01相似三角形题型之一比例与比例线段

比例与比例线段

教学目标：

1.了解比例中项的概念。

2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）。 3.通过实例了解黄金分割。

4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：

教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。

教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。

1．知识点与方法概述

A：比例的性质：

基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.

合比性质：

等比性质：如果

，那么.

B：（成）比例线段：

比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.

C：黄金分割：

如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使

AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点. 注意：1、AC?0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.

D：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截

得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）

推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）

E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC 求证：DE=EF

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF中，BE//CF，AB=BC 求证：AE=EF

F：三角形的中位线定理：

三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点

求证：DE//BC，DE?

G：梯形的中位线定理

梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。

已知：梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF//AD//BC，EF?

12(AD?BC).

12BC

2．典型例题讲解

例1：有关合分比定理的计算

①已知：3x=5y，則x:y=________，=________。

②已知：课堂练习：

，則_______，=_______。

①已知：，則=_______。

②已知：，則x+y+z=6，則x=_______，y=_______，z=______。

③已知：a:b:c=1:3:5，則=_________。

ABAMAC

④如图已知BE=ME=CE

AB?BC?CAAE求证：

BC=ME

ABAMACAB?ACAM证明：∵BE=ME=CE，∴ BE?CE=EM，

AB?ACAMAB?BC?CABCAM?ME即

BC=ME，∴

=

ME

AB?BC?CAAE即

BC=ME

本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的

例2：有关比例线段的计算

①如图，CE是?ABC的中线，CDcm；若CD=9cm，则AF= cm.

② 如图，?ABC中，E为BC上一点，CD平分?ACB交AE于点D，且CD?AE，DF交AB于F。若AF=2cm，则AB= cm.

课堂练习：

① 已知：如图，?ABC中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求?DEF的周长.

?ACB的平分线，② 已知：如图，?ABC中，BD、CE分别是?ABC、AH?BD于H，AF于F，若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长.

?CE//BC?12AD,EF//BD,EG//AC. 若EF=18cm，则BG=

③已知：如图，梯形ABCD中，?ABC两底的长.

例3：有关黄金分割的作图与计算

①黄金分割

??DCB?45?，AD//BC，高是h，中位线长m，求

（1）五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离 ACBC

与 相等吗？ ABAC

BCAC

点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ＝ ，

ACAB那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),

图4-5 点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.

问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？

②求黄金比的数值，如图4－1－4 设

AP

＝x，则PB＝AB－AP＝AB－AB?x. AB

ABP图4-1-4A C B

AB－AB?xAB?x1－xPBAPx

由 ＝ ，得 ＝ ，即 ＝ APAB AB?xABx1化简，得x2＋x－1＝0.

－1＋5 －1－5 解得x1＝ ，x2＝ （不合题意，舍去）

22所以

5 －1AP ＝ ≈0.618 AB2

黄金分割的深远意义：历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。

③尺规做线段的黄金分割点：已知线段AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。 分析：线段a的黄金分割所得的较长线段长应是＝

5 －1

a， 2

5 15 1 a－ a，由于 a是以a和 a为直角边的斜边长 2222因此本题转化为作两条线段之差.

DEACB

作法：

1

1.经过点B作BD⊥AB,使BD＝ AB 22.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.

如图，点C就是线段a的黄金分割点

思考：如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?计算 AB的黄金分割点吗? 课堂练习：

① 已知：M是线段AB的黄金分割点，AM>BM. 求证：

AM?ABAB?ABAMACBC

与 ；点C是线段ABAC

.

②一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人比例协调。一个参加空姐选拔活动的选手肚脐以上的高度是65cm，肚脐以下的高度是95cm，那么，她该穿多高的鞋子才好看？（精确到1cm）

例4：有关平行线分线段成比例的计算与证明

①如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证GF＝FB．

GFEF证明：∵GF∥AD ∴AD＝ED（1）

FBEF又FB∥DC ∴DC＝ED（2）

GFFB又AD＝DC（3）由（1）（2）（3）得：AD＝AD，∴GF=FB

本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“A型”或“最后使问题得证。

②已知：如图△ABC中，DE//AC，DF//AB，求证：BE:AE=AF:FC。

③已知：如图，△ABC中，AD//EF，AC//ED，求证：BF:FD=BD:DC。

④已知：如图，AD//EG，CD//FG，求证：AC//EF。

课堂练习：

① 如图，l1//l2//l3，分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F. 若AB:AC=1:2，那么DE:EF= .

型”，得到相应的比例式，并注意由公共线段“ED”产生“中间比”，

②已知：如图，在?ABC中，EF

//CD,DE//BC. 求证：AF：FD=AD:DB.

③已知：如图，在?ABC中，AD平分?BAC交BC于D，DE平分?ADC交AC于E，若?BAC长.

?2?B，AE=4，CE=3. 求AB的

3、课堂小结

A：比例与比例的性质，有关合分比定理的计算；

B：比例线段，与比例线段有关的计算；

C：黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念，黄金分割点的尺规求法； D：平行线分线段成比例定理及相关计算与证明。

A组

一、填空题：

1.若4x=5y,则x∶y＝ . 2.若

x3＝

y4＝

z5，则

x?y?zyx?yy∶

y?z?xx＝ .

3.已知

x?y13ab＝

y7，则的值为 .

4.已知＝

34，那么

a?bb＝ .

5.若

ab＝

cd＝

ef＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .

6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ . 7.若

ba?b＝

35，那么

ab＝ .

8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .

9.已知△ABC和△A′B′C′，则AB+BC+AC＝ .

10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm； a、c的比例中项x＝ cm.

11.已知3∶x＝8∶y，求

a?3b2b72ABA'B'BCB'C'CAC'A'32＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.

xy=

ab12. 已知

x2＝，求=

13. 若＝

y3，求

x?yy=

14. 如果x∶y∶z＝1∶3∶5，那么

x?3y?zx?3y?z＝

15. 正方形对角线的长与它的边长的比是

16.在1∶5000000的地图上，量得杭州到南京的距离约为60cm，那么杭州到南京的实际距离约为 km.

17．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m，那么这张地图的比例尺为_______. 18.已知19．若

ab3x＝

?cd＝

25 (b+d≠0)，则

a?cb?d＝

x4，则x等于 53

2320．已知

xy

ab?，则(x?y):(x?y)? a?b?1a?b?521．如果?，且a?2,b?3，那么

ab?

22．已知7(a?b)?3a，则23．如果

xa?x2? 2x?3y?z2a?3b?cxx?y?zyb?y7??zcz5?2，那么?

x?zy24．已知：，设A?，B?，C?x?y?zx，那么A、B、C的大小顺

序是 . 25．已知：4x?11y?5z,2x?y

二、解答题：

?z，则x:y:z= .

1、已知：5y-4x＝0，求(x+y)∶(x-y) 2、已知

3、已知线段x、y，如果(x+y)∶(x-y)＝a∶b，求x∶y.

4、已知：

5．如图5.1-2，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，

ADABAEACDEBC23aba?bc=

b?ca=

c?ab＝x，求x

＝

cd＝

ef＝3(且有b+d+f＝0)，求证：

a?cb?d＝

c?ed?f

＝3.

＝＝＝，且△ABC与

△ADE的周长之差为15cm，求△ABC与△ADE的周长.

6已知a:b:c?2:4:5，且2a?b?3a?6， 、求 3a?b?2c的值。

8 、若a:b:c?2:3:4，且a?b?c?5， a?b的值． 求 10、已知

ab?cd7、已知 a5?b7?c8，且a?b?c?20，求2a?b?c 9、若a?23?b4?c?56,且2a?b?3c?21 ，试求a:b:c ，求证：

a?bb?c?dd 11、若a:b:c?1:2:3，求

a?b?ca?b?c的值。

B组

1. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E、F为BC的三等分点，求BG、GH、HD

的长

DCFHEGAB

2. 如图，已知△ABC、△CDE是等边三角形，且B、C、D三点在一直线上，如果BC=15,CD=5. 求CF的长

AEFBCD

3. 如图，已知矩形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且BE=2AE，BF=2FC, EF

交BD于点G. 求证：△GEB是等腰三角形

ADEGBFC

4. 如图，在△ABC中，AD?13AB, 延长BC到点F，使得CF?13BC，连接DF, 交AC

于点E. 求证：（1）DE=EF (2) AE=2EC

ADEBCF

AFAB

5. 如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D，DE：AE=1：3. 求

A的值

FEBDC

6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=2, 延长AD到H，使AH=7，对角线AC、

BD相交于点O，连接HO交DC于点F，延长HO交AB于点E. 求AE的长

HDFCOAEB

7. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DF∥BE交AC于点F，EG∥CD交

AB于点G. 求证：GF∥BC

AGDFEBC

8. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，F为AC上一点，且CF：AF=1：2，BF交AD于点E

求

BEEF的值

AFEBDC

9. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6, BC=9, AE:AB=2:3，求GF的长

ADEFGBC

10. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点A作EA∥BC，F是AB上一点，连接DF的直线

交AE于点E，交BC的延长线于点P. （1） 求证：AE=CP (2)若AB=4AF;EP=12,求DF的长

EAFDBCP

11. 如图，AB∥EF∥DC, AB=6,DC=9,求EF的长

DAEBFC

12. 如图，ABCD为正方形，过A的一条直线依次与BD、DC、BC延长线交于点E、F、G，

AE=5,EF=4,求FG的长

ADEFBCG

13. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, AC与BD交于点O,CE∥AB交BD的延长线于点E.

求证：OB?OD?OE

E2ADOBC

14. 如图，AF∥BE∥CD, AF=12, BE=19, CD=28,求FE:ED的值

AFBE

15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，AE交BD于点

F, 求DF:FO的值

DCDEFOCAB

16. 在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=3CD,E为对角线AC的中点，直线BE交AD于点F,

求AF:FD的值

DCFEAB

17．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，且AE=BF=AB, EF与AC相

31交于点H.

(1) 求EH：FH的值

(2) 设AB=x, 四边形BCHF的面积为y，求y关于x的函数关系式

AEDHFBC

18. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上（与端点不重合），点F在射线DC上.

（1） 若AF=AE,并设CE=x, △AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域 （2） 若CE?14，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，△EAG是等腰

三角形？

DFCDCEABAB

19. 如图，在直角坐标系中有点A(6,0)、B(0,8)、C(-4,0), M、N分别为线段AC,射线AB上的动点. 点M以每秒2个单位的速度自C向A运动，点N以每秒5个单位的速度自A向B的方向运动. 若MN交OB于点P （1） 求证：MN：NP为定值；

（2） 若△BNP是等腰三角形，求CM的长

yBCOAx

20．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：EF=3DE．

考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：过N、M分别作AC的平行线，由线段之间的关系可得 = ，进而由DF∥HN，可得 = = ，即 = ，进而即可得出结论．解答：证明：过N、M分别作AC的平行线交AB于H，G 两点，NH交AM于K， ∵BM=MN=NC， ∴BG=GH=HA，

则HK= GM，GM= HN， ∴HK= HN，即 = ， 又DF∥HN，

∴ = = ，

即EF=3DE．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质求解

一些简单的计

21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD． （1）求证：OE=OF，

（2）求证：1/AD+1/BC=2/EF

．

比例和比例线段检测题

一、 （1）若

填空题：（每小题3分，共30分）

x?yy?35，则

xy? ； l1 A E （2）线段a，b的积是625，则a、b的比例中项是 ；l2 B F （3）如果a:b:c?3:4:5，那么

ABBD2a?3b?ca?5b?3c? ； C

（4）如图，l1∥l2∥l3，那么

?______，

EGFG?______； l3 G D

（5）⊿ABC中，如果AC:CB?3:4，∠C的内角平分线交AB于P，那么PA:PB? （6）若x2?xy?6y2?0，则x:y? ； A （7）如图，⊿ABC中，DE∥BC，AD = 3k，BD = 3k， D E 那么DE:BC? ； B C （8）如图，⊿ABC中，∠C = 900，CD是斜边AB上的高， C AD = 9，BD = 4，那么 CD = ；AC = ； （9）已知⊿ABC中，P是AB上的一点，∠ACP = ∠B，

AB = c，BC = a，那么CP = ； A D B （10）两个相似三角形的相似比系数为k?2，如果它们的周长之差4cm，那么这两个相似三角形的周长分别是 。

二、 选择题：（每小题6分，共30分） 1. 如果ax?bc，那么将x作为第四比例项的比例式是---------------------------（ ） A

bc?ax B

ax?cb C

ab?cx D

xb?ac

2. 三线段a、b、c中，a的一半的长等于b的四分之一长，也等于c的六分之一长，那么

b这三条线段的和与的比等于

------------------------------------------------------（ ）

A 1:6 B 6:1 C 1:3 D 3:1 A 3. 如图，在⊿ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么⊿ADE D E 与四边形DBCE的面积之比是---------------------------------------（ ）

A 1:1 B 1:2 C 1:3 D 1:4 B C 4. 下列图形一定相似的是---------------------------------------------（ ） A 两个矩形 B 两个等腰梯形

C 有一个内角相等的菱形 D 对应边成比例的两个四边形

A

5. 如图，O是⊿ABC内任意点D、E、F分别在线段OA、OB、OC D 上，且AD =

131313AC，BE =BC，CF =CD，那么⊿ABC与⊿DEF E O F 相似比为-----------------------------------------------------------------（ ）

B C

A 2:1 B 3:1 C 4:1 D 3:2

三、计算题：（每小题9分，共18分）

1. 如图，已知⊿ABC中，∠C的平分线交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于E，若AC =a，BC =b，求DE的长； A

D E

B C

2. 如图，G为⊿ABC的重心，GF∥AC，求DF:FC、BC:BF的值； A

G E

B D F C

四、 证明题：（1题10分，2题12分）

1. 如图，在⊿ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足是D，DE∥BC，交AC于E，求证：

AD:AC?CE:BD

2. 如图，在⊿ABC中，AM平分∠BAC，D为AM的中点，DN⊥AM，DN交BC的延长线于N，

求证：MN2?BN?CN

C A E D

A D B B M C N

五、探究题（每题10分，共20分）

1．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时发现了如下的事实．

AE11AO22（1）当AC=2=1?1时，有AD=3=2?1（如图甲）

AE11AO22（2）当AC=3=1?2时，有AD=4=2?2（如图乙）

AE11AO22AC=3=1?2时，有AD=4=1?3（如图丙）

AE1AO在图丁中，当AC=1?n时参照上述研究结论，请你猜想用n表示AD的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）。

2．如图，在△ABC的边 AB上有一异于中点的动点P，沿平行于 BC的方向运动到AC边于点D，再沿平行于AB方向运动到BC边于点E，再沿平行于CA方向运动到AB边于点F??如果每次平行于某一边方向运动到另一边于一点算作运动一次，那么这样运动2008次点P在那里？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/555.html