第一章矢量分析与场论基础题解

电磁场题解

第一章 矢量分析与场论基础

1-1 求下列温度场的等温线

11）T?xy，2）T?2 2x?y解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得

C⑴ xy?C，y?；⑵ x2?y2?C

x

1-2 求下列标量场的等值面

11）u? ，2） u=z-x2?y2 ， 3）u=ln(x2+y2+z2)

ax?by?cz解 据题意可得 ⑴ ax?by?cz?k

2⑵ z?x2?y2?c，x2?y2??z?c?

⑶ lnx2?y2?z2?c，x2?y2?z2?ec，x2?y2?z2?k2

., 2.0, 30.)的矢量线方程。 1-3 求矢量场A?xex?yey?2zez 经过点M(10dxdydz?? xy2z 解微分方程，可得 y?c1x，z?c2x2

., 2.0, 30.)的坐标代入，可得 c1?2，c2?3 将点M(10 即 y?2x，z?3x2 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A?y2xex?x2yey?y2zez的矢量线方程。

??解 根据矢量线的定义，可得

解 根据矢量线的定义，可得

dxdydz ??222yxxyyz 解微分方程，可得 x2?y2?c1，z?c2x 为所求矢量线方程。

1-5 设u(M)?3x2?z2?2yz?2xz，求：

., 2.0, 30.)处沿矢量l?yxex?zxey?xyez方向的方向 1）u(M)在点M0(10导数，

., 2.0, 30.)处沿矢量 2）u(M)在点M0(10l?(6x?2z)ex?2zey?(2z?2y?2x)ez方向的方向导数。 解 l的方向余弦为 cos??2222cos??172?3?23322，cos??； ??22222217172?3?22?3?2?2，

1

电磁场题解

又有

?u?x?6x?2xzM?12，

M00?u?y??2zM??6，

M00?u?z?2z?2y?2xM?4

M00 据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z

cos??M012?2?6?3?4?217?1417

1-6 求标量场u?xy?yz?zx在点M0(10., 2.0, 30.) 处沿其矢径方向的方向

导数。

11解 l的方向余弦为 cos??，?222141?2?32233，cos??； cos????22222214141?2?31?2?3?u?u?u?x?zM?4， 又有 ?y?zM?5，?y?xM?3 000?y?xM0?zM0M0据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z

., 1.0处)沿该点至1-7 设有标量场u?2xy?z2，求u在点(2.0, ?10(30., 10., -1.0方向的方向导数。在点)( 2.0, ?10., 1.0)沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？

., 1.0)至点(30., 10., -1.0)的方向余弦为 解 点(2.0, ?103?211?12co?s??，cos???，

?3?2?2??1?1?2???1?1?23?3?2?2??1?1?2???1?1?23cos??M05?1?4?2?3?314?2214

cos???1?1?3?2?2??1?1?2???1?1?2?u?xM002??；

3?u?y?2xM?4，

M00 又有

?2yM??2，

?u?z??2zM??2

M00据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z2cos??M0?2?1?4?2?2?210?

33当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿G??2ex?4ey?2ez方向导数达最大值，G???2??42???2??24?26

1-8 求下列标量场的?u

1）u?2xy；2）u?x2?y2；3）u?exsiny；

2 2

电磁场题解

4）u?x2y3z4； 5）u?3x2?2y2?3z2

?u?u?u解 据 ?u?ex?ey?ez，可得

?x?y?z1） ?u?2yex?2xey 2） ?u?2xex?2yey 3） ?u?exsinyex?excosyey

4） ?u?2xy3z4ex?3x2y2z4ey?4x2y3z3ez 5） ?u?6xex?4yey?6zez

., 30., -2.0)处的梯度。 1-9 求标量场u?xyz2?2x?x2y在点( ?10解 ?u?yz2?2?2xyex?xz2?x2ey?2xyezz，则所求梯度为

?????uM??12?2?6?ex???4?1?ey?12ez?4ex?3ey?12ez

0

1-10 求标量场u(x,y)?3x2?y2具有最大方向导数的点及方向，所求的点满

足x2?y2?1。（提示：最大的方向导数就是在点(x,y)处的梯度，模最大，且满足x2?y2?1，即求条件极值。） ?u?uex?ey?6xex?2yey，?u?36x2?4y2，将y??1?x2代解 ?u??x?y入，可得 ?u?36x2?4?1?x2??32x2?4，即 ??u??32x2?4，

22当x??1、y?0时，有?umax??6，即点??1,0?和?1,0?为满足条件的点，又

?u??1,0???6ex，?u?1,0??6ex，即最大方向导数的方向分别为?ex

1-11 设r?xex?yey?zez , r=r, n为正整数， 1）求?r2,?rn,?f(r),

2）证明?（a?r)?a,(a是常矢量）

解 1） ?r2??x2?y2?z2?2xex?2yey?2zez?2r

n2???? ??r?????x? ?nr??y?z2n22??n222?x?y?z?2????2xen?12x?2yey?2zez?

?n?2??1??2?rr?nrn?2 rr因此，可得 ??a?r????axx?ayy?azz??axex?ayey?azez，证毕。

r ?f?r??f??r??r?f??r?r?1r?f??r?

r2） 证明 设 a?axex?ayey?azez，则 a?r?axx?ayy?azz，

3

电磁场题解

1-12 设S为上半球面x2?y2?z2?a2 (z?0),其法向单位矢量en与z轴的夹

角为锐角，求矢量场r?xex?yey?zez 沿en所指的方向穿过S的通量。（提示：注意r与en同向）

解 将r?xex?yey?zez用球坐标表示，则在S面上有r?aen，因此，可得

23r?ds?a?2?a?2?a ?s

1-13 求均匀矢量场A通过半径为R的半球面的通量。

（如图1-1所示）

解 设半球面的方程为x2?y2?z2?a2 (z?0),则矢量A通过S面的通量等于矢量A通过S面在z?0的平面上的投影的通量，因此，?A?ds?A?R2

s

1-14 计算曲面积分????(x2?2xy)dydz?(y2?2yz)dzdx?(z?2x?1)dxdy,

S其中S是球心在原点，半径为a的球面外侧。

解 设A?(x2?2xy)ex?(y2?2yz)ey?(z?2x?1)ez，根据散度定理，可得

????(x2?2xy)dydz?(y2?2yz)dzdx?(z?2x?1)dxdy???A?dsSs4???????A?dv?????2x?2y?2y?2z?2z?2x?1?dv??a33vv

1-15 求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量：

1）A?x3ex?y3ey?z3ez，S为球面x2?y2?z2?a2 2）A?（x?y?z)ex?(y?z?x)ey?(z?x?y)ez，S为椭球面

x2y2z2?2?2?1 2abc解 1） 根据散度定理，可得

22222??A?ds???Adv?3x?3y?3zdv?3r?4?rdr??????????svv0??a125?a 52）

4????A?ds???Adv?1?1?1dv?3??abc?4?abc ????????3svv

1-16 求下列空间矢量场的散度：

1）A?(2z?3y)ex?(3x?z)ey?(y?2x)ez 2）A?(3x2?2yz)ex?(y3?yz2)ey?(xyz?3xz2)ez

?Ax?Ay?Az解 1） ??A????0

?x?y?z?Ax?Ay?Az2） ??A????6x?3y2?z2?xy?6xz

?x?y?z

4

电磁场题解

1-17 求divA在给定点处的值：

1）A?x3ex?y3ey?z3ez在M（1.0，0.0，-1.0)处； 2）A?4xex?2xyey?z2ez ,在M（1.0，1.0，3.0）处； 3）A?xyzr (r?xex?yey?zez)在M（1.0，3.0，2.0）处。 解 1） ??A??Ax?Ay?Az???3x2?3y2?3z2，则??AM?3?3?6 ?x?y?z?Ax?Ay?Az2） ??A????4?2x?2z，则??AM?4?2?6?8

?x?y?z?Ax?Ay?Az??A??????xyz?xex?yey?zez?3） ， ?x?y?z?2xyz?2xyz?2xyz?6xyz??则??AM?6?1?3?2?36

1-18 求标量场u?x3y4z2的梯度场的散度。

?u?u?uex?ey?ez?3x2y4z2ex?4x3y3z2ey?2x3y4zez 解 ?u??x?y?z ???u?6xy4z2?12x3y2z2?2x3y4?2xy23y2z2?6x2z2?x2y2

1-19 已知液体的流速场

V?3x2ex?5xyey?xyz3ez，问点M（1.0，2.0，3.0）是否为源点？

??解 ??v?6x?5x?3xy2z，由于?vM?65?0，所以M是源点。

1-20 已知点电荷q1,q2分别位于M1，M2两点处，求从闭曲面S内穿出的电

场强度通量?E, ,其中S为：

1）不包含M1，M2两点的任一闭曲面； 2）仅包含M1点的任一闭曲面； 3) 同时包含M1，M2两点任一闭曲面。

解 据高斯通量定理，可得 1） ?E???E?ds?0

s2） ?E???E?ds?q1

s3） ?E???E?ds?q1?q2

s

1-21 求矢量场A??yex?xey?cez (c为常数）沿下列曲线的环量 1）圆周x2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系）

2）圆周(x?2)2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系） 解 设圆周包围的曲面为s，则s??R2，据斯托克斯定理，可得

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电磁场题解

2?2??1???2?2??0I??e?0Iln2?1 ??其中，ln?1?45，?2?135，则 A?ezz4?4???2?122?1??2?2???4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理由。

1） Arer （球坐标系） 2） A(xey?yex)

3） A(xex?yey) 4） Are?（球坐标系） 5） Are?（圆柱坐标系）

1?3(rA)?3A?0 2r?r?Ax?Ay?Az2） ??A=?? ?0

?x?y?z?Ax?Ay?Az3） ??A=?? ?1-1?0

?x?y?z1?21?1?A?(rAr)?(A?sin?)??0 4） ??A?2rsin???rsin???r?r1?1?A??Az(rAr)???0 5） ??A?r?rr???z 由于??B?0，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）~5）可

解 1） ??A?能是磁感应强度表达式。

4-6 相距为d的平行无限大平面电流，两平面分别在

z??d/2和z?d/2平行于xy平面。面电流密度分别为Kex和Key，求由两无限大平面分割出的三个空间区域

的磁感应强度。

解 如图建立坐标系，并作平行于xz平面的闭合回

线l1，据安培环路定律，可得 Hx?K 2K 2和平行于yz平面的闭合回线l2，可得 Hy?考虑坐标系，及B??H可得

?K?Kd，B??0ex?0ey； 222?K?K?K?Kddd当??z?，B??0ex?0ey；当z??，B?0ex?0ey；

22222224-7 求厚度为d，中心在原点，沿yz平面平行放置，体电流密度为J0ez的无穷大导电板产

当z??生的磁感应强度。

d，作闭合回线l1，2d据安培环路定律，可得B??0J0x，当x?，作闭合

2?Jd回线l2，据安培环路定律，可得B?00，

2解 如图4-6建立坐标系，当x?

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电磁场题解

??0J0d??2ey??因此，可得B???0J0xey???0J0dey??2x???dd?x? 22dx?2d24-8 如图4-7所示，同轴电缆通以电流I。求各处的磁感

应强度。

解 作半径为r的闭合回线，据安培环路定律，

??0Ir??2?R2er1??I??0er可得 B??2?r??0IR32?r2e?22r?2?rR3?R2??0r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3

4-9 如图4-8所示，两无穷长平行圆柱面之间均匀分布着密度为J的体电流。求小圆柱面

内空洞中的磁感应强度。

解 设小圆柱面内空洞中的任意点p至大、小圆柱面的轴心距离分别为r1、r2，当空洞内也充满体电流时，可得p点的磁感应强度

为B1??0Jr12e1，空洞内的体电流密度在p点产

生的磁感应强度为B2??0Jr22e2

B?B1?B2??0J2?r1e1?r2e2???0Jdex

24-10 内半径为R1，外半径为R2，厚度为h，磁导率为?（????0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N匝

线圈，如图4-9所示。线圈中电流为I。求铁芯中的磁感应强度和磁通以及线圈的磁链。

解 在铁芯中作与铁芯圆环同轴半径为r的闭合回线，据安培环路定律，可得铁芯中磁感应强度为

B??0INe? 2?rR21相应的磁通为

?0IN?INhR2 hdr?0lnR2?r2?R1?0IN2hR2磁链为 ??N?? ln2?R1???4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无穷长直线电流

I，如图4-10所示。求两种媒质中的磁感应强度和

磁场强度。

解 设z轴与电流的方向一致，则据安培环路定律，可得 H14?r?H24?r?I，

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电磁场题解

?1H1??2H2

?2I解以上两式，得 H1?e?，

???1??2?r?2IH2?e?，

???1??2?r?1?2IB1?B2?e?

???1??2?r据边界条件，可得

4-12 如图4-11所示，无穷大铁磁媒质表面上方有一对平行直导线，导线截面半径为R。

求这对导线单位长度的电感。

解 根据教材97页例题4-12、4-13，可得平行长线a、b的单为长度内自感为

Li??0 4?对于外自感，如图4-12取镜象，a、b之间的外磁链可视为a、b和c、d中的电流分别作用后叠加，即

?0Id?R?0Idln?ln，?R?R?0Id2?4h2?0Id2?4h2 ?2??2?ln?ln22?2h?4h?0Id?0Id2?4h2?0Idd2?4h2ln?ln?ln?外磁链为 ???1??2? 22?R??R4h4h?1??1?外自感为

?0dd2?4h2Lo??ln?

I?R4h2?因此，自感为

?0?0dd2?4h2L?Li?Lo??ln? 24??R4h4-13 如图4-13所示，若在圆环轴线上放置一无穷

长单匝导线，求导线与圆环线圈之间的互感。若导线不是无穷长，而是沿轴线穿过圆环后，绕到圆环外闭合，互感有何变化？若导线不沿

轴线而是从任意点处穿过圆环后绕到圆环外闭合，互感有何变化？

解 设长直导线中有电流I，则在铁芯线圈中产生的磁通和磁链分别为

???0IhR2?NIhR2，??N??0 lnln2?R12?R1因此，两线圈之间的互感为

M??I??0NhR2 ln2?R1根据诺以曼公式，可知两线圈之间的互感也可

视为铁芯线圈中的电流产生被直导线所链绕的

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电磁场题解

磁通与电流的比值，则题设后两种情况中，直导线链绕的磁通没有发生变化，因此互感也不变。

4-14 如图4-14所示，内半径为R1，外半径为R2，厚

度为h，磁导率为?（????0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N匝线圈。求此线圈的自感。若将铁芯切割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角度为??，求线圈的自感。

解 当线圈中有电流I时，设铁芯中的磁场强度为H、气隙中为H0，据安培环路定律，可得

H?2?????r?H0?????r?NI 据边界条件，可得 ?H??0H0，代入上式，

得

H?NI???r??2???????????0????0NI

r??0?2???????????0?NI

r??0?2??????????R?0?NhIR则铁芯及气隙中的磁通为 ???Bhdr?ln2

Rr??0?2??????????R1?0?N2hIR线圈所链绕的磁通为 ??N??ln2

r??0?2??????????R1?0?N2hR?则电感为 L??ln2

Ir??0?2??????????R1相应的磁通为 B??H?21

4-15 分别求如图4-15所示，两种情况中两回路之间的互感。

解 （a）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得

y?dx 2b长直导线中的电流I在三角形线圈中产生的磁感应强度为

B?2??a?x??0I，

则磁通为

?0Idbx??dx2?b?0a?x

?0Id?a?b???b?aln?2?b?a????0d?a?b?互感为 M???b?aln??

II2?b?a? 19

电磁场题解

（b）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得y??d?x?b? 2b长直导线中的电流I在三角形线圈中产生的磁感应强度为 B?则磁通为

2??a?x??0I，

?0Idbx?b?0Id?a?b???dx?a?bln?b?? ?02?ba?x2?b?a????0d?a?b?互感为 M?????a?bln?b? ?II2?b?a????4-16 试证明真空中以速度v运动的点电荷所产生的磁场强度和电位

移矢量之间关系为H?v?D 。

证明 如图4-16，点电荷q在半径为r处产生的电位移矢量为

qer，当点电荷q以速度v向z方向运动时在半径为r4?r2qv?erqer?v??v?D证毕。 处产生的磁场强度为H?4?r24?r24-17 试证明真空中以角速度?作半径为R圆周运动的点电荷q在圆心处产生的磁场强度为

q?H?en，en是与圆周运动方向成右手螺旋关系方向的单位矢量。

4?RD?证明 如图4-17所示，以角速度?作半径为R圆周运动的点电荷q的线速度为 v??Re?，则磁场强度

H?qv?Rerq??en 24?R4?R证毕。

4-18 如图4-18所示，半径为a，长度为2l的永磁材料圆柱，被永久磁化到磁化强度为M0ez。

求轴线上任一点的磁感应强度B和磁场强度H。

解 等效的磁化电流体密度和面密度分别为 Jm????M????M0ez?0，

Km?M?en?M0ez?er?M0e? 参阅教材72页例4-2，可得图4-19所示电流微元M0dz?在z点产生的磁感应强度为

dB??0a2M0dz?2a2?z2?z?2????32ez

则圆柱体上的磁化电流在轴线上产生的磁感应强度为

B?2?dB??0ll?0a2M0dz?0?a??z22?z?22??32ez

??0M02[l?za?(l?z)2?l?za?(l?z)22]ez

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电磁场题解

?UU，D? dd11U2当极板间电压不变时，空气介质中电场能量密度 w0?ED??2??0

22d1U2注油后电场能量密度 w??2?4?0?4w0

2dQ当极板上电荷不变时，极板上的电荷面密度 ?? ，则电场强度

S解 平行极板间电场强度和电位移矢量分别为 E?E??， ?11?2电位移矢量 D??，空气介质中电场能量密度 w0??ED??

22?0注油后电场能量密度 w??22?4??0?0.25w0

6-2 内、外两个半径分别为a、b的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的介电常数为?0，当内、

外电极上的电荷分别为?q时，求电容器内储存的静电场能量。

解 如图6-1建立球坐标，球形极板间的电场强度和电位移矢量为

E?q4??0r2，D?q4?r2，

则极板间的电场能量

W??ba1?q?111?q?4?2????4?4?rdr????2?4???0r2?4???022?badrq2?r28??0?11???? ?ab?6-3 两个同轴薄金属圆柱，半径分别为R1?5cm、R2?6cm，小圆柱有l?1m放在大圆柱内，极

板间介质的介电常数为?0，如果在两圆柱间加上U?1000V的电

压，求电容器极板间储存的静电场能量。

解 如图6-2建立圆柱坐标，圆柱形极板间的电场强度为

?，由于极板间的电压U?1000V，则有

2??0rR?U1000???， U?ln2?1000，可得

R2??0ln1.22??0R12E?lnR12W??则极板间的电场能量

R2R1???0lU21?U1??0??l?2?r?r?dr?lnR/R2?lnR/R21?21??12

???8.85?10?103ln1.2?1.52?10?7J 26

电磁场题解

6-4 内导体半径为a，外半径为b的同轴电缆中通有电流I。假定外导体的厚度可以忽略，求单位长度的

磁场能量。

解 如图6-3建立圆柱坐标，当r?a时，有

H?Ir2?a2

相应的磁场能量为

Wm1??当aa0?0?I?2?0I2??r?2?rdr?2?2?a2?16?I2?r

2

?r?b时，有 H?b相应的磁场能量

Wm2??a?0?I?1?0I2bln ???2?2?rdr?2?2??r4?a?0I2?0I2b?0I2?1b???ln???ln? 16?4?a4??4a?2所求磁场能量为

Wm?Wm1?Wm26-5 空气中有一个边长为b的等边三角形回路和一长直导线，三角形回路的一边与长直导线

平行，间距为a，三角形回路的另一顶点离直导线较远，如图6-4所示。当直导线和三角形回路分别有电流I1和I2时，求三角形回路与直导线之间的互有磁场能量。

解 如图建立坐标系，电流I1三角形线圈中产生的磁

?0I1，

2??a?x??0I1元磁通 d??Bds??2y?dx，

2??a?x?感应强度为 B?式中 y??133b2x?b， 2磁通 ???0?????a?x??2?0I1?b??0????两线圈间的互感 M???????因此，两线圈间的互有能

??3a?b?0I1??ab?x?13?2???ln??b? ?dx??????aa2?3???32??????3a?bab?13?2????b? ?ln2aa23??????3a?b?0I1I2??ab?13?2??W?MI1I2???ln??b? ?????32?aa2?????

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电磁场题解

6-6 一个平板电容器的极板为圆形，极板面积为S，极间距离为d。介质的介电常数为?，

电导率为?。当极板间电压为直流电压U时，求电容器中任一点的坡印亭矢量。

解 如图建立坐标系，两极板间的电场强度、传

U?Uez，JC??E? dd据安培环路定律，可得 H?2?r?JC??r2

Jr?Ure? 即 H?Ce??22d导电流密度分别为 E?则坡印亭矢量为

U?U?U2S?E?H???rer??2er

d2d2d6-7 在题6-6中，如果电容器极间的电压为工频交流电压u?坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。

?U?02Uco3s1t4??ez 解 据题意，可得各极间电场强度为 E?相量式Eez，

ddu?uU?0??ez，相量式D?ez则传导电流密度为JC??E?ez，电位移矢量D??dd?d??U?0?D3142Usin314t??e相量式 J位移电流密度J???ez，相量式 CzDd?t?d?j?U?0??D?????J??J??U?JD??ez则全电流密度 J??j??ez，磁场强度 CD?t?dd???2?rJUr?U????????e???H???r? 坡印亭矢量H??jeS?E??j????er ??22d?????2d2??U2R?U2??R2?2?Rd?由此可得有功功率P?，

d2d2U2R??U2?R2??2?Rd??无功功率Q?? 2??d2d2Ucos314t。求任一点的

第七章 平面电磁波

7-1

设空气中有一平面电磁波在坐标原点的电场强度为E?Ex(0,t)?Emcos?t，电磁波以速度v沿z轴方向传播。求电场强度和磁场强度的表达式。 解 据题意可得 E?z,t??Emco?s?t??z?ex?Emco?s?t? H?z,t??Hmcos??t??z?ey?7-2

7??z??ex v??z?cos??t??ey

?0/?0?v?Em设空间某处的磁场强度为H?01求电磁波的传播.cos(2??10t?021.x)ez A/m。方向、频率、传播常数、传播速度和波阻抗，并求电场强度的表达式。

解 据磁场强度表达式，可得电磁波的传播方向为x轴正方向，

?2??107??107Hz，传播常数 ??0.21rad/m频率 f?， 2?2? 28

电磁场题解

?2??107传播速度 v?， ??3?108m/s?0.21?04??10?7??377? 波阻抗 Z??12?08.85?10电场强度

E?0.1Zcos(2??107t?0.21x)ey?37.7cos(2??107t?0.21x)eyV/m7-3

一在真空中传播的电磁波电场强度为E?E0[cos(?t?ky)ex?sin(?t?ky)ez]，求磁场强度。

E0[co?st(?ky)??ez??sin?(t?ky)ex] 3777-4 某良导体中一均匀平面波的频率为f0，波长为?0。求该电磁波的传播常数、衰减系

解 据题意可得 H?数、相位常数、传播速度和透入深度。

解 据题意，已知频率f0，波长?0，磁导率?0，介电常数?0，媒质为良导体，电导率?，并有

??2?2???2，则可得

传播常数 Γ???1?j?相位常数

?????1?j?2??0，衰减系数

?????2?， ?2?0?????2?， ?2?02?传播速度 v?7-5

????2????2?f0??0?2?f0?0，透入深度 d??0 2????2?已知真空中有一均匀平面波的电场强度E?Exex?Eyey。其中，，Ex?100cos(2??108t?0.21z) V/mEy?100cos(2??10?8t?021.z?90?) V/m。求磁场强度的瞬时值及相量表达式。

解 据电场强度的表达式，可得磁场强度的瞬时值表达式为

H?Hyey?Hxex?0.265cos(2??10?8t?0.21z)ey?0.265cos(2??10?8t?0.21z?90?)exA/m

??0.265e?0.21ze?je?0.187e?0.21ze?jeA/m相量表达式为 H yxyx2????

7-6

在自由空间中某一均匀平面波的波长为12 cm。当它在某一无损媒质中传播时，其波长为8 cm，且已知在该媒质中E和H的幅值分别为50 V/m和0.1 A/m。求该平面波的频率以及该无损媒质的?r和?r。

3?108解 据题意，在自由空间中，?0?12cm，则频率 f???2.5?109Hz

?00.1298在无损媒质中，波长??8cm，则波速v??f?0.08?2.5?10?2?10m/s

v 29

电磁场题解

??E5015，可得?2.5?10，???0.25?10?16 ???500，v???H0.1???11解得?2?2.5?105?0.25?10?16?6.25?10?12，即??2.5?10?6，??1?10

?2.5?10?6?1?10?11则 ?r???1.989，?r???1.13

?04??10?7?08.85?10?12由于

7-7

设一均匀平面波在一良导体中传播，其传播速度为真空中光速的01%.，波长为

03. mm。设媒质的磁导率为?0，试决定该平面波的频率和良导体的电导率。

解 据题意，可得

3?108?0.1%2?9?1?10Hz频率 f??，由于在良导体中，，即v??0.3?10?3??v2?2?2??1097v?，则有 ?? ??1.11?10S/m2?78???v4??10?3?10?0.1"???7-8

某导电媒质的磁导率为?0，电导率为4.2 S/m。求透入深度为1米的电磁波的频率。 解 据d?2d???214则 f????6.03?10Hz 22?72?2?d??4??10?4.2???，可得??22，

7-9

频率为1010 Hz的平面电磁波沿x轴垂直透入一平面银层，银层的电导率为

3?107 S/m，求透入深度。

解 d?

2????2?7?9.19?10m 10?772??10?4??10?3?10

30

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