类比法在圆锥曲线教学中的运用_郑小慧

（广东省惠州市第四中学

广东·惠州５１６０００）

中图分类号：G633.6

文献标识码：A

摘要圆锥曲线是高中平面解析几何中的重要内容，它

在其他学科和实际生活中也有着广泛的应用，因此，让学生真正掌握圆锥曲线的相关知识成为必然要求，而教学方法的选择是实现这一目标的保证。由于圆锥曲线各要素之间存在较大的相似性，类比法将作为这一部分内容教学的首要方法。本文主要谈谈类比法在研究圆锥曲线的定义和性质以及圆锥曲线解题等方面教学的运用。关键词圆锥曲线类比法

OntheApplicationofAnalogyApproachintheTeachingofConicSection//ZhengXiaohui

AbstractConicsectionisanimportantcontentinhighschoolplaneanalyticgeometry,anditiswidelyusedinpracticallife,sostudentsshouldlearntherelevantknowledgewell,whiletheselectionofteachingmethodisthekey.Duetothesimilaritiesoftheelementsofconicsection,analogyapproachisthetopchoiceinteachingthisknowledge.Thispapermainlydiscussestheapplicationofanalogyapproachintheteachingofconicsection.

Keywordsconicsection;analogyapproach

Author'saddressHuizhouNo.4MiddleSchoolofGuangdongProvince,516000,Huizhou,Guangdong,China

类比法也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。数学教学中的类比法是在教学中利用原有的认知结构，用已知的某一对象的性质和结论类推到另一对象。

1类比法在圆锥曲线定义教学中的运用

数学概念是“双基”教学的核心内容，是基础知识的起点，是逻辑推理的依据，是正确、合理、迅速运算的保证。而数学概念往往比较简练、抽象，学生不易理解，学生学习起来也比较枯燥、乏味，而如果让学生经历概念的形成过程和选用恰当的类比法来激发学生学习的兴趣和主动性，那么将会达到事半功倍的效果。1.1椭圆的定义

探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

在探究这一过程中，让学生动手操作，画出轨迹，有的学生画出一条线段，有的画出椭圆，这时分析为什么会得到线段，是因为两定点的距离等于绳长。接着与圆的定义作类比，引导学生给出椭圆的定义，强调椭圆是平面内到两定点的距离之和等于常数，且这一常数要大于两定点的距离（因为三角形两边之和大于第三边）。这样让学生经历了椭圆的一个形成过程与圆的定义作类比，突出了椭圆的两定点，从

文章编号：1672-7894（2012）09-0113-02

而学生对椭圆的定义由来更加自然，印象更为深刻，为后面

的性质研究以及双曲线的学习作了一个铺垫。1.2双曲线的定义

双曲线定义的教学中，我们可以类比椭圆的教学，先让

学生动手操作，画出曲线，通过观察、

归纳，总结得出双曲线的定义，发现与椭圆定义的共同要素（都是固定两个点），不同要素是，强调双曲线是到两定点的距离差的绝对值为一非零常数，并且这一常数小于两定点的距离（因为三角形两边之差小于第三边），通过类比，学生对椭圆与双曲线的相似与不同处非常清晰，在以后的运用过程中就不易混淆。

2类比法在研究圆锥曲线性质教学中的运用

2.1双曲线的性质

我们都是用圆锥曲线的标准方程来研究它们的几何性质，而双曲线的性质是在学完椭圆的几何性质后研究的，通过类比椭圆性质的研究方法以及它的图像得到如下的几何性质：

a.对称性：双曲线与椭圆都是轴对称（都关于x轴和y轴对称）且都为中心对称图形（对称中心为原点）；

b.顶点：双曲线两个顶点，椭圆则有四个；c.双曲线的焦距(2c)、实轴(2a)、虚轴(2b)，且有：c2=a2+b2；

对应椭圆的焦距(2c)，

长轴(2a)、短轴(2b)，且有：a2=c2+b2；d.离心率计算公式相同，但离心率的范围不同：双曲线:e>1，椭圆:0<e<1；

e.渐近线:双曲线特有的。

通过双曲线与椭圆性质的类比，使这两类曲线的共同

性质如对称性、

离心率等更加突出，不同性质如渐近线也更分明，起到真正强化的作用。要达到这一效果，务必要求

我们在前面对椭圆的性质相关知识的掌握丰富、清晰、

稳定，这样就越容易将椭圆的性质类推到双曲线中延伸新知识。

2.2抛物线的性质

抛物线是在研究完椭圆与双曲线后最后学习的，我们可以去发现它与前面两种圆锥曲线的类似性，寻找类比的突破口，通过研究得到：

a.对称性：轴对称（但只关于一条坐标轴对称）不是中心对称；

b.顶点：只有一个；c.离心率e=1。

抛物线的性质用类比法教学，主要是抓住研究圆锥曲线的几何性质对称性、顶点、离心率等几个方面研究，通过三种圆锥曲线性质的类比为后面的例题及练习、解题夯实了基础。

3类比法在解有关圆锥曲线问题教学的运用

3.1求圆锥曲线的标准方程

在求圆锥曲线的标准方程时，都要“先定型，再定量”，

（下转第115页）

的图形至少需用____块正方体，最多需用_____块正方体。

主视图俯视图

师：同学们对于这个题目你是如何思考的？

生：……师：老师这样思考：先看俯视图，打好地基，共5块小正方体，然后结合主视图在第二层加小正方体，因此至少需用6块小正方体，最多需用7块小正方体。

师：同学们，老师的思路你们觉得对吗？

通过这样的教学学生不但可以轻松掌握知识而且从中获得解决问题的策略，培养了学生自我监控能力，提高了课堂教学的效率。

我们每天都在做、都在思考如何打造高效课堂，实现有效教学。它涉及的面广，可以说渗透在教育教学的每一个层

它所应用的方法和策略更是数不胜面。课堂教学丰富多彩，

数，但是只要我们用心去研究，用心去做，更为高效的课堂和有效的教学必将呈现在学生面前。

★2011年度镇江市教学研究第九期重点课题：“讲学稿教学模式下中学生自我监控能力培养的研究；2011年助学”

度镇江市现代教育技术研究专项课题：交互式电子白板在初中数学新授课教学中的应用研究参考文献

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合作学习是通过两个或两个以上的个体在一起互相促进学习，以提高学习成效的一种教学形式。这节课老师要求每个组一名同学搭简单的立体图形，其他同学画出三视图，然后小组交流，既培养了学生的空间观念，又帮助学生理解从立体图形向平面图形的转化。一方面，由一名学生向同伴阐述自己对知识的理解并进行精细加工；另一方面，同伴在聆听他解释的同时要提出自己的问题，双方通过交流合作完善自己对课堂内容的理解。这种组内交流实际上就是一种认知调控过程，因此，小组合作学习不仅能关注全体学生，培养学生的团队意识，还能激发学生的学习热情，提高课堂教学的实效性。

4在数学课堂学习中发展学生自我监控能力，提高学生自主学习的效率

在教学过程中，应根据数学学习的阶段，给学生提供大量练习与实践的机会，并在实践中给予学生积极反馈，逐步实现由教师的示范、监控转向学生的自我监控，我通过教学

—大声思维的方实践感到使用自我监控过程的心理示范——

法效果较好。

由于学生的自我监控通常是处于一种内隐状态，同时

“他控”转向“自控”学生自我监控能力的形成又确需经历由

这一过程，因此学生对它认识非常关键。心理示范是培养者通过大声思维来演示自我监控的过程，使得监控过程中不能直接观察的心理过程能清楚地呈现于培养对象面前，使他们准确地体会和认识自我监控调节的过程。同时大声思维还强化了学生知识的形成过程，因此，大声思维不仅是培养自我监控能力的重要环节，也是教师关注全体学生，提高课堂效率的有效措施。

本节课教师在讲解下列题目时采用了大声思维的方（上接第113页）

即要先根据已知条件判断焦点位置，再选择恰当的标准方程，用待定系数法得到圆锥曲线的标准方程；而当无法确定所求圆锥曲线的焦点位置时，都要进行分类讨论，分为焦点在x轴和焦点在y轴。不同点在于三种圆锥曲线的定义和标

可以着重讲解椭圆标准方程的准方程存在差异。在教学时，

求解过程，双曲线和抛物线就可以类比其解题方法。3.2圆锥曲线定义的应用

22

问题一：已知P为椭圆x+y=1上的点，F1，F2是椭圆

的两个焦点，∠F1PF2=60°，求ΔF1PF2的面积S。

分析思路：用数形结合的方法，再根据a,b,c三者的关系，用余弦定理和三角形的面积公式计算出SΔF1PF2

22

问题二：已知双曲线x-y=1的左、右焦点分别为F1、

F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°，求ΔF1PF2的面积S。

分析：与问题进行类比得到解题思路，通过做题学生对这两种双曲线的方程相似点与不同点更加清楚。3.3直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系近来一直是高考的重点，常考类型有判断直线与圆锥曲线的交点个数、交点坐标以及交点弦长，通过类比教学，我们只要详细讲解椭圆与直线

编辑

胡俊龙

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的相关知识，总结思路类推到双曲线与抛物线中去，即一般

先联立方程组，消去一个变量，得到另一个变量的一元二次方程，再由一元二次方程中的判别式Δ>0，有两个交点，Δ=0，有一个交点，Δ<0，直线与圆锥曲线没有交点。

综上所述，在圆锥曲线教学中，类比方法的运用，会激发学生学习的兴趣和积极性，使他们积极主动地参与课堂教学中，给学生提供了更多体验成功的机会。参考文献

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编辑胡俊龙

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