常微分方程复习资料

常微分方程复习资料

一、 填空题

1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 2．方程y???2y??y?0的基本解组是 ． 3．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．

dy?1?y2的常数解是 ． dxdy?x2?y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 5．方程dxdy??(x)y的任一非零解 6．若y??(x)在(??,??)上连续，则方程dx 与x轴相交． 7．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，如果p(x)，q(x)在(??,??)上连续，那么它的任一非零解在xoy4．方程

平面上 与x轴相切．

8．向量函数组Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在其定义区间I上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式W(x)?0，x?I．

9．方程x(y2?1)dx?y(x2?1)dy?0所有常数解是 ． 10．方程y???4y?0的基本解组是 ．

dy?y?1满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． dx12．若y??1(x),y??2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点． 二、单项选择题

11．方程

?dy1．方程． ?x3?y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）

dx1（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面 2．f(y)连续可微是保证方程

dy?f(y)解存在且唯一的（ ）条件． dx（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 3．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．

（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性

dy4．方程． ?3y3过点(0, 0)有（ ）

dx(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 5．n阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．

（A）n维 （B）n?1维 （C）n?1维 （D）n?2维 6. 方程

2

dy?x?y?2（ ）奇解． dx（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个

7．若y??1(x)，y??2(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）．

（A）?1(x)??2(x) （B）?1(x)??2(x) （C）C(?1(x)??2(x))??1(x) （D）C?1(x)??2(x)

1

8．f?y(x,y)连续是方程

dydx?f(x,y)初值解唯一的（ ）条件． （A）必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）充分

9．方程

dydx?y的奇解是（ ）． （A）y?x （B）y?1 （C）y??1 （D）y?0

10. 方程dydx?1?y2过点(?2,1)共有（ ）个解． （A）一 （B）无数 （C）两 （D）三

11．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A）n （B）n-1 （C）n+1 （D）n+2 12．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．

（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解

13．如果f(x,y)，

?f(x,y)dy?y都在xoy平面上连续，那么方程dx?f(x,y)的任一解的存在区间（ （A）必为(??,??) （B）必为(0,??) （C）必为(??,0) （D）将因解而定 三、计算题

求下列方程的通解或通积分：

1.

dydx?ylny 2. dydx?1?(yyx)2?x 3. dy?y?xy5dx 4．2xydx?(x2?y2)dy?0 5．y?xy??2(y?)3 6. dydx?xy1?x2 7. dydx?3y?e2x 8. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?09．ey??y??x?0 10．yy???(y?)2?0

11.

dydx?yx?tanydyyx 12. dx?x?1 13. (x2ey?y)dx?xdy?0 14．y?(x?lny?)?1

15．yy???y?2?2x?0 16．求方程y???5y???5x2的通解．17．求下列方程组的通解．

?dx?y?1 ???dtsint 18．求方程y???y?1ex的通解．

?dy2??dt??x19．求下列方程组的通解

?dx??x? ??2y?dt．?dy

??dt?3x?4y五、证明题

2

．）

1．设f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)?0，求证：方程

x???x???dy?y?f(x)的一切解y(x)，均有dxlimy(x)?0．

2．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，p(x),q(x)在(??,??)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(??,??)上的严格单调函数．

dy?f(x,y) dx的非常数解y?y(x)，当x?x0时，有y(x)?y0，那么x0必为??或??． 4．设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数．

dy?f(y)?(y)中，已知f(y)，??(x)在(??,??)上连续，且?(?1)?0．求证：对任意x0和5．在方程dxy0?1，满足初值条件y(x0)?y0的解y(x)的存在区间必为(??,??)．

6．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，已知p(x)，q(x)在(??,??)上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．

3．设f(x,y)在整个xoy平面上连续可微，且f(x,y0)?0．求证：方程

参考答案

一、填空题 1．2 2．ex,xex 3．开 4．y??1 5．xoy平面 6．不能 7．不能 8．必要 9．y??1,x??1

210．sin2x,cos2x11．D?{(x,y)?Ry?0}，（或不含x 轴的上半平面） 12．没有

二、单项选择题

1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.A 7.C 8.D 9.D 10.B 11.A 12.C 13.D

三、计算题

1．解 当y?0，y?1时，分离变量取不定积分，得

dy??dx?C ?ylny 通积分为

lny?Ce 2．解 令y?xu，则 xxdydu?u?x，代入原方程，得 dxdxdu?1?u2 dx 分离变量，取不定积分，得

?du1?u2??dx?lnC （C?0） x 通积分为： arcsin3．解方程两端同乘以y y 令 y?4?5y?lnCx x?5，得

dy?y?4?x dxdydz?，代入上式，得 ?z，则?4y?5dxdx 3

? 通解为

1dz?z?x 4dx?4x z?Ce 原方程通解为 y4．解 因为

?4?x?1 41 4?Ce?4x?x??M?N，所以原方程是全微分方程． ?2x??y?x 取(x0,y0)?(0,0)，原方程的通积分为

2?x02xydx??y2dy?C

0y 即 xy?13y?C 35．解 原方程是克莱洛方程，通解为 y?Cx?2C3 6．解 当y?0时，分离变量得

dyx?dx y1?x21ln(1?x2)?lnC 2等式两端积分得 lny? 即通解为

y?C1?x2 7．解 齐次方程的通解为

y?Ce 令非齐次方程的特解为 y?C(x)e?3x?3x

代入原方程，确定出 C(x)? 原方程的通解为

15xe?C 512xe 5?M?N?2xy?8．解 由于，所以原方程是全微分方程． ?y?x 取(x0,y0)?(0,0)，原方程的通积分为

y?Ce?3x+

?x0(x3?xy2)dx??y3dy?C1

0y 即 x?2xy?y?C 9．解 令y??t，则原方程的参数形式为

4224?x?t?et ?

?y??t 由基本关系式

4

dy?y?dx?t(1?et)dt 积分有

1 y?t2?et(t?1)?C

2 得原方程参数形式通解

?x?t?et ? ?12t?y?t?e(t?1)?C2? 10．解 原方程为恰当导数方程，可改写为 (yy?)??0 即

yy??C1 分离变量得

ydy?C1dx 积分得通积分

1 y2?C1x?C2

2ydydu 11．解 令?u，则，代入原方程，得 ?u?xxdxdxdudu u?x?tanu ?u?tanu，xdxdx 当tanu?0时，分离变量，再积分，得

dudx ????lnC

tanux lnsinu?lnx?lnC

y?Cx x 12．解 齐次方程的通解为

y?Cx 令非齐次方程的特解为 y?C(x)x

即通积分为： sin 代入原方程，确定出 C(x)?lnx?C 原方程的通解为

y?Cx+xlnx 13．解 积分因子为 ?(x)? 原方程的通积分为

xx11 x2yy)dx?dy?C1 2?0x?(ex?y?C,C?e?C1 ） x 14．解 令y??p，则原方程的参数形式为

即 e?1?x??lnp?p ? ?y??p?

5

dy?y?，有 dx11 dy?y?dx?p?(?2?)dp

pp1 ?(1?)dp

p 积分得 y?p?lnp?C

由基本关系式

得原方程参数形式通解为

1?x??lnp? ? p?y?p?lnp?C? 15．解 原方程可化为

(yy??x2)??0

于是 ydy?x2?C1 dx 积分得通积分为

121y?C1x?x3?C2 232 （6分） 16．解 对应齐次方程的特征方程为??5??0，

特征根为?1?0，?2?5，

齐次方程的通解为 y?C1?C2e5x 因为??0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

y1(x)?x(Ax2?Bx?C) 代入原方程，比较系数确定出 A? 原方程的通解为 y?C1?C2e5x112，B?，C?

2535?13122x?x?x 3525 17．解 先解出齐次方程的通解

?x??cost??sint? ???C1???C2?cost?

y-sint?????? 令非齐次方程特解为

x??~?cost??sint? ?~??C1(t)? ?C(t)2????y??-sint??cost???C1(t),C2(t)满足

?costsint??C1?(t)??1? ??????sint? ????sintcost???C2(t)????0?cost??,C2(t)?1 解得 C1(t)?sint积分，得 C1(t)?lnsint，C2(t)?t

6

通解为

???C1?2?x??y??cost??sint??costlnsint?tsint??C??? 2????-sint??cost??-sintlnsint?tcost?18．解对应的齐次方程的特征方程为： ??1?0

特征根为： ?1?1,?2??1

故齐次方程的通解为： y?C1ex?C2e?x 因为??1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为

y1(x)?Axex 代入原方程，有 2Ae?Axe?Axe? 故原方程的通解为 y?C1e?C2e19．解方程组的特征方程为 A??E?2x?xxxx1x1e， 可解出 A?． 24?1xxe 4?1???2?0

34??即 ??3??2?0

特征根为 ?1?1，?2?2 ?1?1对应的解为

?x1??a1?t ?????e

?y1??b1?其中a1,b1是?1?1对应的特征向量的分量，满足

?1?1?2??a1??0? ???? ???3?4?1??b1??0??可解得a1?1,b1??1．

同样可算出?2?2对应的特征向量分量为 a2?2,b1??3． 所以，原方程组的通解为

?et??2e2t??x? ???C1? ?C2?t?2t??y???e???3e?五、证明题

1．证明 设y?y(x)是方程任一解，满足y(x0)?y0，该解的表达式为

y(x)? 取极限

limy(x)?limx???y0ex?x0??y0xx0f(s)e(s?x0)dsex?x0

x???ex?x0??limx???xx0f(s)e(s?x0)dsex?x0

??0,若?f(s)e(s?x0)ds??x0? =0?? ?(x?x0)?(s?x0)?limf(x)e?0,若f(s)eds??x?x??x0?x???e02．证明 设y1(x)，y2(x)是方程的基本解组，则对任意x?(??,??)，它们朗斯基行列式在(??,??)

7

上有定义，且W(x)?0．又由刘维尔公式 W(x)?W(x0)e??x0p(s)ds?x0p(s)dsxx，x0?(??,??)

W?(x)?W(x0)ep(x)

由于W(x0)?0，p(x)?0，于是对一切x?(??,??)，有 W?(x)?0 或 W?(x)?0

故 W(x)是(??,??)上的严格单调函数．

3．证明 由已知条件，方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2分） 又由已知条件，知y?y0是方程的一个解。

假如方程的非常数解y?y(x)对有限值x0有limy(x)?y0，那么由已知条件，该解在点(x0,y0)处可向

x?x0?x0的右侧（或左侧）延展．这样，过点(x0,y0)就有两个不同解y?y0和y?y(x)．这与解的唯一性矛盾，因此x0不能是有限值．

4．证明 如果y??1(x)和y??2(x)是二阶线性齐次方程 y???p(x)y??q(x)y?0

的解，那么由刘维尔公式有 W(x)?W(x0)e 现在，p(x)?0故有

W(x)?W(x0)e?0dt??x0p(t)dt

x?x0x?W(x0)?C

5.证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然y??1 是方程的两个常数解．

任取初值(x0,y0)，其中x0?(??,??),y0?1．记过该点的解为y?y(x)，由上面分析可知，一方面

y?y(x) 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y?1，下方不能穿过y??1，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为(??,??)．

6．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(??,??)． 显然，该方程有零解y(x)?0．

?(x0)= 0，那么由解的 假设该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点x0处与x轴相切，即有y1(x0)?y1惟一性及该方程有零解y(x)?0可知y1(x)?0,x?(??,??)，这是因为零解也满足初值条件0，于是由解的惟一性，有?(x0)= y1(x0)?y1

y1(x)?y(x)?0,x?(??, ??)．这与y1(x)是非零解矛盾．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/557o.html