2011年中考数学倒数第二题汇编（含答案）

2011年全国各地中考中的倒数第二题解答题

安徽省22．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为?(0°＜?＜

180°)，得到△A1B1C．

A A1 A A1 A E B

C

A1

? C D B

C ? ? P B

B1 B1

B1 图1 图2 图3

(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；

(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当?＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ． 22.（1）易求得?A?CD?60, A?C?DC, 因此得证.

?(2)易证得?ACA?∽?BCB?,且相似比为1:3，得证. （3）120°，

3a 2安徽省芜湖市

23. 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。

(1)求证：CD为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 23.（本小题满分12分） (1)证明：连接OC,

因为点C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。 所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又因为点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙0的切线． (2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， 所以四边形OCDF为矩形，所以0C=FD，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x， ∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF+OF=OA. 即(5?x)?(6?x)?25，化简得：x?11x?18?0 解得x?2或x?9。

由AD

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.

222222北京市

24. 在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。 （1）在图1中证明CE?CF；

（2）若?ABC?90?，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若?ABC?120?，FG∥CE，FG?CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。 24. (本小题满分7分) DA (1) 证明：如图1.

∵ AF平分?BAD，∴?BAF=?DAF，

BEGCF 1

∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD。

∴ ?DAF=?CEF，?BAF=?F， ∴ ?CEF=?F，∴ CE=CF。 (2) ?BDG=45?.

(3) [解] 分别连结GB、GE、GC(如图2). ∵ AB//DC，?ABC=120?， ∴ ?ECF=?ABC=120?， ∵ FG //CE且FG=CE,

∴ 四边形CEGF是平行四边形.

由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF是菱形,

1 ∴ EG=EC，?GCF=?GCE=?ECF=60?.

2 ∴ △ ECG是等边三角形. ∴ EG=CG…?, ?GEC=?EGC=60?, ∴?GEC=?GCF,

∴?BEG=?DCG…?,

由AD//BC及AF平分?BAD可得?BAE=?AEB， ∴AB=BE.

在□ ABCD中，AB=DC. ∴BE=DC…?,

由???得△BEG ? △DCG. ∴ BG=DG，?1=?2,

∴ ?BGD=?1??3=?2??3=?EGC=60?.

1 ∴ ?BDG=(180???BGD)=60?.

2ADEBGCF重庆市25、（2011?重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，

该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 月份x 580 600 620 640 660 680 700 720 价格y1（元/件） 560 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y（与月份x（10≤x≤12，2元）且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．

22222

（参考数据：99=9901，98=9604，97=9409，96=9216，95=9025） 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用。

2

专题：应用题；分类讨论。 分析：（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得y2的解析式，；

（2）分情况探讨得：1≤x≤9时，利润=P1×（售价﹣各种成本）；10≤x≤12时，利润=P2×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即可；

（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可． 解答：解：（1）设y1=kx+b， 则

，解得

，

∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）； 设y2=ax+b，则

，解得

，

∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）；

（2）设去年第x月的利润为W元．

22

1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000﹣50﹣30﹣y1）=﹣2x+16x+418=﹣2（x﹣4）+450， ∴x=4时，W最大=450元；

2

10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000﹣50﹣30﹣y2）=（x﹣29）， ∴x=10时，W最大=361元； （3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件）， 今年原材料价格为：750+60=810（元） 今年人力成本为：50×（1+20%）=60元． ∴5×[1000×（1+a%）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×a%）=1700，

2

设t=a%，整理得10t﹣99t+10=0， 解得t=

，

≈97，∴t1≈0.1，t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980，

∵9401更接近于9409，∴

∵1.7（1﹣0.1×a%）≥1，∴a≈10． 答：a的整数解为10． 点评：本题综合考查了一次函数和二次函数的应用；根据二次函数的最值及相应的求值范围得到一定范围内的最大值是解决本题的易错点；利用估算求得相应的整数解是解决本题的难点．

重庆市江津区25、（2011?江津区）已知双曲线：

与抛物线：y=ax+bx+c交于A（2，3）、B（m，2）、

2

C（﹣3，n）三点．

（1）求双曲线与抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积． 考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）函数图象过某一点时，这点就满足关系式，利用待定系数法分别求出反比例函数与二次函数解析式即可；

（2）根据A，B，C三点的坐标可以得出△ADB，△BCE和梯形ADEC的面积，用梯形面积减去两三角形面积即可得到△ABC的面积．

解答：解：（1）把点A（2，3）代入

得：k=6，∴y=，

把B（m，2）、（﹣3，n）分别代入y=得，m=3，n=﹣2，

把A（2，3）、B（3，2）、C（﹣3，﹣2）分别代入y=ax+bx+c得：

，解得：

，

2

3

∴抛物线的解析式为：y=﹣x+x+3； （2）描点画图得：

S△ABC=S梯形ADEC﹣S△ADB﹣S△BCE，=（1+6）×5﹣×1×1﹣×6×4， =

﹣﹣12=5．

2

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

重庆市潼南25. (10分)潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植

户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表： 种植A类蔬菜面积 种植B类蔬菜面积 总收入 种植户 （单位：亩） （单位：亩） （单位：元） 甲 3 1 12500 乙 2 3 16500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等． ⑴ 求A、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？

⑵ 某种植户准备租20亩地用来种植A、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案. 五、25. 解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．

由题意得：??3x?y?12500 ----------------3分

?2x?3y?16500?x?3000解得：?

y?3500?答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．----5分

（2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a）亩．

由题意得：??3000a?3500(20?a)?63000 ----------7分

?a＞20?a解得：10＜a≤14.

∵a取整数为：11、12、13、14. ----------------------------8分 ∴租地方案为：

类别 种植面积 单位：（亩） A 11 12 13 14 B 9 8 7 6 福建省福州市21.（满分14分）已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，

AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每

秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC于P，交BD于点Q．

（1）点D到BC的距离为 ； （2）求出t为何值时，QM∥AB；

N A D （3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形．

Q 21．（满分14分） 解：（1）3 (2)t=1.2s

3(3t?t2)------------------------------8分 （3）当0?t?2时,s= 631(2t?t2)-----------------------11分 当2?t?4时,s= 62(4)t=1.5s或者t=12/7s-----------------14分

B M P C

4

4福建省龙岩24．(13分)如图，已知抛物线y??x2?bx?c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x?2，

9且与x轴交于点D，AO=1．

(1) 填空：b=_______。c=_______，点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；

(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

1620，B(5，0) ，c?99416204（2）由（1）求得y??x2?x???(x?2)2?4 ∴C（2，4）

999924、（1）b?∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2）

430x?，整理得4x?3y?20?0 33设直线EF的表达式为y?kx?b

3∵EF为BC的中垂线 ∴EF⊥BC ∴k?

4535把E（3.5，2）代入求得 b?? ∴直线EF的表达式为y?x?，

8483555525在y?x?中，令y=0，得x? ∴F(，0) ∴FC=FB=5??

486666易求直线BC的表达式为y??（3）存在，作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件。当然也可以作∠OBC的邻补角的平分线交DC于

点P’，也满足条件，坐标求法一样。 设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离。（用到点到直线的距离公式） ∴a?4?2?3a?204?322?3a?125 ∴5a?3a?12

∴5a?3a?12或5a??3a?12解得a??6或a?33∴P（2，?6）或P（2，）。 22福建省南平25．（11·南平）（12分）

（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形

ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：

如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

D A D A F F

G G ADFB E

C

B

E

C

BGEC【答案】（1）连接FC，

由折叠知：BE＝EF ∠AFE＝∠B＝90° ∴∠EFG＝∠C＝90° ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE

F 3 2 E

1 D G 4 C

5

A B

∴CE＝EF ∴∠1＝∠2 ∵∠EFG＝∠C ∴∠3＝∠4 ∴FG＝CG （2）连接CF，

由折叠知：BE＝EF ∠AFE＝∠B ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE ∴CE＝EF ∴∠1＝∠2

又∵∠AFE＋∠EFG＝180° ∠B＋∠ECG＝180° ∴∠EFG＝∠ECG ∴∠3＝∠4 ∴FG＝CG

A

F 2 3 B

1

E

4 C

G

D

福建省莆田24．(本小题满分12分)

已知抛物线y?ax?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，?3)． （1）（3分）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．

①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；

②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

2

??a?b?c?0?a??1??24. 解：（1）由题意，得?c??3，解得?b?4

?c??3?b????2?2a2∴抛物线的解析式为y??x?4x?3。

，x2?3 ∴B（3, 0） （2）①令?x?4x?3?0，解得x1?1当点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P， 易求直线BC的解析式为y?x?3， ∴设直线AP的解析式为y?x?n， ∵直线AP过点A（1,0），代入求得n??1。 ∴直线AP的解析式为y?x?1

2yPAOEP3CBx?y?x?1?x1?1?x2?2，解方程组?，得? ?2y?0y?1y??x?4x?3?1?2?1) ∴点P1(2，

P2第24题 图16

当点P在x轴下方时，如图1 设直线AP?1)， 1交y轴于点E(0，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2、P3， 得直线P2P3的解析式为y?x?5，

?3?17?3?17x?x??1?2?y?x?5??22，解方程组?，得 ??2?y??x?4x?3?y??7?17?y??7?1712???2?2

3?17?7?173?17?7?17，)，P3(，) 22223?17?7?173?17?7?17(2，1)综上所述，点P的坐标为：P，P(，)，P(，) 1232222②∵B(3，，0)C(0，?3)

∴P2(∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° 设直线CP的解析式为y?kx?3 如图2，延长CP交x轴于点Q， 设∠OCA=α，则∠ACB=45°?α ∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°?α

∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°?α）=α ∴∠OCA=∠OQC

又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ

yAOBQxPCOAOC13，∴?，∴OQ=9，∴Q(9，?0)

OCOQ3OQ∵直线CP过点Q(9，0)，∴9k?3?0

1∴k?

31∴直线CP的解析式为y?x?3。

3∴

其它方法略。

第24题 图2福建省三明22．如图，抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）经过A（0，－1），B（5，0）两点，点P是抛物线上

的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．

（1）求a，c的值；（4分）

（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；（4分）

（3）以PQ为直径的圆 与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）（4分）

ylOAPQBx（第22题）22.解：∵抛物线y＝ax－4ax＋c过A（0，－1），B（5，0）

??a＝1?c＝－1

∴? 解得：?5 25a－20a＋c＝0???c＝－1

2

7

1

（2）∵直线AB经过A（0，－1），B（5，0）∴直线AB的解析式为y＝x －1

5

14

由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2－x－1

55

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴

141114

∴P（m，m 2－m－1），Q（m，m －1）∴S＝PQ＝（m －1）－（m 2－m－1）

5555551

即S＝－m 2＋m （0＜m＜5）

5

（3）抛物线的对称轴l为：x＝2

以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有： 相离、相切、相交三种关系

15－145－5＋105相离时：0＜m＜或 ＜m＜5；

22

15－145－5＋105

相切时：m＝ m＝；

22

15－145－5＋105

相交时：＜m＜

22

福建省漳州市

25．（11·漳州）（满分13分）如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，

将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD． y B （1）填空：点C的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )，

点D的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )；

C M （2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，

D O A x 请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】 解：（1）点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0) ??????4分

（2）方法一：由（1）可知CD＝OC2＋OD2 ＝5，BC＝1

又∠1＝∠5，∠4＝∠3

∴△BMC∽△DOC ??????6分 BMBCBM1∴＝ 即＝ DODC25

2

∴BM＝5 ??????8分

5

方法二：设直线CD的解析式为y＝kx＋b

由（1）得

??b＝1?b＝1

? 解得?1 ?－2k＋b＝0?k＝2?

1

∴直线CD的解析式为y＝ x＋1

2

又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO

∴△BMC∽△DOC ??????6分 BMBCBM1∴＝ 即＝ DODC25

2

∴BM＝5 ??????8分

5

2

y＝－2x＋2x＝??5∵?1 ∴

6 y＝x＋1?2?y＝5

26

∴M的坐标为(，) ??????6分

55

24

过点M作ME⊥y轴于点E，则ME＝，BE＝ 55

?

??

8

2

5 ??????8分 5

（3）存在 ??????9分

分两种情况讨论： ① 以BM为腰时

2

∵BM＝5，又点P在y轴上，且BP＝BM

5

22

此时满足条件的点P有两个，它们是P1 (0，2＋5)、P2 (0，2－5) ?????11分

55

过点M作ME⊥y轴于点E，∵∠BMC＝90°， 则△BME∽△BCM BEBM

y y ∴＝

BMBC

BM24P· 1 ∴BE＝＝ B BC5

又∵BM＝BP E M B C 41 P3· ∴PE＝BE＝

5P2 · M C D O A x 8

∴BP＝ 5 5

D O A x 82

∴OP＝2－＝

55

2

此时满足条件的点P有一个，它是P3 (0，) ?????12分

5

② 以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F， 由（2）得∠BMC＝90°， ∴PF∥CM y ∵F是BM的中点，

B 11

P ∴BP＝BC＝ 4· F 22

M 3C ∴OP＝

2

3D O A x 此时满足条件的点P有一个，它是P4 (0，) 2

2223综上，符合条件的点P有四个：P1 (0，2＋5)、P2 (0，2－5)、P3 (0，)、P4 (0，)????13分

5552

∴BM＝ME2＋BE2 ＝

甘肃兰州

27、（2011?兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A

与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；

2

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

2

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC?AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。 专题：几何综合题。 分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；

222

（2）由勾股定理得AB+FB=100，△ABF的面积为24cm可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答； （3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明； 解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO， ∵AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，

9

∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；

（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm， 设AB=a，BF=b，

2222

∵△ABF的面积为24cm，∴a+b=100，ab=48，∴（a+b）=196， ∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），∴△ABF的周长为14+10=24cm； （3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点； 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP， ∴△AOE∽△AEP，∴∵四边形AECF是菱形， ∴AO=AC，

2

=，∴AE=AO?AP，

2

∴AE=AC?AP，

2

∴2AE=AC?AP．

点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．

甘肃省天水

25、（2011?天水）在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3（1）求⊙O的半径；

（2）若DE=，求四边形ACEB的周长．

．

考点：切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理。 分析：（1）连接OB，根据BQ是圆的切线，则△OBQ是直角三角形，根据勾股定理即可求得半径OB的长； （2）根据AB=AC，O是△ABC的内心，可以得到：BC⊥AE，且AE是直径，BE=CE．在直角△OBD中利用勾股定理即可求得BD的长，再在直角△BED中，利用勾股定理求得BE的长；在直角△ABE中求得AB的长，据此即可求得四边形的周长． 解答：解：（1）连接OB． ∵BQ与⊙O相切， ∴∠OBQ=90° ∴OB=

=

=．故半径是：；

（2）∵AB=AC，O是△ABC的内心． ∴

=

，

=

∴AB=AC，BE=CE∴BC⊥AE

2

∵OE=OB=，∴OD=OE﹣DE=﹣=

2

2

2

∴在直角△ODB中，BD=OB﹣OD=（）﹣（）=

2

=

在直角△BDE中，BE=== ∴CE=BE=

∵AE是直径．∴∠ABE=90°

10

∴在直角△ABE中，AE=2OB=2×=3，AB=∴四边形ACEB的周长是：AB+AC+CE+BE=

+

+

+

=

=

．

=．∴AC=AB=．

点评：本题主要考查了切线的性质定理，以及勾股定理，并多次运用了勾股定理，其中根据AB=AC和O是△ABC的内心，得到BC⊥AE，且AE是直径，是解决本题的关键．

广东省佛山市24、（11·佛山）商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：

p(元/千克) ① 销售成本p（元/千克）与销售月份x的关系如图所示：

3

② 销售收入q（元/千克）与销售月份x满足q＝－x＋15；

29③ 销售量m（千克）与销售月份x满足m＝100x＋200； 试解决以下问题：

4（1） 根据图形，求p与x之间的函数关系式；

（2） 求该种商品每月的销售利润y（元）与销售月份x的函数关系式，

并求出哪个月的销售利润最大？ o16x(月份)

【答案】解：（1）根据图形，知p与x之间的关系符合一次函数，故可设为p＝kx＋b ????1分

?9＝k＋b?k＝－1并有? 解得? ????????????????????3分

?4＝6k＋b?b＝10

故p与x之间的函数关系式为p＝－x＋10???????????????4分

3

（2）根据题意，月销售利润y＝(q－p)m＝[(－x＋15)－(－x＋10)]( 100x＋200) ?7分

2

2

化简，得y＝－50x＋400x＋1000 ( 或y＝－50(x－4)2＋1800 ) ?????9分 所以4月份的销售利润最大。????????????????????10分

广东省广州24.（14分）已知关于x的二次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同

2

的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0

222 ∵二次函数为y?ax??a?1?x?1的图像与x轴交于不同的两点

222?a?1?4a?a?2a?1?4a?a?2a?1??a?1? ? ∴ ??0，而???????22 ∴ a的取值范围是 a?0且a?1

(3)证明： ∵ 0?a?1

?a?1a?1??1 2a2a?a?1?1?a?1??∴ AB?2? 2aa??2把y?1代入y?ax??a?1?x?1得

∴ 对称轴为x??yCDPax2??a?1?x?0，解得 x1?0,x2?1?a a1?a ∴ CD?

a∴ S1?S2?S?PCD?S?PAB?S?ACD?S?CAB

OABx11

11?CD?OC??AB?OC 2211?a11?a ＝??1???1＝1

222a∴S1?S2为常数，这个常数为1。

＝

广东省河源21．(本题满分9分) 如图9,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），

分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD． （1）当△APC与△PBD的面积之生取最小值时，AP=___________；（直接写结果）

（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由； （3）如图10，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

21．解：（1）

理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC, ∠APC=600,

∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD, ∠BPD=600, ∴∠APC=∠BPD, ∴∠APD=∠CPB, ∴△APD≌△CPB, ∴∠PAD=∠PCB,

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, ∴∠AQC=1800-1200 =600; (3) 此时α的大小不会发生改变，始终等于600.

32（2）α的大小不会随点P的移动而变化， a；2广东茂名

24、（本题满分8分）如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），

过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C． （1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分）

（2）若AC=a, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数y?k的图象经过点O1，求k的值（用含a的代数式表示）． x

24、解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中，OC?OA?AC?25?9?4，1分 在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，············2分 ∴

22ACAO35，即?， ········3分 ?COOB4OB2020 ∴OB? ， ∴B(0,)··········4分

3312

解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ·······1分

11?OA?CE??CA?OC， 221112即：?5?CE??3?4，∴CE?，···········2分

225122161612222∴OE?OC?CE?4?()? ∴C(,)，····3分

5555设经过A、C两点的直线解析式为：y?kx?b．

1612 把点A（5，0）、C(,)代入上式得：

554?k???5k?b?0???3， ?1612 ， 解得：?k?b???b?205?5?3?20420 ∴y??x? ， ∴点B(O,) ．·4分

333过C作CE⊥OA于点E，则：

（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：

连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，∴CD?1OB?OD， 2∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，

∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； ··········6分 由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点，圆心O1(由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴

OPOD,)， 22OB?ACOA25，求得：AB=，在Rt△ABO中， ?OAABa525?a21525?a2OA522AB?OA?，OD=OB?，OP??

a22a225525?a2k)，点O1在函数y?的图象上， ∴O1(,44ax525?a24k2525?a2?∴， ∴k?4a516a．·8分

广东省清远25．（11·清远）某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期

相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元．

（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？

（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进

货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？

（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在

这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获得最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）设去年四月份每台A型号彩电售价是x元

5000040000

＝ ∴x＝2500

x2000

经检验x＝2500 满足题意

答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元≤≥ （2）设购进A型号彩电y台，则购进B型号彩电(20－y)台

?1800y＋1500(20－y)≥32000

根据题意可得：?

?1800y＋1500(20－y)≤33000

13

20

解得≤y≤10

3

∵y是整数

∴y可取的值为7，8，9，10

共有以下四种方案：购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台 购进A型号彩电8台，则购进B型号彩电12台 购进A型号彩电9台，则购进B型号彩电11台 购进A型号彩电10台，则购进B型号彩电10台

（3）设利润为W元，则W＝(2000－1800) y＋(1800－1500) (20－y)＝6000－100 y ∵W随y的增大而减小 ∴y取最小值7时利润最大 W＝6000－100 y＝6000－100×7＝5300（元）

购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台时，利润最大，最大利润是5300元

广东省深圳22．（本题9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，

表馆，其中运往1 表全部运往大运赛场A、BA馆18台、运往B馆14台；运往A、2 B两馆的运费如表1： 出 发 出 发 目 甲 地 乙 地 甲 地 乙 地 地 地 目的 地 的 地

A 馆 800元∕台 700元∕台 A 馆 x（台） _______（台）

B 馆 500元∕台 600元∕台 B 馆 _______（台） _______（台） （1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总费用y（元）与x（台）的函数关系式； （2）要使总费用不高于20200元，请你帮忙该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？ 22、解：（1）表2如右图所示，依题意，得：

y＝800x＋700(18－x)＋500(17－x)＋600(x－3) 表2 即：y＝200x＋19300（3≤x≤17）

出 发 （2）∵要使总运费不高于20200元 甲 地 乙 地 地 目 的 ∴200x＋19300<20200 地 9解得： x? 18－x （台）A 馆 x（台） _______ 2∵3≤x≤17，且设备台数x只能取正整数

17－x （ 台） _______ x－3 （台）B 馆 _______ ∴ x只能取3或4。

∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表： 表3 表4

甲 地 乙 地 甲 地 乙 地

A 馆 3台 15台 A 馆 4台 14台

B 馆 14台 0台 B 馆 13台 1台 （3）由（1）和（2）可知，总运费y为：

y＝200x＋19300（x＝3或x＝4） 由一次函数的性质，可知：

当x＝3时，总运费最小，最小值为：ymin＝200×3＋19300＝19900（元）。 答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。

广东省

21、（2011?广东）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，

∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图（2）

14

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 △HAB 及 △HGA ；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质。 专题：证明题。 分析：（1））根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论． （2））由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可． （3）此题要采用分类讨论的思想，①当∠GAH=45°是等腰三角形．的底角时，如图（1）：可知解得CG和②当∠GAH=45°是等腰三角形．的顶角时，如图（2）：由△HGA∽△HAB，利用其对应边成比例即可求得答案． 解答：解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合， ∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA； 故答案为：△HAB和△HGA． （2）∵△AGC∽△HAB，

∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9， ∴y=81：x（0＜x＜

）

）

答：y关于x的函数关系式为y=81：x（0＜x＜（3）∵∠GAH=45°，分两种情况讨论：

①当∠GAH=45°是等腰三角形．的底角时，如图（1）：可知CG=x=：2

②当∠GAH=45°是等腰三角形．的顶角时，如图（2）：由△HGA∽△HAB 知：HB=AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18﹣答：当x为=

：2和18﹣

．

．时，△AGH是等腰三角形．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．

广东省台山23．据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度V（km/h）

与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t,O）作横轴的垂线L，梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程S（km）. (1)当t=4时，求S的值；

（2）将S随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由。

15

V（km/h）30ABO1020C35t（h）

广东省湛江27、（2011?湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

考点：切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD．（2）连接DE，证得∠ADE=90°，∠ADE=∠C，而得DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，而求得． 解答：解：（1）证明：连接OD， ∵OA=OD，∴∠A=∠ADO， 又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°， ∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，

16

∴BD⊥OD，∴BD是⊙O切线； （2）连接DE，

∵AE是直径，∴∠ADE=90°， 又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C， ∴DE∥BC，

又∵D是AC中点，∴AD=CD，∴AD：CD=AE：BE，∴AE=BE，

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AE=AC：AB，∴AC：AB=4：5， 设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，∴BC：AB=3：5， ∵BC=6，∴AB=10，∴AE=AB=10．

点评：本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OD、DE，证明DE∥BC．

广东省肇庆24、（2011?肇庆）己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，

交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD． （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P处线段AF的中点 （3）若⊙O的半径为5，AF=

，求tan∠ABF的值．

考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。 分析：（1）根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可； （2）首先得出∠ADB=90，再根据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，从而得出PA=PF；

（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案． 解答：解：（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA； （2）∵AB为直径，∴∠ADB=90°， ∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，∴PD=PA， ∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，∴PA=PF， 即：P是AF的中点；

（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，∴△FDA∽△ADB，∴∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=

=，即：tan∠ABF=．

=

，

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和等腰三角形的性质，根据证明PD=PA以及PD=PF，得出答案是解决问题的关键．

广东省珠海21．（11·珠海）（本题满分9分）已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是

⌒BC上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线

AF与DC的延长线交于点F．

（1）求证：△ABD∽△ADE；

（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE， 求证：S△DAF＞S△BAE．

17

A F

O B C B O A F

C h E E D D

【答案】证明：（1）连结OD． ????????1分 ∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．

⌒＝CD⌒． ∴∠BAD＝∠EAD． 又∵DE∥BC，∴OD⊥BC．∴BD

∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC，∠BDA＝∠DEA．∴∠BAD＝∠EAD，∴△ABD∽△ADE．

ABAD

（2）由（1）得＝，即AD2＝AB·AE

ADAE

1

设在△ABE中，AE边上的高为h，则：∴S△ABE＝ h·AE，且h＜AB．

2

由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形

1

∴S△DAF＝ AD2． ∴S△DAF＝S△BAE ∴△DAF＞△BAE．

2

广西百色市26.（本题满分10分）已知AB为⊙O直径，以ＯＡ为直径作⊙M。过B作⊙M得切线BC，切

点为C，交⊙O于E。

（1）在图中过点B作⊙M作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）； （2）证明：∠EAC=∠OCB；

（3）若AB=4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD于N，求BN的值。

ECOECOBAMBAMNP图1图2（1）以MB为直径作圆，与⊙M相交于点D，直线BD即为另一条切线。 （2）证明：∵BC切圆与点C，所以有∠OCB=∠OAC，∠ECA=∠COA； ∵OA、AB分别为⊙M、⊙O的直径 ∴∠AEC=∠ACO=90°，

∵∠EAC+∠ECA=90°，∠OAC+∠COA=90°，∴∠EAC=∠OAC= OCB （3）连结DM，则∠BDM=90°在Rt△BDM中，BD=10. ∵△BON∽△BDM ∴

310BN2BNBO? ∴ ∴BN=。 ?103BMBD210广西区北海25．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC

于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．

(1)求证：EF是⊙O的切线； (2)当∠BAC＝60o时，DE与DF有何数量关系？请说明理由； (3)当AB＝5，BC＝6时，求tan∠BAC的值． （1） 证明：连结OD，

∵AB=AC，∴∠2=∠C 又∵OD=OB，∴∠2=∠1 ∴∠1=∠C ∴OD∥AC ∵EF⊥AC ∴OD⊥EF

18

∴EF是⊙O的切线。

（2）DE与DF的数量关系为：DF=2DE。理由如下： 连结AD ∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，

∵AB=AC。 ∴∠3=∠4=

1∠BAC=30° 2∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°， ∴∠3=∠F ∴AD=DF

∵∠4=30°，EF⊥AC，∴AD=2DE ∴DF=2DE.

（3）解：设⊙O与AC的交点为P，连结BP，则BP⊥AC，由上知BD=∴AD?1BC=3 211BC?AD?AC?BP 2224271124222∴?6?4??5?BP∴BP?∴AP?AB?BP?5?()?

5522524BP24∴tan∠BAC= ?5?AP775AB2?BD2?52?32?4S?ABC?广西崇左24、如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA

的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N． （1）求证：△ODM∽△MCN；

（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；

（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？ 考点：切线的性质；二次函数综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：动点型。 分析：（1）依题意可得∠OMC=∠MNC，然后可证得△ODM∽△MCN．

（2）设DM=x，OA=OM=R，OD=AD﹣OA=8﹣R，根据勾股定理求出OA的值． （3）由1可求证△ODM∽△MCN，利用线段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN，把各个线段消去代入可求出周长． 解答：解：

（1）∵MN切⊙O于点M，∴∠OMN=90°；（1分） ∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°； ∴∠OMD=∠MNC；（2分） 又∵∠D=∠C=90°；∴△ODM∽△MCN，（3分） （2）在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R； ∴OD=AD﹣OA=8﹣R，（4分）

222222

由勾股定理得：（8﹣R）+x=R，（5分）∴64﹣16R+R+x=R， ∴

（3）解法一：∵CM=CD﹣DM=8﹣x， 又

， ；（6分）

且有△ODM∽△MCN，∴同理

，∴代入得到

，∴代入得到

；（8分）

；（7分）

∴△CMN的周长为P=

19

=（8﹣x）+（x+8）=16．（9分）

发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（10分） 解法二：在Rt△ODM中，

，

设△ODM的周长P′=

而△MCN∽△ODM，且相似比

；（7分） ；（8分）

∵，∴△MCN的周长为P=．（9分）

发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（10分） 点评：本题考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切线性质和二次函数的综合运用等有关知识．

广西贵港市25．（11·贵港）（本题满分11分）

如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大

圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．

（1）求证：△AOB∽△BDC；

（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：

① 求y与x之间的函数关系式； ② 当BE与小圆相切时，求x的值．

E C

【答案】（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C，

·∴∠OAB＝∠OCD＝90° O

∵BC⊥AB ∴∠CBA＝∠CBD＝90°??????1分

A B D ∵∠1＋∠OBC＝90° ∠2＋∠OCB＝90°

又∵OC＝OB

(第25题

∴∠OBC＝∠OCB

∴∠1＝∠2??????2分

∴△AOB∽△BDC??????3分

（2）解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形??????4分

∴BF＝OA＝1

由垂径定理，得BC＝2BF＝2??????5分 在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x

∴AB＝OB2－OA2＝x2－1??????6分 由（1）得△AOB∽△BDC

x2－1OBABy

∴＝ 即＝ CDACx2

2xx2－12xE C ∴y＝2（或y＝2）??????7分 x－12 x－1

·O ② 当BE与小圆相切时，OE⊥BE

1 ∵OE＝1，OC＝x A B D

2∴EC＝x－1 BE＝AB＝x－1??????8分

(第25题在Rt△BCE中，EC2＋BE2＝BC2

]

即(x－1)2＋(x2－1)2＝22??????9分

解得：x1＝2 x2＝－1（舍去）??????10分 ∴当BE与小圆相切时，x＝2??????11分

广西省桂林25．（本题满分10分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，

为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．

1AC长2AE的中点； （1）求证：D是?（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD；

20

（3）若

S?CEF1?，且AC=4，求CF的长. S?OCD225．（本题满分10分）

证明：（1）∵AC是⊙O的直径 ∴AE⊥BC

∵OD∥BC ∴AE⊥OD

∴D是?AE的中点 ????3分 （2）方法一：

如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC ?4分 ∴∠AGD=∠B

∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ????5分

又∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO ∴∠DAO=∠B +∠BAD ????6分 方法二：

如图，延长AD交BC于H ?4分 则∠ADO=∠AHC

∵∠AHC=∠B +∠BAD ????5分 ∴∠ADO =∠B +∠BAD 又∵OA=OD ∴∠DAO=∠B +∠BAD ????6分 （3） ∵AO=OC ∴S?OCD?∵

S?CEF1S? ∴?CEFS?OCD2S?ACD1S?ACD 21? ????7分 4∵∠ACD=∠FCE ∠ADC=∠FEC=90°∴△ACD∽△FCE ∴

S?CEFCF21CF2?() 即: ?() ∴CF=2 S?ACDAC44广西河池25. (10分) 如图l，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB

外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于E．

(1) 求点D的坐标；

(2) 求证：四边形ABCE是平行四边形；

(3) 如图2，将图l中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

yCyCFEDG30°O第25题图1AxO第25题图2AxBEDB

21

广西来宾市

24．（11·来宾）（本题满分10分）

已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点． （1）如果动点E、F满足BE＝CF（如图）：

① 写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）； ② 证明：AE⊥BF；

（2）如果动点E、F满足BE＝OF（如图），问AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．

A D A D A D

O O O E F E F B C

B C

B C

(第24(1)题图) (第24(2)题图) (第24(2)题备用【答案】解：（1）① △ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA

② 证明：如图，延长AE交BF于点G，

∵ABCD是正方形

∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE ∵BE＝CF

∴△ABE≌△BCF, ∴∠CBF＝∠BAE

∵∠ABE＋∠EBG＋∠CBF＝90° ∴∠ABE＋∠EBG＋∠BAE ＝90°

∴∠AGB＝90°

AD∴AE⊥BF

（2）点E是OB的中点

证明：∵ABCD是正方形 o∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE

∵AE⊥BF

EF∴∠AGB＝90° ∴∠ABE＋∠EBH＋∠BAE ＝90° BGC∴∠ABE＋∠EBH＋∠CBF＝90° （第24（2）题图）∴∠CBF＝∠BAE ∴△ABE≌△BCF, ∴BE＝CF

22

∴BE＝OF ∴CF＝OF ∵BE＝OE

∴E是OE的中点

广西柳州市 如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为

D，直线CD与AB的延长线交于点E． （1）求证：直线CD为⊙O的切线；

（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长． 【答案】解：(1)连接OC

∵AC平分∠DAB ∴∠DAC＝∠CAB ∵OA＝OC

∴∠OCA＝∠CAB ∴∠OCA＝∠DAC ∴AD∥CO ∵CD⊥AD ∴CD⊥AD

∴CD为⊙O的切线

（2）∵AB＝2BO AB＝2BE

∴BO＝BE＝CO 设BO＝BE＝CO＝x ∴OE＝2x

在Rt△OCE中， OC2＋CE2＝OE2

x2＋(3)2＝(2x)2 ∴x＝1

3

∴AE＝3 ∠E＝30° AD＝

2

(1)求证：直线AB是⊙O的切线．

(2)当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．

C A O D C A ·O B E

(第25题图) D C A ·O B E

(第25题图) 广西南宁25．如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．

D B

E

(1) 证明：如图，连接OE，∵弦DE∥OA，∴∠COA=∠ODE, ∠EOA=∠OED, ∵OD=OE, ∴∠ODE=∠OED, ∴∠COA=∠EOA,又∵OC=OE,OA=OA，∴⊿OAC≌⊿OAE, ∴∠OEA=∠OCA=90°, ∴OE⊥AB，∴直线AB是OO的切线；

(2) 由(1)知⊿OAC≌⊿OAE, ∴AE=AC=1,AB=1+2=3,在直角⊿ABC中，

BC?AB2?AC2?32?12?22，∵∠B=∠B, ∠BCA=∠BOE，∴⊿BOE∽⊿BAC,

∴

OEBE22OCOE2?????，∴在直角⊿AOC中， tan∠OAC= . ACBC222ACAC2广西省贺州钦州 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．

锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E． （1）求证：AC平分∠DAB；

（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）若CD＝4，AC＝45，求垂线段OE的长．

D 【答案】解：(1)连接OC

C ∵CD切⊙O于点C，

∴OC⊥CD 又∵AD⊥CD ·A B O ∴OC∥AD

(第25题图) 23

∴∠OCA＝∠DAC ∵OC＝OA

∴∠OCA＝∠OAC ∴∠OAC＝∠DAC

∴AC平分∠DAB ??????3分

（2）解：点O作线段AC的垂线OE如图所示 （3）解：在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝45，

∴AD＝AC2－CD2＝(45)2－42＝8 ??????6分 ∵OE⊥AC

1

∴AE＝AC＝25 ??????7分

2

∵∠OAE＝∠CAD ∠AEO＝∠ADC ∴△AEO∽△ADC OEAE

∴＝ ??????8分 CDAD

AE25

∴OE＝×CD＝×4＝5

AD8

即垂线段OE的长为5 ??????9分

广西梧州25（2011广西梧州，25，10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB

交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G． （1） 求证：AD是⊙O的切线；

（2） 如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长． 【答案】解：（1）证明：连接OC． ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°．

∴∠OCA+∠ACD=90°． ∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC． ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠0AC+∠CAD=90°．

∴∠OAD=90°．

∴AD是⊙O的切线． （3） 连接BG；

A ∵OC=6cm，EC=8cm，

∴在Rt△CEO中，OE=OC2+EC2=10． O ∴AE=OE+OA=1．

∵AF⊥ED， B G ∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E． ∴Rt△AEF∽Rt△OEC． E C F AFAE∴=． OCOEAF16即：=．

610∴AF=9.6．

∵AB是⊙O的直径，

A ∴∠AGB=90°．

∴∠AGB=∠AFE．

O ∵∠BAG=∠EAF，

∴Rt△ABG ∽Rt△AEF． B G AGAB

∴=． AFAE

E C F AG12

即：=．

9.616∴AG=7.2．

∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4(cm) ．

D D 24

广西玉林防城港

25、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作

一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：EB=GD；

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG=2，求EB的长．

25. （1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD， ∴∠GAD=∠EAB， 又∵AG=AE，AB=AD， ∴△GAD≌△EAB， ∴EB=GD；

（2）EB⊥GD，理由如下：连接BD，

由（1）得：∠ADG=∠ABE，则在△BDH中， ∠DHB=180°-（∠HDB+∠HBD）=180°-90°=90°， ∴EB⊥GD；

（3）设BD与AC交于点O， ∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB= ， ∴EB=GD= ．

贵州省安顺26．（2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相

交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

⑴求证：点D是AB的中点；

⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

1⑶若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长．

3第26题图 第26题图

【答案】（1）证明：连接CD,则CD?AB， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴Rt?ACD≌Rt?BCD ∴AD = BD ， 即点D是AB的中点． （2）DE是⊙O的切线 ．

理由是：连接OD, 则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC ， 又∵DE?AC； ∴DE?DO 即DE是⊙O的切线；

1BD1（3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A =， ∵ cos∠B =?， BC = 18，

3BC3AE1∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A =? ， ∴AE = 2，

AD3在Rt?AED中，DE=AD2?AE2?42．

贵州省毕节26、（2011?毕节地区）小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请根

25

据下列情景解决问题．

（1）这个学校九年级学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生有多少人？ 考点：一元一次不等式组的应用。 分析：（1）根据若多购买60支，则可按批发价付款，可知人数+60＞300．

（2）设人数有x人，根据若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，以及多购买60支可按批发价付款120元，列方程求解．

解答：解：设人数有n人， n+60＞300， n＞240， n≤300，

∴240＜n≤300；

（2）设人数有x人，

5?

=6?

，

x=300．

这个学校九年级学生有300人．

点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据若多购买60只，可批发价汇款以及若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同这种不等量关系和等量关系列不等式以及方程求解．

贵州省贵阳24、（2011?贵阳）[阅读]

在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为

．

[运用]

（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 （2，1.5） ． （2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质。 专题：几何综合题。 分析：（1）根据矩形的对角线互相平分及点E的坐标即可得出答案． （2）根据题意画出图形，然后可找到点D的坐标． 解答：解：（1）M=（

，

）=（2，1.5）．

根据平行四边形的对角线互相平分可得：D'（1，﹣1），D''（﹣3，5），D''（5，3）．

点评：本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，比较简单，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．

贵州省黔南州 24、如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=

DB到点F，使FB=

1ED，延长21BD，连接AF． 2（1）证明：△BDE∽△FDA；

（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

25、24. 证明：（1）在△BDE和△FDA中，

26

∵FB= BD，AE= ED，

∴ ，（3分） 又∵∠BDE=∠FDA， ∴△BDE∽△FDA．（5分）

（2）直线AF与⊙O相切．（6分） 证明：连接OA，OB，OC， ∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，（7分） ∴△OAB≌OAC， ∴∠OAB=∠OAC，

∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线， ∴AO⊥BC，

∵△BDE∽FDA，得∠EBD=∠AFD， ∴BE∥FA，

∵AO⊥BE知，AO⊥FA， ∴直线AF与⊙O相切．

贵州省遵义26．（12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D

两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段．．

PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0

（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由． 26．解: (1)(5分)设t秒后，四边形PCDQ为平行四边形 则 DQ=t,BP=2t, ∴PC=20-2t

当DQ=PC时,即t=20-2t, t=∴当t=

20(秒) 320秒时, 四边形PCDQ为平行四边形. 3 (2)(7分)∵DQ∥BH,∴△DEQ∽△BEP

QEQD① ?EPBPQFQE 同理：由EF∥BH.得：② ?FHEPDQQF 由DQ∥CH. 得：③ ?CHFHQDQD 由①②③得： ?BPCH ∴

∴BP=CH

∴PH=PC+CH=PC+BP=BC=20(cm) ∴PH的长不变，为20cm.

海南

23、（2011?海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ． （1）求证：△BDQ≌△ADP；

（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。

分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP；

（2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值． 解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

27

∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC， ∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°， ∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°， ∵AP=BQ，

∴△BDQ≌△ADP（SAS）；

（2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E， ∵△BDQ≌△ADP， ∴BQ=AP=2， ∵AD∥BC， ∴∠QBE=60°， ∴QE=QB?sin60°=2×

=

，BE=QB?cos60°=2×=1，

∵AB=AD=3，

∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1， ∴PE=PB+BE=2， ∴在Rt△PQE中，PQ=∴cos∠BPQ=

=

=

．

=

，

点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．

河北

25、（2011?河北）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点． 思考

如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．

当α= 90 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 2 ． 探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 30 度，此时点N到CD的距离是 2 ． 探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转． （1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值； （2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）

考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平行线之间的距离；旋转的性质；解直角三角形。 分析：思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案；

探究一：根据由MN=8，MO=4，OY=4，得出UO=2，即可得出得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2； 探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值； （2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围． 解答：解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，

28

∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2． 故答案为：90，2；

探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2， ∵MN=8，MO=4，OY=4，∴UO=2，

∴得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2； 探究二

（1）由已知得出M与P的距离为4，

∴PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2， 当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切， 此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°；

（2）如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，

如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，

连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3，在Rt△MOH中，MO=4， ∴sin∠MOH=

=，∴∠MOH=49°，

∵α=2∠MOH，∴α最小为98°，∴α的取值范围为：98°≤α≤120°．

点评：此题主要考查了切线的性质定理以及平行线之间的关系和解直角三角形等知识，根据切线的性质求解是初中阶段的重点题型，此题考查知识较多综合性较强，注意认真分析．

河南

22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

22.（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.

又∵AE=t，∴AE=DF.????????????????????????????2分 （2）能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.???????????????????3分

3?5,?AC?2AB?10.?AD?AC?DC?10?2t. 310若使?AEFD为菱形，则需AE?AD.即t?10?2t,t?.

310即当t?时，四边形AEFD为菱形.……………………………………………………5分

3∵AB=BC·tan30°=53?（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.

29

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，t?②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°. ∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°. 即10?2t?5.??????7分 21t,t?4.????????????????????????????9分 25或4时，△DEF为直角三角形.……………………………………10分 2③∠EFD=90°时，此种情况不存在. 综上所述，当t?黑龙江省大庆

27.（本题9分）如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、

BC、AC分别相切于点D、E、F，延长CO交斜边AB于点G． (1)求⊙O的半径长； (2)求线段DG的长． BBGDOECGDOECHA第27题FAF 27.解：（1）设⊙O的半径为r，由已知OD?AB,OF?AC，且OD?OF

则Rt△OAD?Rt△OAF 所以AD?AF

同理，BD?BE,CE?CF????????????????????1分 又?ACB?90

则四边形OECF为正方形，得

CE?CF?r?????????????2分 在Rt△ABC中，由AC?4,BC?3 得AB?5

由AF?BE?AB????????????????????????3分 即(4?r)?(3?r)?5 得 r?1

所以⊙O的半径长为1??????????????????? ???4分 （2）延长AC到点H,使CH?BC?3

0?ACB?900 得 ?CHB?450?????????????? ??5分

0又CG是?ACB的平分线，则?ACG?45 从而?ACG??CHB

所以△ACG∽△AHB???????????????? ?????6分 AGACAC4得??? ABAHAC?BC7420????????????????????????7分 AG??5?77又AD?AF?AC?AG?3???????????????????8分

201所以DG?AD?AG?3????????????? ?????9分

77黑龙江省哈尔滨

27．在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCD为菱形，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是(一6，0)，AB=10．

（1）求点C的坐标：

（2）连接BD，点P是线段CD上一动点(点P不与C、D两点重合)，过点P作PE∥BC交BD与点E，过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q．设PC的长为x，PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式(直接写出自变量x

30

②??4a?2b?2.41818∴a=? b= ∴y2??x2?x?????????4分

5555?16a?4b?3.2（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q万元.

2218(10?t)?4?t ，y2??t2?t 555521816129∴Q?y1?y2?4?t?t2?t??t2?t?4??(t?3)2?????7分

5555555291∵?＜0，∴Q有最大值，即当t=3时，Q最大＝

55∴y1?∴10-t=7(万元) ????????????????????????????9分

即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元???10分 考点：二次函数的应用． 分析：（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据y?y1?y2得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问

题是考试的中热点问题，同学们应重点掌握．

湖北省潜江

23．（满分10分）两个大小相同且含30?角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30?得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点. （1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45?得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ，

如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI.

D D D

B B

F B D1

F

G G FA 1 A

G1

C C HH C 1 H 图②

I A E E E 图① 图③ E1

23.解：（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH 、△ECH．?????3分

（2）D1F1=AH1 ??????????????????????? 4分

??A??D1?30?证明：∵?∴△AF1C ≌△D1H1C. ??????? 5分 ?CA?CD1??FCH公共?11∴ F1C= H1C， 又CD1=CA，

∴CD1- F1C =CA- H1C.即D1F1?AH1????????????? 6分

（3）连结CG1.在△D1G1F1和△AG1H1中，

??D1??A∵???D1G1F1??AG1H1，∴△D1G1F1 ≌△AG1H1. ?DF?AH1?11D F D1 FG 1 G1 1 A H1

2 B ∴G1F1=G1H1 ??????????????7分 又∵H1C=F1C，G1C=G1C，∴△CG1F1 ≌△CG1H1. ∴∠1=∠2. ??????????????8分 ∵∠B=60°，∠BCF=30° ，∴∠BFC=90°.

H E I 3 C

E1

36

又∵∠DCE=90°，∴∠BFC=∠DCE， ∴BA∥CE， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，

∴G1I=CI ?????????????????????????? 10分

湖北省十堰

24、（2011?十堰）如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB=x． （1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，则x= 2.4或2.6 ； （3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．

考点：二次函数的最值；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；勾股定理。 分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5﹣x，又由，⊙A的半径为1，根据三角形三边关系，即可求得x的取值范围；

（2）分别从若AB是斜边与BC是斜边去分析，利用勾股定理的知识，借助于方程即可求得x的值；

（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h，AF=m，则W=（xh）=xh，由AC﹣AF=BC﹣BF，则1﹣m=（5﹣x）﹣（x﹣m），分别从2.4＜x＜3时与2＜x≤2.4去分析，即可求得答案． 解答：解：（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD， ∴BC=BD=5﹣x，在△ABC中，AC=1， ∴（5﹣x）﹣1＜x＜1+（5﹣x）， 解得：2＜x＜3；

（2）∵△ABC为直角三角形，

222

若AB是斜边，则AB=AC+BC，

22

即x=（5﹣x）+1， ∴x=2.6；

222

若BC是斜边，则BC=AB+AC，

22

即（5﹣x）=x+1， ∴x=2.4．

故答案为：2.4或2.6．

2

2

2

2

22

2

2

2

2

（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h，AF=m，则W=（xh）=xh， ①如图，当2.4＜x＜3时，AC﹣AF=BC﹣BF，则1﹣m=（5﹣x）﹣（x﹣m）， 得：m=∴h=1﹣m=

∴W=xh=﹣6x+30x﹣36， 即W=﹣6（x﹣）+，

37

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

，

，

当x=2.5时（满足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；

②当2＜x≤2.4时，同理可得：W=﹣6x+30x﹣36=﹣6（x﹣）+，

当x=2.4时，W取最大值1.44＜1.5， 综合①②得，W的最大值为1.5．

点评：此题考查了三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．

2

2

湖北省武汉

24.（本题满分10分）

（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：

DPPE. ?BQQC（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN.

24.（本题10分）（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ， ∴DP/BQ＝AP/AQ. 同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ. ∴DP/BQ＝EP/CQ.（2）

2 9 9.（3）证明：∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°.∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC.……3分∴DG/CF＝BG/EF，∴DG·EF＝CF·BG 又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG

由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)

2

∴MN＝DM·EN

湖北省咸宁

23．在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．

（1）实验操作：

在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：

（2）观察发现：任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数 的图象上；平移2次后在函数 的图象上??由此我们知道，平移n次后在函数 的图象上．（请填写相应的解析式）

（3）探索运用：

点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y?x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．

来源:z#zs#tep.com]

来源:zzstep.com]

来源中国教育出版网来源:zzstep.com]

来源中教网z#z#s#tep]

y P从点O出发平移次数 1次 2次 1 O 1 可能到达的点的坐标 (0,2)，(1,0)

38

3次 x

23．解：（1）（说明：描点正确得1分，坐标填写正确得1分） ··································· 2分

y 来源:zzstep.com]

（2）y??2x?2；y??2x?4；y??2x?2n． 5分（说明：写对一个解析式得1分）

1 O 1 x P从点O出发平移次数 1次 2次 3次

可能到达的点 的坐标

(0,4)，(1,2)，(2,0)

(0,6)，(1,4)，(2,2)，(3,0)

?y??2x?2n,（3）设点Q的坐标为(x,y)，依题意，?

y?x.?2n2n解这个方程组，得到点Q的坐标为(,)． ······················································· 7分

334n∵平移的路径长为x?y，∴50≤≤56． ∴37.5≤n≤42． ·························· 9分

3而点Q的坐标为正整数，因此点Q的坐标为(26,26)，(28,28)． ························ 10分

来源:zzstep.com]

湖北省襄阳

25、（2011?襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：∠ADP=∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当

的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。 分析：（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证； （2）首先证得△PAD≌△EGP，可以证得△BCG是等腰直角三角形，可以证得∠EBG=45°，即可证得∠CBE=45°； （3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形． ∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∵∠DPE=90°，

∴∠APD+∠EPB=90°， ∴∠ADP=∠EPB；

（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP=∠A=90°， 又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE， ∴△PAD≌△EGP，

∴EG=AP，AD=AB=PG， ∴AP=EG=BG，

∴∠CBE=∠EBG=45°； （3）当

=时，△PFD∽△BFP，

的值．

设AD=AB=a，则AP=PB=a，

39

∴BF=BP?∴PD=∴

=

=

=a．

=

a，PF=

=

a，

又∠DPF=∠PBF=90°， ∴△PFD∽△BFP． 点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键．

湖北省孝感市

24、（2011?孝感）健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐给社区健身中心．组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个．公司现有甲种部件240个，乙种部件196个．

（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？ （2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？

考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。 分析：（1）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得有9种组装方案； （2）根据组装方案的费用y关于x 的方程，解得当x=22时，组装费用y最小为764， 解答：解：（1）设该公司组装A型器材x套，则组装B型器材（40﹣x）套，依据题意得

，

解得22≤x≤30，

由于x 为整数，所以x取22，23，24，25，26，27，28，29，30． 故组装A、B两种型号的健身器材共有9套组装方案； （2）总的组装费用y=20x+18（40﹣x）=2x+720， ∵k=2＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=22时，总的组装费用最少，最少组装费用是2×22+720=764元，

总的组装费用最少的组装方案为：组装A型器材22套，组装B型器材18套．

点评：本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题． 难点同学们应重点掌握．

湖北省宜昌

23．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．

CYCB图1ABX图2A第23题

23.解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分，

(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.

如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点)，

40

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