误差理论与数据处理期末复习

总 复 习

第一章 绪论

一、课程内容

（1） 误差的基本概念，包括误差的定义、表示法（绝对误差、相对误差、引用

误差的计算）；误差的修正

（2） 误差的分类：系统误差、随机误差、粗大误差（含义） （3） 精度的基本概念及其不同的表示方法，以及与误差的关系

（4） 有效数字含义、数字的舍入准则与数据运算规则，能根据精度要求准确表

达测量数据

（2）了解量值传递、标准与准确度等级的概念及相关法规等方面的知识；

二、补充

1. 测量与计量

测量（Measurement）：以确定量值为目的的一组操作。

计量（Metrology）：实现单位统一、 量值准确可靠的活动， 包括科学技术上的、 法律法规上的和行政管理上的活动。

2. 计量的内容通常可概括为6个方面： 1）计量单位与单位制；

2）计量器具(或测量仪器)，包括实现或复现计量单位的计量基准、标准与工作计量器具；

3）量值传递与量值溯源，包括检定、校准、测试、检验与检测； 4）物理常量、材料与物质特性的测定； 5）不确定度、数据处理与测量理论及其方法； 6）计量管理，包括计量保证与计量监督等。 3. 计量的特点

包括：准确性、一致性、溯源性及法制性4个方面。

准确性是指测量结果与被测量真值的一致程度。所谓量值的准确，即是在一

定的不确定度、误差极限或允许误差范围内的准确。

一致性是指在统一计量单位的基础上， 无论在何时、 何地， 采用何种方法， 使用何种计量器具，以及由何人测量，只要符合有关的要求，其测量结果就应在给定的区间内一致。

溯源性是指任何一个测量结果或计量标准的值， 都能通过一条具有规定不确定度的连续比较链， 与计量基准联系起来。

法制性来自于计量的社会性， 因为量值的准确可靠不仅依赖于科学技术手段， 还要有相应的法律、 法规和行政管理。

4. 国际单位制(international system of units)（SI）

七个基本量：长度，时间，质量，热力学温度，电流，光强度，物质的量 七个基本单位：米m，秒s，千克kg，开尔文K，安培A，坎德拉cd，摩尔mol

二个辅助单位：平面角弧度rad，立体角球面度Sr

第二章 误差的基本性质与处理

1. 随机误差

1）服从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。

1n2）算术平均值及其校核：x??li；

ni?1?l?nx ？ ?vii?1i?1nni

3）标准差：

贝塞尔格式：???vii?1n2n?1

n别捷尔斯（Peters）公式：??1.253?|v|ii?1n(n?1)

算术平均值的标准差：?x??n

4）极限误差

单次测量的极限误差：?limx??t?（正态分布） 算术平均值的极限误差：?limx??t?x（正态分布）

当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student” distribution)或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差：?limx??ta?x 5）不等精度测量中 权：p1:p2:p3:?:pm?1?2x1:1?i2x2:?:1?2xm

加权算术平均值：x??pxii?1mm

?pi?1i加权算术平均值的标准差：?x??pvii?1m2xi(m?1)?pii?1m

2. 系统误差 1） 分类：

根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性分：恒定系统误差、可变系统误差。

根据对系统误差的掌握程度分：已定系统误差、未定系统误差 2）系统误差的发现： （1）组内

残余误差校核法：???vi?i?1n?1i?1Kj?K?1?vnj（线性系统误差）

u?2（周期性系统误差） ?n?1?vv?ii?1 不同公式计算标准差比较法：|u|?（2）组间

?12?1? ?2n?1 计算数据比较法：xi?xj?2?2i??2j

秩和检验法：n1,n2?10时：T??T?T?

n1,n2?10时：t?t?（其中：t? N(?,a)?N(T?a?，

n1(n1?n2?1)n1n2(n1?n2?1) ,)）

212）

t 检验法：t?t?（其中：t?(x?y)3. 粗大误差（发现）

nxny(nx?ny?2)(nx?ny)(nx??ny?)2x2y1）3?准则：|vd|?|xd?x|?3?（通常在n>10是） 2）格拉布斯准则：g(i)?g0(n,?)（其中：g(1)?从小到大排列、最小项和最大项分开判断

3） 狄克松准则：双侧检验准则，可同时判断一个以上异常值 4）罗曼诺夫斯基准则：当测量次数较少时，按 t 分布检验

1nxj?x?K?（其中：x?xi；???n?1i?1i?jx?x(1)?、g(n)?x(n)?x?）

?vi?1n2in?2，K?t?(?)）

注：综合计算题

第三章 测量误差的合成与分配

1. 函数误差

函数系统误差：?y??i?1n?y?xi ?xi函数随机误差：

n??y??y?y? 函数标准差：?y?????2?ij?xi?xj ???xxi?i?1?i,j?xi?xji?n22. 随机误差的合成 按标准差合成：???(a?ii?1qi)?2?aiai?ij?i?j

2i,jqqai?i2?i?j??k??k()?2aa?按极限误差合成： ??iiijkkki?1i,jiijq3. 系统误差的合成

1）已定系统误差的合成：???ai?i（代数和法）

i?1r2）未定系统误差的合成： 按标准差合成：u???au?iii?1s2?2??ijaiajuiuj

1?i?js?aiei按极限误差合成：e??tu??t???i?1?tiss?eiej? ?2?aa?ijij?titj1?i?j?24. 系统误差与随机误差的合成： 1） 单次测量情况 按标准差合成： ???ui?1s2i???i2?R

i?1qq?ei???i??按极限误差合成： ?总???i?t????t????t???R

i?1i?1?i?i?1?i?rs222） n次重复测量情况

1q2按标准差合成： ???ui???i?R

ni?1i?1s2?ei按极限误差合成： ?总???i?t???i?1i?1?tirs?1q??i???n???i?1?ti?2????R ?25. 误差的分配

（1）按等影响原则分配误差: ?i??y?y11 ?n?f/?xinai

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