30?217个

10．如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i?1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条

边的距离记为ha41a212?a33?a44?k,则?(ih)?2Si(i?1,2,3,4)，若?i.类比以上性质，体积为V三棱锥i?1k的第i个面的面积记为Si(i?1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i?1,2,3,4)， 若S411?S22?S33?S44?K,则?(iHa2i)?（ ） i?1 a1 h2 (A) 4VK (B) 3Vh1h3

K P a3(C) 2VK (D) V h4a4K

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

图 11．曲线在y?13x3?x2?5在x?1处的切线的倾斜角为 。 y212．与双曲线

16?x29?1有共同的渐近线，且经过点A??3,23?的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 。

．若正数a、b满足a2?b2132?1，则a1?b2的最大值为 。

14．已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x?1)?f(x?1),且x?[?1,1]时,f(x)?x2，则

y?f(x)与y?log5x的图象的交点个数为 ．

15． 从正整数数列1,2,3,4,?中删去所有的平方数，得到一个新的数列，则这个新数列的第1962项是 __。 16．甲、乙二人拿出两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和不小于10，原掷骰子的人再继续

掷；若掷出的点数之和小于10，就由对方接着掷，第一次由甲开始掷，记第n次由甲掷的概率为Pn，则P5的值为____________。

三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（12分）已知动点M到A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差是2； （1） 求动点M的轨迹方程C；

（2） 讨论当A和B满足什么关系时，直线A(x?4)?B(y?2)?0(A,B?R,且不全为零)与曲线C有

两个交点。

18、（14分）在?ABC中，三边a,b,c和面积S满足关系：S?a2?(b?c)2,且b?c?8，求?ABC面积的最大值。

19、（14分）如图，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ACC1A1与底面垂直，且AB?AC,CC1?BC1,

?BAC?900,?BCC01?60.

（Ⅰ）求证：BC1?AC；

B M

B

1 （Ⅱ）若N为A1C1的中点，问侧棱BB1上是否存在

一点M，使MN//平面ABC1成立，并说明理由； （Ⅲ）求二面角BA

A1

1?BC1?A的大小（用反三角函数表示） N C C 1

20、（14分）已知数列{an}的前n项和Sn?2an?3?2n?4，n=1,2,3? （1） 求数列{an}的通项公式；

（2）设Tn为数列{Sn?4}的前n项和，求Tn。

21．（16分）已知函数f(x)的定义域为I，导数f?(x)满足0＜f?(x)＜2 且f?(x)?1，常数c1为方程

f(x)?x?0的实数根，常数c2为方程f(x)?2x?0的实数根．

（Ⅰ）若对任意[a,b]?I，存在x0?(a,b)，使等式f(b)?f(a)?(b?a)f?(x0)成立．试问：方程

f(x)?x?0有几个实数根；

（Ⅱ）求证：当x?c2时，总有f(x)?2x成立；

（Ⅲ）对任意x1、x2，若满足x1?c1?1，x2?c1?1，求证：f(x1)?f(x2)?4。

江苏省前黄高级中学2007届高三数学周练试卷答案

一、选择题：

CDDBB BBCDB 二、填空题 11．

3π4 12．2 13．324 14．4 15．2006 16．1954 三、解答题

17、

18、由题意可得，S?12bcsinA?a2?(b2?c2)?2bc cosA?b2?c2?a2又?2bc

?12bcsinA??2bccosA?2bc ?sinA??4cosA?4

由sin2A?cos2A?1

联立方程可得sinA?0(舍)或sinA?817

?S?144b?c2642bcsinA?17bc?17(2)?17

当且仅当b?c即b?c?4时S取得最大值。

19、（Ⅰ）由题意侧面ACC1A1?底面BAC，且AB?AC

?AB?平面ACC1A1，?AB?AC1

?CC1?BC，且?BCC1?600，??BCC1为等边三角形，BC?BC1 ??ABC≌?ABC1，AC?AC1，

又CC1?BC?2AC,?AC2?AC21?CC21,?AC?AC1， ∵AB?平面ACC1A1，∴BC1在平面ACC1A1上的射影为AC1， ∴BC1?AC。……………………4分

（Ⅱ）当M为侧棱BB1的中点时，有MN//平面ABC1成立，证明如下： 分别取AA1,BB1中点D,M，连接DM,DN，则DN//AC1,DM//AB。 ∴DN//平面ABC1，DM//平面ABC1，∴平面DMN//平面ABC1， ∴MN//平面ABC1。……………………8分

（Ⅲ）取B1C的中点T，连接CT,AT，则有AT?BC1,CT?BC1， ∴?ATC为二面角C?BC1?A的平面角，……10分 在Rt?ATC中，

B M

B

1 ?CAT?900,AT?22AB?22AC T

∴tan?ATC?ACA D

A1

AT?2。…………12分

N ∴二面角C?BCC 1?A的大小为arcran2。

C 1 ∴二面角B1?BC1?A的大小为??arcran2。……………………14分 20、（1）a1n?(3n?1)2n? （2）Tn?(3n?7)2n?1?12

21、（I）假设方程f(x)?x?0有异于c1的实根m，即f(m)?m．则有

m?c1?f(m)?f(c1)??m?c1?f?(x0)成立 ．

因为m?c1，所以必有f?(x0)?1，但这与f?(x)≠1矛盾， 因此方程f(x)?x?0不存在异于c1的实数根．

∴方程f(x)?x?0只有一个实数根．…………………5分 （II）令h(x)?f(x)?2x，∵h?(x)?f?(x)?2?0， ∴函数h(x)为减函数． 又∵h(c2)?f(c2)?2c2?0，

∴当x?c2时，h(x)?0，即f(x)?2x成立．………… 10分 （III）不妨设x1?x2，∵f?(x)?0，∴f(x)为增函数， 即f(x1)?f(x2)．又∵f?(x)?2，∴函数f(x)?2x为减函数 即f(x1)?2x1?f(x2)?2x2．

∴0?f(x2)?f(x1)?2(x2?x1)，

即f(x2)?f(x1)?2x2?x1．

∵x2?x1?x2?c1?c1?x1?x2?c1?x1?c1?2，

∴f(x1)?f(x2)?4．……………………………………16分。

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