广东省13市2011年中考数学试题分类解析汇编（12份） 人教版2

广东2011年中考数学试题分类解析汇编

专题12：押轴题

解答题

1.（广东省9分）如图，抛物线y??x2?5417x?1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线4交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.

【答案】解：（1）∵A、B在抛物线y??x2?17x?1上， 45 y?1，当x=3 时 , y?。 ∴当x=0 时 ,25即A、B两点坐标分别为（0，1），（3，）。

2 设直线AB的函数关系式为y=kx?b，

54?b?1?1??k?∴ 得方程组： ?5，解得?2。

3k?b???2??b?1 ∴ 直线AB的解析式为y=x?1。 （2）依题意有P、M、N 的坐标分别为 P（t，0），M（t，t?1），N（t，?t2?12125417t?1） 4? s?MN?NP?MP

517515?1? =-t2?t?1??t?1??-t2?t?0?t?3?4444?2? （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有

?t2?54155t? ，解得，t1=1，t2=2。 425。 2 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形。 当t=1时，MP?，NP?4，故MN?NP?MP? 又在Rt△MPC中，MC?MP2?PC2? 此时四边形BCMN为菱形。

当t=2时，MP?2 ，NP?，故MN?NP?MP?325，故MN=MC， 25。 292 又在Rt△MPC中，MC?MP2?PC2?5，故MN≠MC。 此时四边形BCMN不是菱形。

【考点】点的坐标与方程的关系，待定系数法，列二次函数关系式，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理。

【分析】（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式。

（2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式MN?NP?MP得到函数关系式。 （3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t。再讨论邻边是否相等。 2.（佛山11分）阅读材料：我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；

比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特

ABD殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；

我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和

判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识； 请解决以下问题：

如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；

C① 写出筝形的两个性质（定义除外）；

② 写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明；

AAAD

BDBDBC备用图1 （写性质用）

C备用图1 （写判定方法用）

C备用图1 （证明判定方法用）

【答案】解：（1）性质1：一组对角相等，另一组对角不等。

性质2：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分。 （2）判定 1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形。

判定 2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形。 判定 1的证明：

已知：四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D

求证：四边形ABCD是筝形

证明：∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AC=AC，∴?ABC≌?ADC（ASA）。

∴AB=AD，CB=CD。 易知AC⊥BD，

又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠BCD。∴AB≠BC。 ∴四边形ABCD是筝形。 【考点】分类归纳，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）还可有以下性质：

性质3：只有一条对角线平分对角。 性质4：两组对边都不平行。 （2）还可有以下判定：

判定3：四边形ABCD中，AC⊥BD，∠B=∠D，∠A≠∠C，则四边形ABCD是筝形。 判定4：四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，∠A≠∠C，则四边形ABCD是筝形。 判定5：四边形ABCD中，AC⊥BD，AB=AD，∠A≠∠C，则四边形ABCD是筝形。 3.（广州11分）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；[来源:学科网ZXXK] （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

【答案】解：（1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA＝90°。 而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角， ∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°， ∴B、C、E三点共线。

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图， ∵CB＝CA，CD＝CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE（SAS）。 ∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE。

∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°。 即BD⊥AE。

又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点， ∴ON＝

11BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM。 22 ∴ON=OM，ON⊥OM。即△ONM为等腰直角三角形。 ∴MN＝2OM。 （3）成立．理由如下：

和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，

同理可证BD1⊥AE1， △ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1＝2OM1。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质。

【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，则∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=

11BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，22ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论。

（3）证明的方法和（2）一样。

4.（河源9分）如图，已知抛物线y=x2?4x?3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．

(1) 对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由； (2)求证:△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、

C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)对于任意实数m，点M（m，-2）都不在该抛物线上。理由如下： ∵ y=x2?4x?3=?x?2??1 ，?a>0 ， ∴当x=2 时，y有最小值-1。

而-2<-1，∴对于任意实数m，点M（m，-2）都不在该抛物线上。 (2)令 x2?4x?3=0，解得，x1=1 ，x2=3。 ∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）。 由(1)知点C的坐标为（2，－1）。

过C作CE⊥X轴于E，则点E的坐标为（2，0）。 ∴AE=2－1=1，EB=3－2=1，CE=1。

∴AC=BC=12?12?2。

∴ AC2＋BC2=

2????22?22?4。

而AB2=22=4，∴ AC2+BC2=AB2。

∴△ABC是等腰直角三角形。

(3)存在。

首先BD为平行四边形边的情况是不可能的，这是因为C是抛物线的顶点，它不可能与抛物线上的其它点构成与BD（x轴）平行的线段。 因此只能是BC为边构成平行四边形。

∵ 点D，B在x轴上， 点C到x轴的距离为1， ∴点P的纵坐标为1。则

由x2?4x?3=1解得，x1=2?2 ，x2=2+2 。

??ABC是直角三角形且只能有AC?BC ，又OC?AB,??CAB?900??ABC ，?BCD?900??ABC。??CAB??BCD 。?Rt?AOB∽Rt?COB。OCAO?? ，即OC2?OA?OB。OBOC?3?932???m2?=?x1?x2 ，即m4=m2。解之得 m?3 。 ?4 1643?33?2?此时 ?m2???3???1 。?点C的坐标为?0，?1? 。44?3??OC?1。222?3?又?x2?x1???x1?x2??4x1?x2???m??4??m2??4m2，?4?44?m>0 ，?x2?x1?2m?3 ，即AB?3。33 1142??ABC的面积=AB?OC??3?1?3 。223322【考点】二次函数性质，一元二次方程根与系数的关系，代数式变形，相似三角形的判定与性质。

【分析】（1）根据二次函数对称轴的性质即可证明。

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，经过代数式变形即可得到m的值，从而得到抛物线的解析式。

（3）根据相似三角形的判定与性质，得到AB和OC的值即可求得△ABC的面积。 11.（珠海9分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分N 别为E、F．过点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O．

（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；

（2）记∠EPM＝?，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2． ① 求证：

B

F

C

A O M P

E D

S1tan1

＝ PA2． ?8

2S1?S2tan ② 设AN＝x，y＝

?2，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．

【答案】解：（1）四边形AMPE为菱形

（2）① 证明：∵四边形AMPE为菱形，∠ EPM＝?，

11

∴∠MAP＝? ， S1＝OA·OM。

22∵在Rt△OM中，tan??OM

tan＝，∴OM＝OA·。

OA221

OA·OMS121OA1111

∴＝＝OA·OM··＝OA2＝·(PA)2＝PA2。

OM2OM2228?tanOA2②过D作DH垂直于BC于H，交NP于点K，

则DK⊥PN，BH＝AB＝AD＝DH＝1，DK＝AN＝x。 ∵CH＝BC－BH＝2－1＝1，∴CH＝DH。 ∴∠NPD＝∠BCD＝45°。 ∴PK＝DK＝x。∴PN＝1＋x。

在Rt△ANP中，AP2＝AN 2＋PN 2＝x2＋(1＋x)2＝2x2＋2x＋1。 过E作PM的垂线EG（垂足为G），令△EGM的面积为S。

G

xSEG2

∵△EGM∽△AOM，∴＝()＝

S1AO144x24x2?2。则S＝2 S1。 APAP2AP2 ∵四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积，∴2S1＝S2＋S。

4x24x2 ∴S1－S2＝S－S1＝ S1－S1＝(－1)S1．

AP2AP2S14x24x21

∴y＝＝(－1)×＝(－1)× PA2 228??APAPtantan22S1?S211

＝ (4x2－AP2)= [4x2－(2x2＋2x＋1)] 88

111113 ∴y＝x2－x－=（x－）2－。

4484216?0

448168【考点】折叠对称，线段垂直平分线的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，三角函数，列二次函数关系式，相似三角形的判定和性质，二次函数值。 【分析】（1）∵根据折叠对称的性质，E，F是AP垂直平分线上的点，

∴AE=EP，AM=MP。∴∠EAP=∠EPA。 又∵PN∥BC∥AD，∴∠EAP= ∠APM。

∴ ∠EPA = ∠APM。∴ EP= MP，即 AE=EP=AM=MP。 ∴ 四边形AMPE为菱形。

（2）① 只要把等式左边用有关以线段表示，再经过等量代换即可证得。 ②把

S1?S2?用x（＝AN）的代数式表示，然后由x的取值范围确定函数值y的

取值范围。

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