中考函数专题

中考函数专题

一、平面直角坐标系 相关知识点：

1.定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。注意：画平面直角坐标系时，x轴、y轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。

2. 各个象限内点和坐标轴上点的特征: 第一象限：（＋，＋） 点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（－，＋） 点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（－，－） 点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（＋，－） 点P（x,y），则x＞0,y＜0；

在x轴上：（x，0） 点P（x,y），则y＝0； 在x轴的正半轴：（＋，0） 点P（x,y），则x＞0,y＝0； 在x轴的负半轴：（－，0） 点P（x,y），则x＜0,y＝0； 在y轴上：（0，y） 点P（x,y），则x＝0； 在y轴的正半轴：（0，＋） 点P（x,y），则x＝0,y＞0； 在y轴的负半轴：（0，－） 点P（x,y），则x＝0,y＜0； 坐标原点：（0，0） 点P（x,y），则x＝0,y＝0；

3.点到坐标轴的距离：

点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|。到坐标原点的距离为x2?y2。

4．中点与两点间的距离：

已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB?AB的中点P的坐标为P(?x1?x2?2??y1?y2?2

x1?x2y1?y2,) 22

5点的对称：

点P(m,n)关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 关于原点的对称点坐标是(-m,-n)

6. 平行线：

平行于x轴的直线上的点的特征：纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的点的特征：横坐标相等。

7.象限角的平分线：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a)

第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)

8.点的平移：

在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x+a，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）； 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

练习：

1.点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为( ) A、(－4，3) B、(－3，－4) C、(－3，4) D、(3，－4) 2.已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a＋b的值是（ ） A、1 B、－1 C、5 D、－5

3.已知点A（m－1，3）与点B（2，n＋1）关于x轴对称，则m＝_______，n＝ ． 4.如果点M（a+b，ab）在第一象限，那么点N（b，a）在第_____象限。

5.已知线段AB=3，AB∥x轴，若点A的坐标为（1,2），则点B的坐标为________________。 6.已知点B（3a+5，-6a-2）在第二、四象限的角平分线上，则a=__________。

7.已知第三象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则点P的坐标为___________。 8.已知点M（a+1，3a-5）在两坐标轴夹角的平分线上，则M的坐标为_____________________。

二、一次函数

定义：一次函数的概念：函数y=_______(k、b为常数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数。 思考：y?kxn?b为一次函数的条件是什么?

正比例函数与一次函数的对比

练习：

1.如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么k的值为________。

2.已知y-1与x成正比例，且x=－2时，y=4，那么y与x之间的函数关系式为___________。 3.已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时，y=5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式。

4.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )

A B C D

5.一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）

y y y y

o o o o x x x x

D A B C

6.某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫

升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。

（1）服药后____时，血液中含药量最高,达到每毫升_______毫克。 y/毫克 （2）服药5时，血液中含药量为每毫升____毫克。

（3）当x≤2时,y与x之间的函数关系式是_____。 6 （4）当x≥2时,y与x之间的函数关系式是_________。 （5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，

3 治疗疾病最有效，那么这个有效时间是___ 小时。

O 2 5 x/时

7.一次函数的图象过点(0,3) ,且与两坐标轴围成的三角形面积为9/4，一次函数的解析式为_________________。

8.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置． 点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b(k＞0) A1 y A3 A2 B1 C1 C2 C3 x B3 B2 和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则Bn的坐标是_________．

O 三、反比例函数 相关知识点：

1.反比例函数的概念 （1）

（

）可以写成

（

）的形式，注意自变量x的指数为这一限制条件；

，在解决

有关自变量指数问题时应特别注意系数（2）

（

）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的

k，从而得到反比例函数的解析式； （3）反比例函数

2.反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数取点（关于原点对称）．

3.反比例函数及其图象的性质 （1）函数解析式：

（

）

的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称

的自变量

，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（2）自变量的取值范围：

（3）图象：

①图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大．

②图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． ③对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． （4）k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线B点，则矩形PBOA的面积是

上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于

）．

（三角形PAO和三角形PBO的面积都是

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2 （5）说明：

①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． ②直线 当 当

与双曲线

的关系：

时，两图象没有交点； 时，两图象必有两个交点，

且这两个交点关于原点成中心对称． ③反比例函数与一次函数的联系．

4.实际问题与反比例函数 （1）求函数解析式的方法：

①待定系数法；②根据实际意义列函数解析式．

（2）注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

5.充分利用数形结合的思想解决问题．

练习：

1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．y=3x B．

C．3xy=1 D．

2.下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．3.已知函数

B．

C．

D．

是反比例函数，

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________． 4.已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数象限． 5.若反比例函数

经过点（

，2），则一次函数

的图象一定不经过第_____象

的图象位于第________

限．

6.已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数

的图象上，则直线

不经过的象限

是（ ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.若P（2，2）和Q（m，-m）是反比例函数

图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图

象经过（ ）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 8.已知函数

和

（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

A B C D

9.在反比例函数

的图象上有两点

，

，且

，则

的值为（ ）．

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 10.在函数值

、

、＜

（a为常数）的图象上有三个点的大小关系是（ ）． ＜

B．

＜；②

＜

C．；③

＜；④

＜

D．

＜

＜

，

，

，则函数

A．

11.下列四个函数中：①．y随x的增大而减小的函

数有（ ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12.已知反比例函数

的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个

反比例函数的函数值y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 13.如图，在函数

的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，

、

、

，则（ ）．

过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为 A．

B．

C．

D．

第13题图 第14题图 14.如图，A、B是函数

△ABCAC//y轴，BC//x轴，的图象上关于原点O对称的任意两点，

的面积S，则（ ）．

A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2 15.如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线

上，且S△AOB=3，求m的值．

第15题图 第16题图 16.已知函数

y=2x在第一象限内分别相交于P的图象和两条直线y=x，过P1和P2两点，1分

别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，

P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小． 17.如图，一次函数

的图象与反比例数

的图象交于A、B两点：A（

，1），

B（1，n）．

① 求反比例函数和一次函数的解析式； ② 根据图象写出使一次函数的值大于 反比例函数的值的x的取值范围．

18.如图，一次函数

的图象与反比例函数

的图象交于第一象限C、D两点，坐

标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． ① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； ② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的 面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标； 若不存在，说明理由．

四、二次函数 1.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y?ax2?bx?c(a，b，c为常数，a?0，且a决定函数的开口方向，a?0时，开口方向向上，a?0时，开口方向向下，a还可以决定开口大小，a越大开口就越小，a越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 2.二次函数的三种表达式 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0） 顶点式：y?a(x?h)2?k （抛物线的顶点P（h，k）） 交点式：y?a(x?x1)(x?x2) （仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线） 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: 2b4ac?b2?b?b?4ach?? ， k?， x1,x2?2a4a2a 3.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y?x2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 4.抛物线的性质 b。 2a对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） (1).抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x??b4ac?b2(2).抛物线有一个顶点P，坐标为P(?,) 2a4ab?0时，P在y轴上；当??b2?4ac时，P在x轴上。 2a(3).二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 当?(4).一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

(5).常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） (6).抛物线与x轴交点个数

??b2?4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 ??b2?4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 ??b2?4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

5.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y?ax2?bx?c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax2?bx?c?0

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

练习：

1.已知函数y?(k?2)xk2?k?4是关于x的二次函数,则k=________.

2. 在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y与x间的函数关系式为_________

c3. 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M（b，）在（ ）

a A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，?则下列结论： ①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时， x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5. 已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)

6. 把二次函数y??x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象

对应的二次函数的关系式为（ ） A.y??(x?1)2?3 C.y??(x?1)2?3 7. 若A（?

B.y??(x?1)2?3 D.y??(x?1)2?3

1351,y1），B（?,y2），C（,y3）为二次函数y?x2?4x?5的图象上的三点，则y1,y2,y3444

的大小关系是（ ） A．y1?y2?y3 C．y3?y1?y2

B．y2?y1?y3 D．y1?y3?y2

8. 二次函数 y??3x2?6x?5的图像的顶点坐标是( )

A．（-1，8）

B．（1，8）

C．（-1，2）

D．（1，-4）

9. 抛物线 y?ax2?bx?c图像如图所示，则一次函数 y??bx?4ac?b2与反比例函数

y?a?b?cx在同一坐标系内的图像大致为( )

x x x x x

10. 已知二次函数y?3x2?12x?13，则函数值y的最小值是（ ）

A. 3

B. 2

C. 1

D. -1

11. 将抛物线y?2x2?12x?16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ A．y??2x2?12x?16 B．y??2x2?12x?16 C．y??2x2?12x?19 D．y??2x2?12x?20

12. 已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，有下列结论：

①b2?4ac?0； y ②abc?0； ③8a?c?0； ?2 ?1 O x ④9a?3b?c?0．

其中，正确结论的个数是（ ）

x?1 A.1 B.2 C.3 D.4

13.抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能

．．

是( ) A.y?x2?2x?3

B. y??x2?2x?3

C. y??x2?2x?3 D. y??x2?2x?3

）

14. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，0）若其与x轴一交点为A（3，，则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .

215. 抛物线y?x?4x?m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛2物线与x

轴的另一个交点的坐标______．

0)、(x1，0)，且1?x1?2，与y轴的16. 已知二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交于点(?2，2)的下方．下列结论：①4a?2b?c?0；②a?b?0；③2a?c?0；④正半轴的交点在(0，2a?b?1?0．其中正确结论的个数是 个．

17. 二次函数y?(x?1)2?2的最小值是（ ）． A．2 B．1 C．－3 D．

2 318. 要得到二次函数y??x2?2x?2的图象，需将y??x2的图象（ ）．

A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位

19. 把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x2－3x+5，则a+b+c=__________

20. 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．

21. 若把代数式x2?2x?3化为?x?m??k的形式，其中m,k为常数，则m?k=

2.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/566a.html