《复变函数与积分变换》复习（研究生）2013

《复变函数与积分变换》研究生复习

计算题部分

一、

填空题

1. 若argz1?z???，

argz2?，则arg1=（P14，两个复数的商等于它们的模的商；

z21243材

两个复数的商的辐角等于被除数和除数的辐角之差）

?i133z??i2. 复数（P46） 22的指数形式是e，幅角主值argz= 3。

?(?2k?)i3. 复数ln(1?i)= ln2?i(4?2k?)，i= e2（计算过程可见第三题）。（P46）

???4. 设f?z??y?3xy?ix?mxy323

?2?解析，则m??3，f??z? ==?6xy?i(3x

2?my2)。

（P41，柯西。黎曼方程）

5. 设C为自原点到1?i的直线段，则积分coszdz=sin(1?i)（用牛顿-莱布尼兹公式）。

C?6. 级数?1?i?n。 ?(?1)??是 条件收敛 （填发散、条件收敛或绝对收敛）

nn?n?1??7.

ez（请分别用柯西积分公式或留数定理计算） ??z?1?2zdz=2?i。

8. 设.f(z)?sinz，则z?0是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点）， z

Res?f?z?,0?= 0 。

9. 函数f(z)?1z1的奇点是2,?i（都是一级极点） 2(z?2)(z?1)?1?z,0Rese??= 1 。 10. z?0是 e 的 本性奇点 （选：可去奇点、极点或本性奇点），

??

n11?2z???(2z)???(2z)?11. 函数f?z??的幂级数展开式是

n?01?2zn??z?0.5?。

第 1 页

12. 拉普拉斯变换的定义是L?f(t)??F(s)????0f(t)e-stdt。

13. 若f?t??3?e?4t, 则 L??f?t????31。 ?ss?4二、 计算

1. 说明函数f(z)在一点z0连续、可导、解析的关系。

讨论f(z)?zRez的连续、可导、解析性。

答：函数在一点z0连续、可导、解析的关系是：解析?可导?连续，反之不成立。 对f(z)?zRez，设z?x?yi，则f(z)?x?x?yi??x?xyi，即 u?x,v?xy。

22由于u、v都是连续函数，故f(z)在复平面上处处连续。由于

ux?2x,uy?0;vx?y,vy?x。显然u、v可微，但只在x?0,y?0处满足柯西-黎曼方程

ux?vy,uy??vx。因此f(z)只在z?0处可导，但在复平面上处处不解析。

2. 分别求 e解：e(2?i)2(2?i)2和 e11?i 的模、幅角、实部、虚部。

?e3?4i?e3?cos4?isin4?

333所以模为 e，幅角4 + 2 k? (主值为4 -?)，实部ecos4、虚部esin4。

e11?i?e1?i2?1?1???e?cos?isin?

22??12

12111111所以模为 e，幅角?+ 2 k? (主值为 ?)，实部 e2cos、虚部 ?e2sin。

22223. 求i,(1?i)解：iii1?i

???i?ln1?i??2k??2????????eiLni?e?e??????2k???2?

(1?i)1?i?e?1?i?Ln?1?i??e?1?i??ln??????2?i??2k????4???e???????ln2?4?2k???i??ln2?4?2k??????

?k?0,?1,?2,??。其中k = 0时可得相应主值。

第 2 页

224. 验证u(x,y)?x?4x?y?2y是调和函数，并求v?x,y?，使函数f?z??u?x,y??iv?x,y?

为解析函数。

?ux?2x?4,uy??2y?2..?uxx?2,uyy??2,uxx?uyy?0，解：因此u是调和函数。

下面用偏积分法求v：由vy?ux?2x?4，得到v???2x?4?dy?2xy?4y?c?x?；

再由vx??uy，得2y?c??x?????2y?2?，c??x???2,c?x???2x?c， 所以当v?2xy?4y?2x?c时，f?z??u?x,y??iv?x,y?为解析函数。 三、 1.

C求下列积分

zze?dz，其中C是从0到1?i的直线段。

解：由于z e z 是解析函数，用分部积分法可得zedz?ze?eC?z?zz?1?i0?ie1?i?1

2.

?CRe(z)dz其中C是从0到2?i的直线段

解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为 z =(2+i)t ( t从0到1),d z =(2+i)dt。所以得到

?CRe(z)dz??2t?2?i?dt??2?i?t20110?2?i

3?2?7??1d?，求f(z),f?(z),f(i),f(5i).（6分） 3. 设f(z)????z??3?2?i3z2?7z?13?2?7??1?解：f(z)?d??????z???3?0??当z?3当z?3所以

??2?i?6z?7?f?(z)????0 进而得 f(i)?2?i??3?7i?,当z?3当z?3

f(5i)?0.

zezdz,C为不通过a的闭曲线. 4. 求积分?3(z?a)Czezdz?0 解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得 ?3C(z?a)第 3 页

当a在C内时，由高阶导数公式，得

2?izezz?dz?ze3?2!(z?a)C??z?a??i?a?2?ea。

5.

eztzdz,?tan?zdz, ?dz, ?3co????sin?z3z?5z?2z?2解：tan?z?sin?z的一级极点有z=0.5+k，其中?0.5，?1.5，?2.5，?3.5，?4.5在C内。cos?z

且由法则Ⅲ可求得在各极点处的留数为Res?10?sin?z?sin?z,zk???cos?z??cos?z????z?zk?1。

故由留数定

理得

?sin?z? tan?zdz?2?iRes,z?k???20i??cos?zk?1??z?5同理

?z?cos?zdz?6?i； sin?z32z?ez?3sin?zdz ?2四. 函数的展开式 1. 求f(z)?1在0?z?1?1内的罗朗展开。 2z(1?z)2.

f(z)?1在0?z?i?1内的罗朗展开。

z2(z?i)21 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。 z3. 将函数f(z)?sin解：1. 对f(z)?1，因为在0?z?1?1内有 2z(1?z)?11nn?????1??z?1?，故在 0?z?1?1 内有 z1??z?1?n?011f(z)??z(1?z)2(1?z)2 2. 对f(z)????1??z?1?????1??z?1?nnnn?0n?0??n?2?n??2???1??z?1?n?n

1，在0?z?i?1内时 22z(z?i)第 4 页

?1111n?????in?1?z?i?zi??z?i?i1?i?z?i?n?0 ???1?1?n?1n?2???????nin?1?z?i????n?1?in?2?z?i?z?z?n?1n?011?f(z)?2?z(z?i)2(z?i)23. ?sinz?z???n?1?i?z?i?n?2n?0?n?n??2??n?3?i?z?i?n?n

13151nz?z?????1?z2n?1???2n?1?!3!5!?z???

?f(z)?sinz?1?z?1?1?31?51nz?z?????1?z??2n?1????2n?1?!3!5!?0?z???

四、 积分变换部分

1. 求拉氏变换Lsint，Lcost，Le解：Lsin2t?L??2??2???btsin(at?c)。

???t?1111s?1?cos2 ?????L1?Lcos2t???22222s2s?4??t?1111s?1?cos2????Lcos2t?L??L1?Lcos2t???2222s2s2?4 ????Le?btsin(at?c)?Le?bt(sinatcosc?cosatsinc)????coscLe?btsinat?sincLe?btcosat

?s?b?sincacosc???s?b?2?a2?s?b?2?a22. 求下列函数的拉氏逆变换

?????F(s)?解: L?1?1s?3 , F(s)?2

(s?1)(s?3)s(s?1)??s?31.5??1??0.5?L???0.5e?t?1.5e3t ????s?1s?3??(s?1)(s?3)???111??1??1?t L?1?2?2???1?t?e??L??s?1?s?s?s(s?1)?第 5 页

证明题部分

1. 应用棣莫弗公式证明(1?cos??isin?)n?2ncosn?2(cosn??isinn?)

222. 证明：如果函数f(z)?u?iv在区域D内解析，且argf(z)在D内是一个常数，

那么f(z)是常数。

zn21znez?3. 证明()?d? n?1??|z|?1n!2?in!?4. 证明如果级数

?cznn?1??n在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，则它在收敛圆

所围成的闭区域上绝对收敛。

综合题部分

1. 写出指数函数ez，对数函数Lnz,lnz，幂函数z?，正弦函数sinz，余弦函数cosz的

表达式，并指出它们的特性，例如，解析性（导数是什么），周期性，是否有界等。 2. 设函数f(z),g(z)在z0处分别有m级及n级零点,试问

f(z)在z0处具有什么性质(解g(z)析？零点？可去奇点？极点？本性奇点？), 并根据m, n的不同情况求出它们的留数(其中m,n为非负整数)

3. 描述什么是洛朗级数与泰勒级数，并说出它们的区别与关系是什么。（请就知道的尽量

回答完整）

4. 试说明柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式是留数定理的特殊情况。

第 6 页

证明题部分

1. 应用棣莫弗公式证明(1?cos??isin?)n?2ncosn?2(cosn??isinn?)

222. 证明：如果函数f(z)?u?iv在区域D内解析，且argf(z)在D内是一个常数，

那么f(z)是常数。

zn21znez?3. 证明()?d? n?1??|z|?1n!2?in!?4. 证明如果级数

?cznn?1??n在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，则它在收敛圆

所围成的闭区域上绝对收敛。

综合题部分

1. 写出指数函数ez，对数函数Lnz,lnz，幂函数z?，正弦函数sinz，余弦函数cosz的

表达式，并指出它们的特性，例如，解析性（导数是什么），周期性，是否有界等。 2. 设函数f(z),g(z)在z0处分别有m级及n级零点,试问

f(z)在z0处具有什么性质(解g(z)析？零点？可去奇点？极点？本性奇点？), 并根据m, n的不同情况求出它们的留数(其中m,n为非负整数)

3. 描述什么是洛朗级数与泰勒级数，并说出它们的区别与关系是什么。（请就知道的尽量

回答完整）

4. 试说明柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式是留数定理的特殊情况。

第 6 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/54wo.html