教材高考·审题答题(五) 平面解析几何热点问题

4 教材高考·审题答题（五）平面解析几何热点问题

1. 解析 设直线()()11223:,,,,2

l y x t A x y B x y =

+． （1）由题设得3,04F ?? ???，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x t y x

?=+???=?，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =，可得123y y =-． 由232

3y x t y x

?=+???=?，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．

代入C 的方程得1213,3x x ==

．故||AB =．

2. 解析 （1）设直线AB 的方程为2x my =+，由224x my y x =+??

=?，得2480y my --=，所以128y y =-. 因此，y 1y 2为定值8-.

（2）假设存在直线:l x a =

满足题意，因为||AC ==

=AC

为直径的圆的半径为r =

.又AC 的中点为112(,)22x y E +，所以E 到直线l 的距离12||2

x d a +=-，从而直线l 被以AC 为直径的圆截得的弦长

L ==

=

=10a -=，即1a =时，L 为定值2.

所以存在这样的直线l ，其方程为1x =，且相应的弦长为2.

3. 解析 （1

）由题意得2221

1,2,c a

ab a b c ?=???=??=+???

解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为14

22

=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .

4 当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=

x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而2

21100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为1100+-=

x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而1

2200-+=-=y x x AN N . 所以2

21120000-+?-+=?x y y x BM AN 2

28844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=. 当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=?BM AN . 综上，BM AN ?为定值.

4. 解析 （1

）由题意得2221,,.b c a

a b c =???=???=+?

解得2a =2． 故椭圆C 的方程为2

212

x y +=． 设M (N x ，0)．因为0m ≠，所以11n -<<．

直线PA 的方程为11n y x m

--=， 所以M x =1m n -，即(,0)1m M n

-． （2）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以(,)B m n -，设(,0)N N x ，则N x =1m n +． “存在点(0,)Q Q y ，使得OQM ∠=ONQ ∠”等价于“存在点(0,)Q Q y ，使得

OM OQ =OQ ON ” ，

即Q y 满足2Q M N y x x =． 因为

M m x n =

，N m x n

=，且2212m n +=，所以

22221Q M N

m y x x n ===-． 所以Q y 或Q y =．

故在y 轴上存在点Q ，使得OQM ∠=ONQ ∠，且点Q 的坐标为或(0,．

5. 解析 （1）设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2

p a =，12a c -=，解得1a =，

4 12c =，2p =，于是22234

b a

c =-=. 所以，椭圆的方程为2

2413

y x +=，抛物线的方程为24y x =. （2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点

2(1,)P m --，故2(1,)Q m

-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ， 整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634

m y m -=+. 由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434

m m B m m -+-++. 由2(1,)Q m

-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332

m x m -=+， 故2

223(,0)32

m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++. 又因为APD △

22162232||2

m m m ??=+，

整理得23|20m m -+=

，解得||m =

，所以m =. 所以，直线AP

的方程为330x +-=

，或330x --=.

6. 解析 （1）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．

当4t =时，椭圆E 的方程为22

143

x y +=，A 点坐标为()20-，， 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为

4π． 因此直线AM 的方程为2y x =+．

将2x y =-代入22

143

x y +=得27120y y -=． 解得0y =或127y =，所以1127

y =． 所以AMN △的面积为21112121442227749AMN S AM ?=

=???=． （2）

由题意知3,0,(t k A >>，则直线AM

的方程为(y k x =+，

联立(22

13x y t y k x ?+=???=?

，消去y ，整理得(

)

222223230tk x x t k t +++-=，

解得x =

x =

所以AM ==.

4 由题意MA NA ⊥，所以AN

的方程为1(y x k

=-+，

同理可得||AN =由2AM AN =,得22233k tk k t

=++，即3(2)3(21)k t k k -=-.

因为k =23632

k k t k -=-． 因为3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202

k k k +-<-，即3202k k -<-，

2k <<．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/55wl.html