2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解

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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（福建.理）含详解

数 学(理工农医类)

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为 A.1 B.2 C.1或2

x＜0

D.-1

(2)设集合A={x|x 1},B={x|0＜x＜3＝,那么“m A”是“m B”的

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

D.128

D.-2

A.充分而不必要条件

C.充要条件

(3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为 A.63 B.64 C.127 (4)函数f(x)=x3+sinx+1(x R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 A.3

B.0

4

C.-1

(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

16

96

192

256

A.625

B. 625

C. 625

D. 625

(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

A.3 种数为 A.14

B.

5

C.

5

D.

5

(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案

B.24

C.28

y

D.48

(8)若实数x、y满足 A.(0,1)

x 1

B.

0,x

则的取值范围是

0,1

C.(1,+ )

D.

1,

(9)函数f(x)=cosx(x)(x R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为

A.2

B.

C.－

D.－2

(10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为

5 2

A. 6

B. 3 C.6或6

D. 3或3

x

22

(11)又曲线a值范围为 A.(1,3)

yb

22

1

（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取

B.

1,3

C.(3,+ )

D.

3,

(12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)

x=1+cos

(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin

（ 为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 .

（15 .

a

（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、b ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集 ①整数集是数域；

F a ,b Q

也是数域.有下列命题：

②若有理数集Q M，则数集M必为数域；

③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知向量m=(sinA,cosA),n=

1)

，m·n＝1，且A为锐角.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f(x) cos2x 4cosAsinx(x R)的值域. （18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD

＝BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点

.

ABCD为直角梯形，其中

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；

AQ

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD

的距离为2？若存在，求出QD 的值；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分12分）

f(x)

13

x x 2

3

2

已知函数.

(an,an 1 2an 1)

2

（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； （Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.

(n∈N*)在函数y=f′(x)的

（20）（本小题满分12分）

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证

2

书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为3，科目B每次考试

1

成绩合格的概率均为2.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望E . （21）（本小题满分12分）

x

22

如图、椭圆a

yb

22

1(a b 0)

的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有值范围. （22）（本小题满分14分） 已知函数f(x)=ln(1+x)-x1

（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）记f(x)在区间

OA OB

22

AB

2

,求a的取

0, （n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.

（Ⅲ）如果对一切n

，不等式

a1

a1a3a2a4

a1a3 a2n 1a2a4 a2n

恒成立，求实数c的取值范围；

（Ⅳ）求证：

a2

1.

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数 学（理工类）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数A.1

(a 3a 2) (a 1)i

2

是纯虚数，则实数a的值为

C.1或2

D.-1

B.2

2

解：由a 3a 2 0得a 1或2,且a 1 0得a 1 a 2（纯虚数一定要使虚部不为0）

A {x|

xx 1

0}

(2)设集合

,B {x|0 x 3},那么“m A”是“m B”的

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

x

0

解：由x 1得0 x 1,可知“m A”是“m B”的充分而不必要条件

a1 1,a5 16

(3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若,则数列

{an}

前7项的和为

A.63 B.64 C.127 D.128

S7

1 2

7

解：由

a1 1,a5 16

3

及｛an｝是公比为正数得公比q 2，所以

1 2

127

(4)函数f(x) x sinx 1(x R),若f(a) 2，则f( a)的值为 A.3

B.0

3

C.-1 D.-2

解：f(x) 1 x sinx为奇函数，又f(a) 2 f(a) 1 1 故f( a) 1 1即f( a) 0.

4

(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

16

96

192

256

A.625

B. 625 C. 625

D. 625

2

2

9642 4 1

P(k 2) C4 B(4,)

625 5， 5 5

解：独立重复实验

(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1

与平面BB1D1D所成角

的正弦值为

A.3

B.

5

C.

A1C1

5

B1D1

D.

5

解：连与交与O点,再连BO,则

OC1BC1

OBC1

为BC1与平面BB1D1D所成角.

，

CO

S OBC1

COS OBC1

OC1

5

，

BC

1

(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14

B.24

C.28

C6 15

4

D.48

种，没有女生的方案只有一种，

解：6人中选4人的方案

所以满足要求的方案总数有14种

x y 1 0y

x 0

(8)若实数x、y满足 则x的取值范围是

A.(0,1) B.

0,1

C.(1,+ )

D.

1,

y

解：由已知y x 1，x

x 1x

1

1y

x，又x 0，故x的取值范围是(1, )

'

(9)函数f(x) cosx(x R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y f(x)的图象，

则m的值可以为

A.2

B.

C.－ D.－2

解：y f(x) sinx,而f(x) cosx(x R)的图象按向量(m,0) 平移后

得到y cos(x m),所以cos(x m) sinx，故m可以为2. (10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,

若

5

(a+c-b2

2

2

,则角B的值为

2

A. 6

B. 3 C.6或6

(a+c-b)

2

2

2

D. 3或3

cosB2sinB

即

cosB=

cosB2sinB

解：

由(a+c-b

得

sinB=

222

2ac2

=

2,又在△中所以B为3或3

x

22

(11)双曲线a

yb

22

1

（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值B.，

范围为A.(1,3) 解：如图，设

2c2a

1,3

C.(3,+ )

D.

3,

PF2 m

F1PF2 (0 )

，当P在右顶点处

，

e

m

e 1,3 ∵ 1 cos 1，∴

另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。

(12) 已知函数y f(x),y g(x)的导函数的图象如下图，那么y f(x),y g(x)图象可能是

者可以

解：从导函数的图象可知两个函数在

x0

处

斜率相同,可以排除B答案,再者导函

数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出y f(x)的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x)导函数是增函数，增加越来越快.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若解：令

(x 2) a5x a4x a3x a2x a1x a0

5

5

4

3

2

,则

a1 a2 a3 a4 a5

(用数字作答)

x 1得a5 a4 a3 a2 a1 a0 1

a5 a4 a3 a2 a1 31

x 0得a0 32

，令x 0得

所以

x 1 cos

y 2 sin 3x 4y m 0(14) 若直线与圆 （ 为参数）没有公共点，

则实数m的取值范围是

解：圆心为(1, 2)，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得

d

r 1

，即

m 5 5

（- ，0）（ 10，+ ），m

（15

解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径

.

2r

3 ,S 4 r2 9

a

（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、b ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q

是数域；数集 ①整数集是数域； ③数域必为无限集；

F a ,b Q

也是数域.有下列命题：

②若有理数集Q M，则数集M必为数域；

④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）

1 Z

解：①对除法如2②取

不满足，所以排除，

M a ,b Q

,

M, ③④的正确性容易推得。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分） 已知向量

m=(sinA,cosA),n=（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求函数f(x) cos2x 4cosAsinx(x R)的值域.

2sin(A

6

) 1,sin(A

6)

1.

2

1)

，m·n＝1，且A为锐角.

解：（Ⅰ）

由题意得

m n A cosA 1,

A

6

6

,A

3

由A为锐角得

cosA

1

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知

2

2

,

f(x) cos2x 2sinx 1 2sinx 2sins 2(sinx

12

)

2

所以

sinx

1

.2 3

3

因为x∈R，所以

sinx 1,1

，因此，当

2时，f(x)有最大值2.

3 3 2 当sinx 1时，f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是

（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD

＝BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；

ABCD为直角梯形，其中

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD

的距离为2？AQ

QD 的值；若不存在，请说明理由.

若存在，求出

解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD 平面ABCD=AD, PO 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以OB

＝

AO＝1，所以OP＝1，

PG

2

, PBO arctan

2在Rt△POA中，因为AP

＝

在Rt△PBO中，tan∠PBO

＝

BC

arctan

2

.

所以异面直线PB与CD

所成的角是

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD

的距离为2.

S DQC

12x

设QD＝x，则，由（Ⅱ）得

CD=OB=

2

，

在Rt△POC中，

PC

S PCD

4

2

所以PC=CD=DP

,

AQ

13.

由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时QD解法二： (Ⅰ)同解法一.

OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，(Ⅱ)以O为坐标原点，OC、

易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

1，0），PB＝（1， 1， 1）. 所以CD＝（ 1，

所以异面直线PB与CD所成的角是

arccos3，

(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD

的距离为2， 由(Ⅱ)知

CP ( 1,0,1),CD ( 1,1,0).

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).

n CP 0, x0 z0 0,

n CD 0, x y 0,x y0 z0 则 所以 00即0，

取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

Q(0,y,0)( 1 y 1),CQ ( 1,y,0),

CQ

nn32，

2

2

,

设由

15

解y=-2或y=2(舍去)，此时

AQ

12

,QD

AQ

所以存在点Q满足题意，此时QD

（19）（本小题满分12分）

13.

f(x)

13

x x 2

32

已知函数

n

.

n

a 是正数组成的数列，前n项和为S

（Ⅰ）设

(n,Sn)

'

，其中

a1 3

.若点

(an,an 1 2an 1)

2

(n∈N*)在函数y f(x)

'

的图象上，求证：点

也在y f(x)的图象上；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间(a 1,a)内的极值.

f(x)

13

x x 2,

3

2

解：(Ⅰ)证明： 因为由点

(an,an 1 2an 1)(n N)

2

所以f(x) x 2x，

2

2

'2

'

y f(x)的图象上,an 1 2an 1 an 2an 在函数

(an 1 an)(an 1 an) 2(an an 1)

， 又

n

1

an 0(n N),

所以

an 1 an 2

，

a 是a

2

3,d 2

的等差数列

所以 故点 (Ⅱ)解:

Sn 3n

n(n 1)2

2=n 2n

,又因为

y f(x)

'

f(n) n 2n

'2

,所以

Sn f (n)

,

(n,Sn)

也在函数的图象上.

2

f (x) x 2x x(x 2)

,令f(x) 0,得x 0或x 2.

当x变化时,f(x)﹑f(x)的变化情况如下表:

注意到

,从而

(a 1) a 1 2

a 1 2 a,即 2 a 1时,f(x)的极大值为f( 2)

2

3,此时f(x)无极小值；

①当

②当a 1 0 a,即0 a 1时,f(x)的极小值为f(0) 2,此时f(x)无极大值； ③当

a 2或 1 a 0或a 1时,f(x)

既无极大值又无极小值.

（20）（本小题满分12分）

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证

2

书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为3，科目B每次考试

1

成绩合格的概率均为2.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望E . 解：设“科目A第一次考试合格”为事件A1

，“科目A补考合格”为事件

A2

；“科目B第一次考试合格”为事

件

B1

，“科目B补考合格”为事件

B2

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为

A1 B1

,注意到

A1

与

B1

相互独立，

P(A则

1 B1) P(A1) P(B1)

23 12 1

3.

1

答：该考生不需要补考就获得证书的概率为3.

(Ⅱ)由已知得， ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 P( 2) P(A1 B1) P(A1 A2)

211111

3 23339.4

9

P( 3) P(A1 B1 B2) P(A1 B1 B2) P(A1 A2 B2)

2112111

3 2231212 3 23 126

6,14

9 3

P( 4) P(A1 A2 B2 B2) P(A1 A2 B1 B2)

13 2312111

21213312 218

11,8 9E 2

49 3

4 4

189

9 .

故

3

8

答：该考生参加考试次数的数学期望为3.

（21）（本小题满分12分）

x

22

y 如图、椭圆a

2

b

2

1(a b 0)

的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F2

有

OA OB

2

AB

2

,求a的取值范围.

解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点， 因为△MNF为正三角形，

形，求椭圆的任意转动，值

OF

N1

所以,

2b

,解得b23

x

2

2

2

a b 1 4,因此，椭圆方程为4(Ⅱ) 设

2

y

2

3

1.

A(x1,y1),B(x2,y2).

(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时， OA OB

2

2a,AB

2

2

2

4a(a 1), AB.

2

22

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

x my 1,代入

xa

2

因此，恒有OA OB

2

22

yb

22

1,

设直线AB的方程为：

2

2

2

2

2

2

整理得(a bm)y 2bmy b ab 0,

y1 y2

2

2

2bma bm

2

2

所以

222

,y1y2

2

b ab

2

2

2222

a bm

因为恒有，所以 AOB恒为钝角.

OA OB (x1,y1) (x2,y2) x1x2 y1y2 0

即恒成立.

x1x2 y1y2 (

my 1)(my 1) 12

2

2

2

2

1

OA OB AB

yy (2

2

m 1)

22

1

y2 y(m1 y

2

)y 1

(m 1)b( ab

a bm

2

2

222

2

22

)

2

b2m

22

2

2

a bm

0.

21

mab b ab a

a bm

2

2

2222222222

又a bm 0，所以 mab b ab a 0对m R恒成立，

2222222222

即mab a b ab对m R恒成立,当m R时，mab最小值为0，

2222a b ab 0， a b(a 1) b, 所以

2

2

2224

因为

∵a 0,b 0,∴a b a 1

，即a a 1 0,

a

22

a

2

a

2

解得或(舍去)

，即

2 )

,

综合（i）(ii)，a

的取值范围为（22）（本小题满分14分）

.

已知函数f(x) ln(1 x) x

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

0,n （n∈N*）上的最小值为bn令an ln(1 n) bn

（Ⅱ）记f(x)在区间

①如果对一切n

，不等式

a1

a1a3a2a4

a1a3 a2n 1a2a4 a2n

c的取值范围；

②求证：

解：

a2

1.

（I）因为f(x) ln(1 x) x，所以函数定义域为( 1, )，且由

f(x) 0

''

f(x)

'

11 x

1

x1 x。

得 1 x 0，f(x)的单调递增区间为( 1,0)；

由f(x) 0<0得x 0，f(x)的单调递增区间为（0，+ ）.

b f(n) ln(1 n) n

(II) 因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以n

则

an ln(1 n) bn ln(1 n) ln(1 n) n n

.

①

1.

>

lim

1

x

又

lim,

因此c 1，即实数c的取值范围是( ,1].

② 由①

1 3 5 (2n 1)

因为[2 4 6 (2n)

]2

1 33 55 7(2n 1)(2n 1)11

＜,2222246(2n)2n 12n 1

1 3 5 (2n 1)

＜

1

(n N*),

所以2 4 6 (2n)1 1 32 4

1 3 5 (2n 1)2 4 6 (2n)＜

则2

1

*

即

a1a2

a1a3a2an

a1a3 a2n 1a2a4 a2n

1(n N)

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